以“極值點偏移”為命題背景的導數(shù)綜合題的解題策略

李 波

(四川省南充高級中學)

極值點偏移是指在函數(shù)極值點的左右兩側,由于函數(shù)值的增減速度不同,導致函數(shù)圖像不對稱,該類問題成為近幾年高考中的熱點問題.經過一輪復習以后,學生能夠處理簡單的對稱問題,如證明x1＋x2＞a,x1x2＞a(a為常數(shù))等,但針對非對稱結構、復雜結構、含參不等式證明等問題時,卻無從下手.為此,筆者將該類問題進行歸納總結,與大家一起分享.

1 利用函數(shù)單調性的定義，構造對稱函數(shù)

例1已知函數(shù)f(x)＝x－lnx－a有兩個不同的零點x1,x2.

(1)求實數(shù)a的取值范圍;

(2)求證:x1＋x2＞a＋1.

解析

(1)a∈(1,＋∞)(求解過程略).(2)不妨設x1＜x2,由(1)知,x1∈(0,1),x2∈(1,＋∞),由x1－lnx1－a＝0,得a＝x1－lnx1.

要證x1＋x2＞a＋1,則證x1＋x2＞x1－lnx1＋1,即證x2＞1－lnx1.由x1∈(0,1),知1－lnx1∈(1,＋∞),又f(x)在(1,＋∞)上單調遞增,所以要證f(x2)＝f(x1)＞f(1－lnx1).

點評

證明不等式x1＋x2＞a＋1的難點主要有以下兩點:1)不等式中含有參數(shù)a,不易想到消參;2)證明x2＋lnx1＞1,不易想到構造函數(shù)F(x)＝f(x)－f(1－lnx)(x∈(0,1))證明x2＞1－lnx1.本題應打破以往證明x1＋x2＞λ(λ為常數(shù))的基本套路,這要求學生既要有扎實的基本功、靈活的應變能力,又要在通性通法的基礎上適當創(chuàng)新.

2 利用同構思想化簡，構造復合函數(shù)

3 利用函數(shù)的性質與圖像，快速解答客觀題

點評

若客觀題考查極值點偏移問題,可利用函數(shù)的性質與圖像來快速求解.

4 利用對數(shù)均值不等式，巧證偏移問題

5 反面入手去推證，得出結論有矛盾

例5已知函數(shù)

(1)討論f(x)的單調性;

(2)設a,b是兩個不相等的正數(shù),且a＋lnb＝b＋lna,證明:a＋b＋ln(ab)＞2.

解析

(1)f(x)在(－∞,0),(0,1)上單調遞減,在(1,＋∞)上單調遞增(求解過程略).

點評

本題使用正難則反法,選擇從反面入手,把假設當成已知條件去分析問題,得出新的結論,并從范圍方面找到矛盾,即假設不成立.

6 變換目標成齊次結構，構造過渡函數(shù)

例6已知函數(shù)f(x)＝xlnx－a(x2－1)＋x.

(1)若f(x)單調遞減,求a的取值范圍;

例7已知函數(shù)f(x)＝aex－x2－2x(a∈R).

(1)若函數(shù)g(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù),討論函數(shù)g(x)的單調性;

(2)若函數(shù)f(x)的兩個極值點分別為x1,x2,且x1＜x2,不等式x1＋λx2＞0恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.

以極值點偏移為背景求參數(shù)(變量)的取值范圍、不等式證明、比較大小等問題,考查函數(shù)的性質與圖像、指數(shù)與對數(shù)的運算、函數(shù)的零點與極值、導數(shù)的四則運算等知識,考查分類討論、數(shù)形結合、轉化與化歸等思想方法;考查運算求解、邏輯思維、推理論證、抽象概括等能力.試題情境簡單大氣,解答過程低進高出,解答方法靈活多變,能較好地培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識與思辨能力.

(完)