基于波利亞解題觀例析數(shù)學試題及其核心素養(yǎng)探究

馮亞芳　李書海

摘 要：三角函數(shù)是高中數(shù)學的重點知識和高考的熱門考點。三角函數(shù)相關(guān)習題情境靈活多變，解題方法多種多樣，基于波利亞解題觀，結(jié)合“怎樣解題表”的相關(guān)提示語，可以較高效率地進行解題。因此，本文根據(jù)波利亞解題觀對高考中三角函數(shù)問題進行實例分析，就如何培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)進行探索，以期幫助學生更好地掌握這一高效解題方法并深入了解相關(guān)問題，提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：波利亞解題觀；核心素養(yǎng)；怎樣解題表；三角函數(shù)；高考試題；解題研究

中圖分類號：G424.1? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2023）02-0079-05

1 引言

《普通高中數(shù)學課程標準（2020版）》（以下簡稱“課標”）中規(guī)定的課程目標之一是“提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”[1]。處于高中學段的學生，主要的數(shù)學活動就是解決問題，而解題能力的培養(yǎng)是提高學生數(shù)學學習質(zhì)量的前提和保障。因此，本文對數(shù)學解題研究進行系統(tǒng)論述，以求得出解決此類問題的一般結(jié)論。

關(guān)于數(shù)學解題研究，目前我國學者和研究人員主要集中在中學數(shù)學解題能力和教學的研究，其中研究主題主要體現(xiàn)為高中數(shù)學、函數(shù)、數(shù)學思想方法、應用題等，對于數(shù)學解題研究集中體現(xiàn)在結(jié)合相應的數(shù)學思想方法進行論述，其中較為突出的解題理論就是波利亞的解題思想。結(jié)合波利亞解題觀進行數(shù)學解題，對教師而言，可以更有效地開展解題教學，從理論角度出發(fā)，上好每一節(jié)課，真正將課標的要求落到實處，促進學生的發(fā)展；對學生而言，可以更有效地掌握解題的一般思路，提高數(shù)學學習的質(zhì)量，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，使學生真正學會自己解決問題。

三角函數(shù)作為每年高考的必考內(nèi)容，在高中數(shù)學中占有重要地位。對培養(yǎng)學生的邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模素養(yǎng)都起到重要作用。但在實際解題過程中，學生面對此類問題往往會陷入知道公式卻不會用、看到問題解題思路不清晰等困境，而數(shù)學教育家波利亞在《怎樣解題》中為人們提供了一套系統(tǒng)的解題途徑，這有利于人們掌握解題過程的一般規(guī)律[2]。而當前，基于波利亞解題觀求解函數(shù)問題且對三角函數(shù)解題的研究并不是很多。通過閱讀相關(guān)文獻，受學者李敏、姜文、駱萬麗等人的研究啟發(fā)，本文將根據(jù)波利亞解題觀對高考中三角函數(shù)問題進行實例分析并就如何培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)進行探索，以期幫助學生更好地掌握這一高效解題方法并深入了解相關(guān)問題[3，4]。

2 實例分析

在歷年的高考題中，三角函數(shù)題難度往往并不是很大，此題對學生來說，應該是必得分的題型。但是在實際情況中，部分學生并不能做到把這些題完全解決，面對簡單的已知條件，學生并不能快速有效地提取相關(guān)公式，精準找到解題思路，從而浪費大量時間，增加考試負擔，影響學生水平的正常發(fā)揮。波利亞“怎樣解題”表，展示了解題的四個階段：理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧，將復雜的問題簡單化[2]。結(jié)合具體實例，基于波利亞“怎樣解題”表的相關(guān)提示語，對近兩年高考三角函數(shù)的題進行分析及其拓展。

2.1 題目1

3 思考與探討

3.1 掌握基本方法，靈活應用“怎樣解題”表

“怎樣解題”表為解題提供了一般思路，無論是簡單還是復雜題型，都可以結(jié)合波利亞的“怎樣解題”表進行解題，那么學生應當如何更好的使用呢？在前面已經(jīng)結(jié)合高考三角函數(shù)的實例進行了分析。第一，要帶有目的性。當拿到一個問題時，應當認真分析題目，確定目標，研究和設(shè)計解題思路；第二，要有“化繁為簡”“化難為易”的意識。將待解決的問題盡可能地轉(zhuǎn)化為自己熟悉、簡單、易解決的問題；第三，要有創(chuàng)新性思維。當用常規(guī)思維或正面解決一個問題比較棘手時，克服自己思維的定式，有效利用解析法和分析法，還能從問題的反面進行思考，從而尋求新的解題思路。

3.2 基于波利亞解題觀解題，發(fā)展學生核心素養(yǎng)

三角函數(shù)相關(guān)知識作為高考必考點，相關(guān)試題靈活多變。因此，對學生的解題能力也提出了更高的要求，基于波利亞解題觀求解相關(guān)問題，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。通過前面實例分析，將其歸納為以下幾點：第一，發(fā)展學生的邏輯推理能力。在解題的過程中，按照波利亞解題觀進行解題，學生零散的、不規(guī)范的解題思路逐漸變得完整和規(guī)范，解題的思維模式也逐漸變得更加科學嚴謹；第二，發(fā)展學生的數(shù)學抽象能力。在審題的過程中，基于波利亞解題觀，可以將原本的自然語言抽象為數(shù)學語言（文字語言、符號語言、圖表語言）等，在這些相互轉(zhuǎn)換的過程中，學生的數(shù)學抽象能力都可以得到充分地發(fā)展；第三，發(fā)展學生的數(shù)學運算能力。在回顧這一階段，學生回顧運算求解的過程，去感悟運算對象的多樣性和運算應用的廣泛性[5]，這對提升學生的數(shù)學運算能力具有重要作用。

3.3 結(jié)合“怎樣解題”表相關(guān)提示語，促進素質(zhì)教育

“怎樣解題”表的4個步驟和程序組成了一個完善的解題教學系統(tǒng)[6]。數(shù)學教學離不開解題，“怎樣解題”表在解題教學中的作用不可忽視，結(jié)合“怎樣解題”表的相關(guān)提示語進行解題教學時，教師不是強調(diào)讓學生完全遵循這個模式解決問題，而是應當靈活、創(chuàng)造性地使用。這樣的解題教學更加注重分析解題過程和解題后的回顧，與之前那種為解題而解題、“題海戰(zhàn)術(shù)”“熟能生巧式解題”的方式截然相反。這不僅提高數(shù)學解題教學的質(zhì)量，還幫助學生在理解的基礎(chǔ)上解題、掌握解題方法，從而領(lǐng)會數(shù)學思想，促進學生的可持續(xù)發(fā)展，對課堂教學有回歸素質(zhì)教育的現(xiàn)實意義。

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參考文獻：

〔1〕中華人民共和國教育部.高中數(shù)學課程標準（2017版2020修訂）.北京：人民教育出版社，2020.

〔2〕喬治·波利亞著，涂泓，馮承天譯.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.

〔3〕李敏.滲透數(shù)學思想凸顯數(shù)學核心素養(yǎng)——以2021年高考三角函數(shù)試題為例[J].數(shù)理天地（高中版），2022，32（15）：55-57.

〔4〕姜文，駱萬麗.基于波利亞解題觀求解2020年高考全國Ⅰ卷第20題[J].數(shù)學教學研究，2021，40（02）：55-59.

〔5〕瞿兵.基于核心素養(yǎng)的數(shù)學解題模型構(gòu)建[J].教育觀察，2019，8（14）：15-17.

〔6〕羅增儒．數(shù)學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

收稿日期：2022-09-13

通訊作者：李書海（1966-），男，內(nèi)蒙古通遼人，教授，碩士生導師。研究方向：復分析及其應用，學科教學論。

基金項目：赤峰學院教育碩士專項課題（cfxyjyss12003）