利用放縮法求解導(dǎo)數(shù)中不等式問題

韓景鳳

(山東省鄒城市第二中學)

許多導(dǎo)數(shù)問題涉及不等式證明,此類問題除了將之轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題利用導(dǎo)數(shù)解決外,靈活運用放縮法也能降低題目的難度.本文通過幾道例題,介紹利用放縮法解決導(dǎo)數(shù)不等式證明問題,供讀者參考.

1 用分式變形放縮

2 用基本不等式放縮

3 對參數(shù)賦值放縮

點評

在本題中,利用y＝lnx的單調(diào)性,將“當m≤2時,證明f(x)＞0”轉(zhuǎn)化為“當m＝2時,證明f(x)＞0”,這樣做既消去了參數(shù),又降低了題目的難度,這是解決多參數(shù)問題的一種重要解題思路.

4 用經(jīng)典不等式放縮

例4已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx－1,當時,證明:f(x)≥0.

解析

要證明f(x)≥0 恒成立,即證明f(x)＝aex－lnx－1≥0,由于所以只需證ex－1≥lnx＋1＝ln(ex),即證

構(gòu)造函數(shù)h(x)＝xex,則h′(x)＝ex(x＋1)＞0對任意x∈(0,＋∞)恒成立,所以h(x)在(0,＋∞)上是增函數(shù),于是h(x)＞h(0)＝0.下面只需證明x≥ln(ex)＝lnx＋1恒成立,即lnx≤x－1.而此式是可用導(dǎo)數(shù)證明的特殊不等式,所以f(x)≥0.

點評

在運用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題時,利用一些經(jīng)典恒不等式(如lnx≤x－1,ex≥x＋1)有時可起到事半功倍的作用,但在嚴格證明問題時,需要注意對這些不等式進行適當推導(dǎo)或證明.

5 構(gòu)造新函數(shù)放縮

點評

在本題中,待證的結(jié)論與自然數(shù)相關(guān),所以構(gòu)造一個與此相關(guān)的函數(shù),并判斷此函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),其中恰當?shù)貥?gòu)造函數(shù)是順利解題的關(guān)鍵.

6 用添項或減項放縮

當且僅當x＝0時,等號成立,所以h′(x)在[0,＋∞)上為增函數(shù),于是h′(x)≥h′(0)＝0,所以h(x)在[0,＋∞)上為增函數(shù),故有h(x)≥h(0)＝0,所以當x≥0時,f(x)≤g(x).

點評

由于本題需要證明的不等式比較復(fù)雜,所以直接采用作差法很難達到目的.此解法在運用一個經(jīng)典不等式的基礎(chǔ)上,采用了添項放縮處理,成功地簡化了待證的不等式,值得注意的是所添的項要保證不等號方向一致,并且取等號條件一致.

(完)