2022年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷的特色與啟示

陳香君 葉華明 趙思林

摘要：2022年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷具有“五反”特色，這里的“五反”是指反“解題套路”、反“淺層教學(xué)”、反“低階思維”、反“童子功”差、反“機(jī)械刷題”．“五反”特色對引導(dǎo)教學(xué)和改進(jìn)教學(xué)都有諸多啟示．提出了面向新高考的教學(xué)建議：發(fā)掘教材功能，淡化教輔資料；適當(dāng)引入真題，培養(yǎng)思維品質(zhì)；聚焦核心素養(yǎng)，發(fā)展創(chuàng)新能力．

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；新高考Ⅰ卷；創(chuàng)新能力；教學(xué)啟示

1新高考Ⅰ卷的“五反”特色及整體評價

2022年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷（以下簡稱“Ⅰ卷”）是一套體現(xiàn)了“五反”特色的試卷，這里的“五反”是指反“解題套路”、反“淺層教學(xué)”、反“低階思維”、反“童子功”差、反“機(jī)械刷題”．這里的“五反”是對數(shù)學(xué)教學(xué)題型化、解題教學(xué)套路化、學(xué)生學(xué)習(xí)機(jī)械化、巨量刷題記憶化的一次成功阻擊．?dāng)?shù)學(xué)教育理論研究與教學(xué)實(shí)踐反復(fù)表明，采用題型套路、機(jī)械刷題、題海戰(zhàn)術(shù)的數(shù)學(xué)教學(xué)是培養(yǎng)不出數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才的，更培養(yǎng)不出菲爾玆獎獲得者．因此，Ⅰ卷的“五反”特色是我國高考數(shù)學(xué)命題的一次有益探索，值得研究與教學(xué)反思．

教育部教育考試院的權(quán)威報告認(rèn)為，2022年高考數(shù)學(xué)全國卷“深化基礎(chǔ)考查，突出思維品質(zhì)，充分發(fā)揮教育評價育人功能和積極導(dǎo)向作用，服務(wù)‘雙減'工作落實(shí)落地，引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展．”［1］教育部教育考試院還認(rèn)為，2022年高考數(shù)學(xué)全國卷“試題設(shè)置反映我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、科技發(fā)展成果的真實(shí)情境，深化基礎(chǔ)性考查，注重?cái)?shù)學(xué)的本質(zhì)與創(chuàng)造性思維，深入考查核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，發(fā)揮數(shù)學(xué)科考試的選拔功能”［2］，并“發(fā)揮高考對課程教學(xué)改革的導(dǎo)向和推動作用”［2］．其中的“注重?cái)?shù)學(xué)的本質(zhì)與創(chuàng)造性思維”“深入考查核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力”“發(fā)揮數(shù)學(xué)科考試的選拔功能”等評價對Ⅰ卷來說是很準(zhǔn)確的，特別是“注重?cái)?shù)學(xué)的本質(zhì)”和“創(chuàng)造性思維”的考查是非常到位的．Ⅰ卷很多題目新穎獨(dú)特，如第4、5、7、11、12、14、18、20、22等題；一些題目的情境、問題與知識的組合搭配自然協(xié)調(diào)，如第4、9、10、11、12、14、18、20、22等題；一些題目的知識交匯和綜合方式新奇有趣，如第5、12、22等題；一些題目富含數(shù)學(xué)美育因素，如第6、8、9、10、11、12、14、17、18、20、22等題；“在考查內(nèi)容的選取上更加全面和靈活”［2］，如第4、5、18、20、21題分別考查了一些比較冷僻的知識點(diǎn)如“棱臺的體積”“互質(zhì)”“正切的半角公式”“條件概率”“雙曲線”；教育部高考全威專家提出：第7、12、18、20、22等題的解答需要學(xué)生具備創(chuàng)造性思維能力，這些題目充分體現(xiàn)了“考查創(chuàng)新能力是時代對高考的要求，是高考選拔性考試特點(diǎn)的重要體現(xiàn)，也是今后高考改革的重要內(nèi)容［3］”的新時代訴求．

2“五反”特色及案例評析

2.1反“解題套路”

Ⅰ卷第7題“三數(shù)比較大小”，考生對此題型非常熟悉．但a=0.1e0.1，b=（1?9），c=-ln0.9三數(shù)形式各異，不能直接比較，由于b確定但a，c是涉及2種超越運(yùn)算的非特殊數(shù)值，憑經(jīng)驗(yàn)可先采用“估算法”，與特殊值比較來試試，但估算發(fā)現(xiàn)三者均接近于0.1；直接通過作差（商）法比較大小，顯然也行不通，因此需另尋他法．構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)、利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小是第三種思路，但如何構(gòu)造函數(shù)？回到a，b本身分析其結(jié)構(gòu)：比較a=0.1e0.1與b=（1?9），即10a=e0.1與10b=（10?9）（化小數(shù)為整數(shù)），即lne0.1=0.1與ln（10?9）（同時取對數(shù)），又考慮0.1與（10?9）的關(guān)系，即比較0.1=1-（9?10）與ln（10?9）（消元），于是構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-（1-（1?x）），x>0．求導(dǎo)可知f（x）min=f（1）=0，所以lnx>1-（1?x），進(jìn)而比較它們的大?。?/p>

回顧思路，已有經(jīng)驗(yàn)“頻頻失效”的原因在于，本題雖是常見題型，但解題思路是非常規(guī)的，其難度遠(yuǎn)比平時做的題更難．“估算”，或“精算”，或直接作差（商）法等“套路”皆用不上；需要構(gòu)造的函數(shù)也超乎尋常，如0.1、（1?9）、0.9三者之間的“函數(shù)關(guān)系”也不是顯而易見的．本題探尋函數(shù)結(jié)構(gòu)的難點(diǎn)在于，幾個不同數(shù)值分別隱藏在指數(shù)、對數(shù)兩種超越函數(shù)中，用“化繁為簡”原則（即化小數(shù)為整數(shù)，取對數(shù)等）化簡后需比較0.1與ln（10?9）的大小，這是兩個離散的常數(shù)，需先變?yōu)檫B續(xù)的變量，于是將1-（9?10），ln（10?9）中的（10?9）看成x，得到函數(shù)f（x）=lnx-（1-（1?x）），這是“特殊→一般”的過程；由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)知f（x）>0后得lnx>1-（1?x），隨之再代入x=（10?9）得到a，b的大小關(guān)系，這是“一般→特殊”的過程．整個解題的思維需經(jīng)歷“特殊→一般→特殊”的過程，對思維靈活性、創(chuàng)新性提出了較高的要求．解答此題若缺乏創(chuàng)新思維能力，則是比較困難的．此題的思路寬，解法多達(dá)10余種，有利于考查學(xué)生的發(fā)散思維．因此，本題是一道考查創(chuàng)新思維能力的好題目．

2.2反“淺層教學(xué)”

Ⅰ卷第4題以水庫蓄水的實(shí)際問題為背景，學(xué)生需先抽象出其中的數(shù)學(xué)問題：求棱臺的體積．題目雖難度不大，但因近10年來全國卷鮮少考查“棱臺體積”，使教學(xué)與練習(xí)均成盲點(diǎn)，致使學(xué)生心理感到很別扭．這是典型的“若不考，則不教且不學(xué)”的“淺層教學(xué)”的真實(shí)表現(xiàn)．但需知道“棱臺體積公式”是“柱體體積公式”“錐體體積公式”的統(tǒng)一形式（統(tǒng)一美）．若只教“柱體體積公式”和“錐體體積公式”，學(xué)生則容易認(rèn)為“柱體體積公式”和“錐體體積公式”是兩個沒有內(nèi)在聯(lián)系的“孤魂野鬼”．那么，學(xué)生要理解“柱體體積公式”和“錐體體積公式”之間的內(nèi)在關(guān)系就很困難了，可能只好“死記硬背”了．因此，只教“柱體體積公式”“錐體體積公式”而不教“棱臺體積公式”的教學(xué)是淺層教學(xué)．

又如，第18題是三角函數(shù)解答題，題干中（cosA?1+sinA）=（sin2B?1+cos2B）的分式結(jié)構(gòu)在高考和教輔中都未出現(xiàn)過，其右邊是正切的半角公式模型，由正切半角公式可得（sin2B?1+cos2B）=tanB，但其左邊不能直接使用正切半角公式，需先用誘導(dǎo)公式變形再運(yùn)用正切的半角公式可化為tan（（π?4）-（A?2））．從而得到，tan（（π?4）-（A?2））=tanB，進(jìn)而得到（π?4）-（A?2）=B．得到了這個關(guān)系之后，解答就比較容易了．本題所涉及到的正切半角公式是源于人教A版教材“三角恒等變化”之“練習(xí)”中的第1題：證明tan（α?2）=（sinα?1+cosα）=（1-cosα?sinα）．如果對教材中這個特別的“練習(xí)”題采用深度教學(xué)，那么學(xué)生可能對這個18題的形式和其解答就不會感到生疏．

再如，第20題第二小問，要求證明條件概率相關(guān)公式再運(yùn)算，出乎意料．

2.3反“低階思維”

Ⅰ卷第14題求圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的一條公切線的方程，首先計(jì)算兩圓心距離等于半徑之和，二者是外切關(guān)系，應(yīng)有三條公切線，有以下思路：討論切線斜率是否存在，設(shè)出方程，通過圓心到切線距離為半徑求參數(shù)，即最易想到的“硬算”法；考慮到兩條外切線關(guān)于兩圓心所在直線對稱，結(jié)合直線的兩點(diǎn)式方程，采用“特殊點(diǎn)對稱”法；轉(zhuǎn)化過點(diǎn)的圓的切線，可采用“向量”法．以上思路易想到，但思維層次較低，運(yùn)算量較大．試想：若本題變成求其兩條公切線的方程，那難度陡增．實(shí)際上，通過畫圖觀察就立刻得一條切線x=-1，不需計(jì)算；那第二條呢？兩相交圓的方程相減得到的是公共弦的方程，而“相切”是“相交”一種特殊形式，或者說是極限形式，因此，兩圓雖是外切關(guān)系，但相減仍能得“公共弦”，即兩圓的內(nèi)切線3x+4y-5=0．由此，本題重在考察學(xué)生對于數(shù)學(xué)本質(zhì)的深層理解而非計(jì)算能力．又如第15題，曲線y=（x+a）ex有兩條切線，求a的范圍，常規(guī)求導(dǎo)、設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)（x0，（x0+a）ex0），由切線方程過原點(diǎn)得x20+ax0-a=0，再由Δ>0求a的范圍計(jì)算量較大．那能否優(yōu)化呢？回到直線斜率的表示：兩點(diǎn)求斜率公式或求出導(dǎo)函數(shù)代入切點(diǎn)橫坐標(biāo)，二者是等價的，即有（（x0+a）ex0-0?x0-0）=（x0+a+1）ex0，易得x20+ax0-a=0．

學(xué)生“拿到題就開始算”是常態(tài)，而“為什么這樣做”“有無更簡單的解法”這些直擊知識本質(zhì)的問題易受忽略．新高考考查重深層思維，輕低階思維，要跳出“套路”，通過“多想少算”培養(yǎng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的高階思維，在復(fù)雜形式中能快速分析出問題的實(shí)質(zhì)，是創(chuàng)新人才須具備的能力．

2.4反“童子功”差

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)被喻為數(shù)學(xué)的“童子功”（章建躍），不可謂不重要．但新課改實(shí)施之后，小學(xué)、初中和高中的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)都明顯降低了對數(shù)學(xué)“童子功”的訓(xùn)練要求，從而導(dǎo)致很多學(xué)生對數(shù)學(xué)運(yùn)算的實(shí)際狀況是不想算、不敢算、不會算，甚至是害怕算、算易錯等不良后果．2017年版的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把“數(shù)學(xué)運(yùn)算”作為六大核心素養(yǎng)之一，明確和強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的“童子功”作用是非常必要的．

Ⅰ卷第8題是正四棱錐的外接球問題，難度不大，其思路較為常規(guī)：首先運(yùn)用直觀想象得到大致圖形，再借助勾股定理得到側(cè)棱l與高l1的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)多元向一元的轉(zhuǎn)化，然后得到正四棱錐體積的一個三次函數(shù)，最后利用導(dǎo)數(shù)法或三元均值不等式求出函數(shù)的最值．整個解題過程對思維的靈活性、創(chuàng)新性要求并不是太高，學(xué)生的計(jì)算能力若能過關(guān)，則本題就能迎刃而解．第16題是圓錐曲線的常見題型，結(jié)合等邊三角形、垂直平分線的性質(zhì)等表示出直線DE的方程，再與橢圓聯(lián)立化簡，利用韋達(dá)定理、橢圓的弦長公式，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后再根據(jù)橢圓的定義，即可求解．本題主要考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題，需要學(xué)生有較強(qiáng)的計(jì)算能力．第21題考查雙曲線相關(guān)性質(zhì)，求直線l的斜率采用常規(guī)計(jì)算：顯然點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足雙曲線方程（x2?2）-y2=1，設(shè)l：y=kx+m（易見直線l的斜率存在），這兩個方程聯(lián)立后，根據(jù)直線AP，AQ的斜率之和為0，即可解出參數(shù)k．這個求解方法屬于通性通法，學(xué)生都很熟悉，但學(xué)生的運(yùn)算能力若不過關(guān)則會出現(xiàn)“眼高手低”的失分實(shí)況．

2.5反“機(jī)械刷題”

中共中央國務(wù)院關(guān)于《深化新時代教育評價改革總體方案》提出：“改變相對固化的試題形式，增強(qiáng)試題開放性，減少死記硬背和‘機(jī)械刷題'現(xiàn)象”［4］．死記硬背題型套路、“機(jī)械刷題”和機(jī)械學(xué)習(xí)是我國當(dāng)下基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的頑疾，很有必要好好“醫(yī)治”．針對第4、5、18、20、21題，這些考查比較冷僻的知識點(diǎn)如“棱臺的體積”“互質(zhì)”“正切的半角公式”“條件概率”“雙曲線”的題目“靠死記硬背，靠刷題熟練”是不會奏效的；針對考查創(chuàng)新思維能力的題目如第7、18、20、22等題，“靠死記硬背，靠刷題熟練”更不會奏效．這些反套路設(shè)計(jì)的題目對反“機(jī)械刷題”是有效的和成功的，對中學(xué)教學(xué)有良好的導(dǎo)向作用．

3教學(xué)啟示

3.1發(fā)掘教材功能，淡化教輔資料

當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，很多學(xué)校都以所謂的導(dǎo)學(xué)案為主甚至把教材放在一邊基本不用，師生過度依賴于所謂的導(dǎo)學(xué)案，忽視導(dǎo)學(xué)案所存在的“缺乏合法性、造成巨大浪費(fèi)和環(huán)境污染、不完全符合‘立德樹人'的原則等深度問題”［5］，造成數(shù)學(xué)教學(xué)舍本逐末（舍課本、逐教輔）的不良傾向，造成師生負(fù)擔(dān)過重．所謂的導(dǎo)學(xué)案為了吸引眼球、博得賣點(diǎn)，東拼西湊一些偏怪難題，嚴(yán)重挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，學(xué)生學(xué)習(xí)特別是練習(xí)缺乏甚至沒有“成功體驗(yàn)”；很多所謂的導(dǎo)學(xué)案的模式為：題型—方法（套路）—題目—答案—解析，缺乏對考點(diǎn)、背景、拓展等進(jìn)行深層次分析與探究，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)時機(jī)消失在“題型套路”和“題海戰(zhàn)術(shù)”之中．這就背離了“數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)、培養(yǎng)理性思維的一個主要途徑［6］”的教學(xué)理念．

科學(xué)知識向?qū)W科課程知識轉(zhuǎn)化，形成了“教材”，這是廣大學(xué)科專家和課程開發(fā)專家的努力結(jié)果［7］，具有很高的專業(yè)性、科學(xué)性．可以說，教材是“教學(xué)的心臟”．這一轉(zhuǎn)化為第二層轉(zhuǎn)化提供了載體和條件：把學(xué)科課程知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生知識．這就依靠廣大一線教師，實(shí)際教學(xué)中脫離教材搞教學(xué)，以教輔資料為主要教學(xué)資源搞教學(xué)等不正?，F(xiàn)象［8］應(yīng)予以糾正，“快餐式”的教學(xué)使得學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能沒有打牢，數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)未充分積累，“四基”尚未筑牢，何談能力、品質(zhì)、素養(yǎng)等的生成．如上述的Ⅰ卷第4題類似于2019人教版高中數(shù)學(xué)教材A版必修2第120頁的第3題（如下），是第3題的一個“簡化版”．

如圖，一個三棱柱容器中盛有水，側(cè)棱AA1=8．若側(cè)面AA1B1B水平放置時，水面恰好經(jīng)過AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn)．那么當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，水面高為多少？

隨著新教材出爐，各校的教師團(tuán)隊(duì)?wèi)?yīng)著力研究教材，進(jìn)而研究教法，集中精力研究教材的脈絡(luò)，知識點(diǎn)，教學(xué)特別是新授課要多關(guān)注教材練習(xí)、習(xí)題，以科學(xué)、高效且不失“數(shù)學(xué)味”的方式幫助學(xué)生理解掌握，進(jìn)而內(nèi)化為自身知識，鍛煉數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

3.2適當(dāng)引入真題，培養(yǎng)思維品質(zhì)

培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)．而一些優(yōu)秀的高考真題是培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良思維品質(zhì)的重要載體，這是由于一些優(yōu)秀的高考真題是以考查學(xué)生的優(yōu)良思維品質(zhì)立意的．?dāng)?shù)學(xué)優(yōu)良思維品質(zhì)的外延包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性、獨(dú)創(chuàng)性等品質(zhì)［9］．如Ⅰ卷中的第7、8、12題考查了思維的深刻性，第5、14、16題考查了思維的敏捷性、靈活性，第9、11、22題考查了思維的批判性、獨(dú)創(chuàng)性．

新授課階段應(yīng)以教材練習(xí)、習(xí)題為主，此時學(xué)生剛接觸新知，經(jīng)歷認(rèn)知的“同化”過程，教材習(xí)題于知識點(diǎn)而言有較強(qiáng)的針對性，能讓學(xué)生“即學(xué)即用”，且難度較小，學(xué)生易獲得很好的“成功體驗(yàn)”，有信心開展后續(xù)學(xué)習(xí)任務(wù)．待學(xué)生已熟悉新學(xué)知識點(diǎn)和教材相關(guān)題目后，可稍引入一兩個難度較小的高考真題，讓學(xué)生感知本節(jié)知識點(diǎn)的重要程度及高考的常見考查方式．如第1、2、3、5、8、13等難度較低的題可在相應(yīng)知識點(diǎn)學(xué)完后介紹給學(xué)生．由于高考真題具有新穎性、綜合性、獨(dú)創(chuàng)性等特點(diǎn)，因此在章節(jié)復(fù)習(xí)、期末復(fù)習(xí)或高三復(fù)習(xí)階段，可適當(dāng)選擇一些富含數(shù)學(xué)思想方法和訓(xùn)練思維品質(zhì)的高考優(yōu)秀真題，開展數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)或研究性學(xué)習(xí)．如第1—6、8—12、14—18等題均可在復(fù)習(xí)課中使用．

3.3聚焦核心素養(yǎng)，發(fā)展創(chuàng)新能力

以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)立意，考查數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是今后高考命題的基本原則．由此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)牢固樹立“為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)而教”“為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)而學(xué)”“為數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維而教”“為數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維而學(xué)”的教育教學(xué)理念．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個體在理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、思考數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）數(shù)學(xué)等活動中對數(shù)學(xué)感悟、反思和體驗(yàn)的結(jié)果［9］，即學(xué)有所悟．“悟”的過程又需要學(xué)生具備一定的空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)聚焦六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和七大數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的生成是重要的，因?yàn)閿?shù)學(xué)知識和方法可以教會，但數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)等是不容易教會甚至是教不會的，它們更需要靠學(xué)生自己去“做”“會”“思”“悟”．學(xué)生通過“做”一道題，“會”一類題的數(shù)學(xué)方法，“思”隱藏在其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律，“悟”蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想與智慧．從而，達(dá)到舉一反三、以一當(dāng)十、以一當(dāng)百、以一當(dāng)千的高效學(xué)習(xí)效果，真正讓“雙減”政策落地．發(fā)展創(chuàng)新能力是數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的最高目標(biāo)．特別是受當(dāng)下我國“芯片”之痛和“搞芯片需要‘砸'數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、化學(xué)家和材料科學(xué)家（任正非語）”的雙重啟示，通過激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識、幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)創(chuàng)新方法、提升學(xué)生創(chuàng)新思維能力、完善學(xué)生的創(chuàng)新人格來培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，是極其緊迫任務(wù)．高斯在高三時解決了正17邊形的尺規(guī)作圖（屬千年難題）、伽羅華大約在18歲時創(chuàng)立“群論”、華羅庚在18歲時寫出第一篇數(shù)學(xué)論文等事實(shí)均表明，高中學(xué)生蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力，因此數(shù)學(xué)教學(xué)如果真在聚焦了核心素養(yǎng)并采用單元整體教學(xué)，那么就可以節(jié)約出不少時間去培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力．

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