探究數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

洪木山

摘 要：近年來，隨著我國(guó)教育事業(yè)的不斷發(fā)展，高考試題也在朝著越來越開放的方向不斷發(fā)展，高考命題的方式也越來越多元化，很多時(shí)候一道數(shù)學(xué)題會(huì)包含好幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而要解決這些數(shù)學(xué)問題，需要學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解更加深入，運(yùn)用更加靈活。為了達(dá)到這一教學(xué)效果，教師需要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，不斷完善教學(xué)方案，以此來拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率越來越高，進(jìn)而促使學(xué)生整體數(shù)學(xué)實(shí)力得以提升。文中結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略進(jìn)行探究，以供大家參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)形結(jié)合思想，其實(shí)指一種既涉及數(shù)字，又涉及圖形的思維模式，在這種思維模式下，學(xué)生可以將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，也可以將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字，同時(shí)亦可以將數(shù)字和圖形進(jìn)行互化[1]。數(shù)學(xué)是高中時(shí)期非常重要的一門學(xué)科，其主要是為了研究數(shù)量關(guān)系和空間形態(tài)，在教材中存在數(shù)字和圖形兩個(gè)部分。在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生遇到一些抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果無法應(yīng)用數(shù)字或圖形中的任意一個(gè)去解決它，那么就需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思維方法，把原本抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化，并由此來幫助學(xué)生明確解題思路，從而更好地解決這些數(shù)學(xué)問題[2]。高中數(shù)學(xué)教師必須在課堂中密切關(guān)注學(xué)生主體作用，同時(shí)積極地在課堂中滲透數(shù)形結(jié)合的思想，以此來幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

一、數(shù)形結(jié)合的原則

數(shù)形結(jié)合思想是一種同時(shí)涉及數(shù)字和圖形的思維模式，即通過對(duì)數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)、形的直觀兩種特性的綜合應(yīng)用來分析和解決數(shù)學(xué)問題的思維方式。簡(jiǎn)單來說就是靈活對(duì)“數(shù)”與“形”進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將抽象的“數(shù)”以形象的“圖形”方式呈現(xiàn)出來[3]。將數(shù)形結(jié)合應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以通過對(duì)圖形的應(yīng)用展現(xiàn)原本抽象的數(shù)學(xué)問題，從而可將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)問題變得更容易理解、更容易感知，進(jìn)而能夠達(dá)到降低學(xué)生理解難度，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的效果，對(duì)提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)效率及質(zhì)量有積極幫助。

但需要注意的是，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形思想結(jié)合時(shí)應(yīng)嚴(yán)格遵循兩個(gè)原則，其一，雙向性原則。雙向性原則也就是要對(duì)集合圖形進(jìn)行直觀研究分析，這是由于幾何圖形的多種條件都可以實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的轉(zhuǎn)化，從而可以以圖像方式直觀地展現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中所要推斷的位置條件。在此基礎(chǔ)上，再運(yùn)用代數(shù)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)問題展開邏輯分析，以彌補(bǔ)幾何直觀性給問題分析造成的約束，從而通過對(duì)代數(shù)抽象性以及幾何圖形直觀性等優(yōu)勢(shì)的共同應(yīng)用，發(fā)揮出更好的教學(xué)效果[4]。其二，等價(jià)性原則。等價(jià)性原則即應(yīng)保證“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)和“形”的幾何性質(zhì)在轉(zhuǎn)化時(shí)應(yīng)保持等價(jià)性。這是因?yàn)椤皥D形”雖然具有直觀性強(qiáng)的特點(diǎn)，但是其準(zhǔn)確性難以有效保證，故而也有其自身的局限性，若不能與“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)保持一致，則容易對(duì)解題情況造成影響。故而，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，也應(yīng)注意保持?jǐn)?shù)形的等價(jià)性原則。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值

數(shù)學(xué)是一門內(nèi)容豐富的學(xué)科，其學(xué)習(xí)內(nèi)容可涉及數(shù)量關(guān)系、空間結(jié)構(gòu)等多個(gè)方面?？梢哉f，數(shù)學(xué)是一種揭示事物規(guī)律的基本工具。數(shù)學(xué)的這一特性也決定了其內(nèi)容必然存在有很強(qiáng)的邏輯性、抽象性及嚴(yán)謹(jǐn)性，這也就對(duì)學(xué)習(xí)者邏輯思維能力提出了更高的要求，需要學(xué)習(xí)者具備一定的數(shù)學(xué)思想。尤其是在高中階段，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度較大、學(xué)習(xí)壓力重、時(shí)間緊，僅僅依靠傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”方式進(jìn)行機(jī)械化的練習(xí)鞏固，很容易出現(xiàn)事倍功半的效果，不利于學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提升[5]。而數(shù)形結(jié)合思想則能夠通過數(shù)與形的有效結(jié)合，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從不同角度分析和解決問題，對(duì)降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，提升學(xué)生數(shù)學(xué)效率有積極幫助。具體而言，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值可以歸納為下述幾個(gè)方面：

（一）有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于這一階段的數(shù)學(xué)知識(shí)難度越來越大，且大多數(shù)知識(shí)點(diǎn)都存在抽象性、象征性以及形式化的特點(diǎn)，很多學(xué)生學(xué)習(xí)起來會(huì)非常吃力，同時(shí)各種考試帶來巨大的壓力，讓學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心和興趣越來越低，甚至還有不少學(xué)生產(chǎn)生了厭學(xué)心理[6]。但是，通過在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以將原本抽象的數(shù)學(xué)理論和概念直觀形象地呈現(xiàn)給學(xué)生，以此來達(dá)到化難為簡(jiǎn)的目的。這樣一來，可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重新建立信心，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力，從而有效地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

（二）有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解速度

在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，因?yàn)閭鹘y(tǒng)教學(xué)方法上所存在的一些問題，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)了新的數(shù)學(xué)知識(shí)之后，很難將其與舊數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來，從而影響了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建。通俗來說，就是學(xué)生無法將所學(xué)的新知識(shí)與舊知識(shí)進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而難以在解題過程中有效地運(yùn)用這些數(shù)學(xué)知識(shí)[7]。但是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是數(shù)字和圖像的一種轉(zhuǎn)換，這就在一定程度上推動(dòng)了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu)，讓學(xué)生可以在學(xué)習(xí)新知識(shí)的同時(shí)完成舊知識(shí)的鞏固。另外，通過在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，也可以將原本抽象難懂的數(shù)學(xué)理論知識(shí)通過直觀的形式呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生在數(shù)字和圖形的雙重輔助下，提升自身對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解速度。

（三）有利于拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思路

在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想雖然不是唯一的數(shù)學(xué)解決方法，但是卻在數(shù)學(xué)解題過程中一種重要方式，它可以讓學(xué)生在面對(duì)一些問題時(shí)，幫助學(xué)生從更多角度去尋找問題的突破口，拓寬學(xué)生的解題思路，從而使學(xué)生可以采用一種更為簡(jiǎn)單的新方式去解決數(shù)學(xué)問題。另外，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以讓學(xué)生更加充分地提取和運(yùn)用題干中的相關(guān)信息，從而大大地提高了學(xué)生的解題效率。教師在高中的數(shù)學(xué)課程中要注重?cái)?shù)形結(jié)合思維的應(yīng)用，在培養(yǎng)學(xué)生思想深度的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步拓展他們的數(shù)學(xué)解題思路。

（四）有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

步入高中之后，學(xué)生的思維也在發(fā)展，通過在高中時(shí)期應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以有效地提升學(xué)生的解題思維能力，讓學(xué)生從多個(gè)角度入手去思考和分析數(shù)學(xué)問題，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)[8]。與此同時(shí)，在高中時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以讓學(xué)生的思想不斷在數(shù)字和圖形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以此來鍛煉學(xué)生的思維。最后，數(shù)形結(jié)合思想的重點(diǎn)在于抽象思維與形象思維的相互轉(zhuǎn)變，這樣的一個(gè)過程，對(duì)于提升學(xué)生思維能力非常有益。

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問題

在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生會(huì)遇到與“集合”相關(guān)的問題，在這部分內(nèi)容的教學(xué)中，集合的并、補(bǔ)、交等概念相對(duì)來說會(huì)比較抽象，后續(xù)還要進(jìn)行集合的基本運(yùn)算，如果學(xué)生無法正確地理解和掌握集合的并、交、補(bǔ)的概念，那么在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)會(huì)非常吃力[9]。因此，教師在教學(xué)中，可運(yùn)用圖示法等，讓原本抽象的集合概念變得簡(jiǎn)潔、直觀起來，以此來幫助學(xué)生理解和掌握集合的并、交、補(bǔ)含義。在具體的實(shí)施中，教師可以先讓學(xué)生從字面上理解并、交、補(bǔ)各自的含義，然后教師再繪制Vemn圖，讓學(xué)生直觀地看到并、交、補(bǔ)各自的含義，最后教師再結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生講解集合的并、交、補(bǔ)，如此一來，學(xué)生可以從多個(gè)角度去理解并、交、補(bǔ)的含義，從而為后續(xù)集合的運(yùn)算打下基礎(chǔ)。

例如，在人教版高一數(shù)學(xué)必修一第一章《集合的基本運(yùn)算》的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生遇到集合問題“已知某一個(gè)班級(jí)有學(xué)生41人，其中喜歡吃橘子的有18人，喜歡吃香蕉的有16人，香蕉和橘子都不喜歡吃的有11人，現(xiàn)在我們要計(jì)算出既喜歡吃香蕉，也喜歡吃橘子的人有多少？”在解決這一問題時(shí)，教師可以先集合題目?jī)?nèi)容，將文本內(nèi)容轉(zhuǎn)換成集合語言，即我們先將全班的總?cè)藬?shù)集合起來，表示為，喜歡吃橘子的人數(shù)集合起來，表示為，喜歡吃香蕉的人集合起來，表示為。然后繪制Vemn圖，將題干中的文字轉(zhuǎn)換為直觀的圖形，其中紅色與黃色相交后呈現(xiàn)的橘色部分，就是既喜歡吃香蕉，也喜歡吃橘子的人數(shù)。這樣一來，教師在進(jìn)行集合相關(guān)知識(shí)教學(xué)時(shí)，通過數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，不僅可以讓集合問題變得通俗易懂，方便學(xué)生理解學(xué)習(xí)，同時(shí)還豐富了課堂內(nèi)容。

（二）應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決方程和不等式問題

在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，方程和不等式也是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可忽視的內(nèi)容，而在解決方程和不等式問題時(shí)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以有效地優(yōu)化方程和不等式問題的解題方法，從而提升學(xué)生的解題效率[10]。因此，在“方程與不等式問題”相關(guān)知識(shí)的課堂教學(xué)中，教師往往能夠借助二次函數(shù)圖形，將一元二次不等式問題更直接地表現(xiàn)在圖形上，并由此來開拓學(xué)生的解題思維，從而提升學(xué)生的解題效率。

例如，在人教版高一數(shù)學(xué)必修一第二章《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生面對(duì)一元二次不等式問題“＞0”時(shí)，教師可以先將其轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)，即，然后根據(jù)二次函數(shù)繪制圖像，確認(rèn)二次函數(shù)圖像的開口向上，其在軸上的兩個(gè)交點(diǎn)是-2、3，也就是指題目中所給的二次函數(shù)，其圖像與軸有交點(diǎn)坐標(biāo)存在，即（-2，3），從圖像可知，如果＞0，需要取交點(diǎn)兩側(cè)的值，即＜-2或＞3時(shí)才能滿足＞0，因此，一元二次不等式＞0的解集為{|＜-2或＞3}。除此之外，借助函數(shù)圖象求解方程的近似值也可以有效地簡(jiǎn)化問題，如在求解不規(guī)則的方程時(shí)，教師可以將等式的兩邊分別設(shè)置成函數(shù)的方式，然后繪制函數(shù)圖象，函數(shù)圖象的交點(diǎn)就是方程的根。如一元二次不等式問題“已知方程|-1|=+1，求在不同取值范圍中，該方程的解?！痹诮鉀Q

這一問題時(shí)，教師可以先設(shè)置函數(shù)方式，即1=|-1|，2=+1，然后繪制圖像，觀察圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。因?yàn)?=|-1|是兩條拋物線，一條開口向上，一條開口向下，且與軸的交點(diǎn)為-1、0和1，而2=+1是一條平行于軸的直線，求解后可得，當(dāng)＜-1的時(shí)候，1和2之間是沒有交點(diǎn)的，故而此方程無解；

當(dāng)=-1的時(shí)候，1和2之間存在兩個(gè)交點(diǎn)，故而此方程有兩個(gè)解；當(dāng)-1＜＜0的時(shí)候，1和2之間存在四個(gè)交點(diǎn)，故而此方程有四個(gè)解；當(dāng)=0的時(shí)候，1和2存在三個(gè)交點(diǎn)，故而此方程有三個(gè)解；當(dāng)k＞0的時(shí)候，1和2存在兩個(gè)交點(diǎn)，故而此方程有兩個(gè)解。通過這種以形化數(shù)的方式，可以有效地降低一元二次不等式問題的難度，教師應(yīng)該多給予學(xué)生一些獨(dú)立思考的時(shí)間，讓學(xué)生充分考慮到其中的可能性，從而準(zhǔn)確地解決此類問題。

（三）應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決幾何問題

在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，立體幾何是其中非常重要的內(nèi)容之一，為了幫助學(xué)生掌握更多解決立體幾何問題的方法，教師在教學(xué)中應(yīng)該重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，以此來幫助學(xué)生突破思維的限制，形成較為完整的立體幾何解題思路。在具體的實(shí)施中，教師可以先對(duì)立體幾何的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)等進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其中所存在的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)量關(guān)系來解決問題。

例如，在人教版高一數(shù)學(xué)必修二第八章《空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到類似這樣的問題“已知有一個(gè)四棱錐，其底面是平行四邊形，且平行四邊形的為60°，=2，同時(shí)四棱錐的棱和平行四邊垂直。現(xiàn)在要求和垂直”。在解決這一幾何問題時(shí)，不僅需要學(xué)生發(fā)揮自身的空間想象力，同時(shí)還需要學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，如題干中所提到的為60°，=2，通過這兩個(gè)信息以及余弦定理，學(xué)生就可以證明和之間是垂直關(guān)系，而由題目中得知和也垂直，和同屬于一個(gè)平面，這樣學(xué)生很容易就能解決這個(gè)幾何問題。另外，在解決幾何問題的過程中，教師還可以利用直角坐標(biāo)系，讓數(shù)字和圖像結(jié)合得更加充分，從而有效地發(fā)揮代數(shù)等知識(shí)的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生運(yùn)用這些知識(shí)去解決幾何問題，進(jìn)而提升學(xué)生解決幾何問題的能力。

（四）應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題

在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)問題既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，為了更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識(shí)，教師在教學(xué)中可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)函數(shù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行研究分析。在解決一些函數(shù)問題時(shí)，常常會(huì)借助直角坐標(biāo)系來輔助問題的解決，通過直角坐標(biāo)系的繪制，能夠清晰明了地表達(dá)函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)解析式的精準(zhǔn)計(jì)算，從而使得函數(shù)問題得到有效解決。在具體的實(shí)施過程中，教師需要積極地向?qū)W生灌輸數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生能夠達(dá)到靈活運(yùn)用的程度。這樣，學(xué)生在面對(duì)函數(shù)問題時(shí)，才能夠準(zhǔn)確抓住函數(shù)問題的特征，促使學(xué)生解題思路得到拓展，更好地掌握函數(shù)相關(guān)的知識(shí)內(nèi)容。

例如，在人教版高一數(shù)學(xué)必修一第三章《函數(shù)的基本性質(zhì)》的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到如下類型的函數(shù)問題“已知有一個(gè)二次函數(shù)=（＞0），當(dāng)＜0時(shí)，的值應(yīng)該是什么？A.0；B.正數(shù)；C.負(fù)數(shù)；D.取決于符合”。在解決這一函數(shù)問題時(shí)，教師需要先繪制二次函數(shù)圖像，并計(jì)算=

與軸之間的交點(diǎn)坐標(biāo)，即=0或者=-1，且由于的圖像開口向上，當(dāng)＜0時(shí)，其的區(qū)間應(yīng)該是（-1，0），區(qū)間長(zhǎng)度是1，而由題干可知，＞0，將函數(shù)的圖像整體向上進(jìn)行平移后，＜0的區(qū)間長(zhǎng)度只會(huì)比1更小。因此，當(dāng)＜0時(shí)，的值一定會(huì)大于0，由此可得，此題的答案為B。通過以上解題過程可以看出，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用可以將原本較為抽象的函數(shù)關(guān)系更加直觀地表現(xiàn)出來，讓函數(shù)問題變得簡(jiǎn)單，有助于學(xué)生掌握函數(shù)知識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決問題。

結(jié)束語

總而言之，數(shù)學(xué)這門學(xué)科具備著非常強(qiáng)的邏輯性，其既研究空間圖像，也研究數(shù)量關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是非常有必要的。因此，在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該從實(shí)際教學(xué)情況出發(fā)，靈活地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想去解決高中數(shù)學(xué)教學(xué)中所遇到的函數(shù)問題、集合問題、幾何問題、方程和不等式問題等，以此來降低題目的難度，幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)，拓寬學(xué)生解題思路，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)整體實(shí)力的提升。另外，除了文章中所提到的這些數(shù)學(xué)問題之外，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用還可以幫助學(xué)生解決概率問題、數(shù)列問題等，為了確保數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)得以充分發(fā)揮，還需要教師不斷創(chuàng)新和優(yōu)化數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用策略。

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本文系泉州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃（第一批）立項(xiàng)課題“新高考背景下“歷史傾向”學(xué)生的數(shù)學(xué)培優(yōu)實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：QG1451-177）研究成果。