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    初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的概念理解與培養(yǎng)路徑

    2023-05-30 17:43:29周存蘭
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)路徑初中數(shù)學(xué)

    周存蘭

    [摘? 要] 義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表述為:會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界. 在核心素養(yǎng)以及初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視角之下認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象,必須能夠發(fā)掘其新的內(nèi)涵. 這種新的內(nèi)涵意味著對數(shù)學(xué)抽象的理解必須與核心素養(yǎng)培育的最終目標(biāo)相匹配;必須要與學(xué)生的具體學(xué)習(xí)過程,尤其是學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的規(guī)律相匹配;必須要對教師的日常教學(xué)起到指導(dǎo)性的作用. 在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的時候,要保證提供給學(xué)生的現(xiàn)實世界中的事例,與所對應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系之間,要有相對簡單、對應(yīng)的關(guān)系,要保證學(xué)生能夠運用自己的數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)思維,將這些數(shù)學(xué)關(guān)系尋找出來.

    [關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;概念理解;培養(yǎng)路徑

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》已經(jīng)正式發(fā)布,相對于其他學(xué)段的核心素養(yǎng)表達(dá)而言,義務(wù)教育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表述更為通俗,其為:會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界. 借助這三個表述,可以對初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進行全面的理解. 根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的闡述,初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)表現(xiàn),包括抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識以及創(chuàng)新意識. 在這些要素當(dāng)中,抽象能力首當(dāng)其沖,這是有原因的. 對于初中數(shù)學(xué)乃至于整個義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)而言,其中的數(shù)學(xué)知識與生活的關(guān)系都非常密切,很多數(shù)學(xué)知識都來自現(xiàn)實世界,所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識又能反作用于現(xiàn)實世界,所以在幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的時候,立足于現(xiàn)實世界進行教學(xué),然后對現(xiàn)實世界的事物進行數(shù)學(xué)抽象,就是一個基本的教學(xué)思路.

    數(shù)學(xué)抽象不是一個新的概念,但是在核心素養(yǎng)以及初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的視角之下認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象,又必須能夠發(fā)掘其新的內(nèi)涵. 這種新的內(nèi)涵意味著對數(shù)學(xué)抽象的理解必須與核心素養(yǎng)培育的最終目標(biāo)相匹配,必須與學(xué)生的具體學(xué)習(xí)過程,尤其是學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的規(guī)律相匹配,必須對教師的日常教學(xué)起到指導(dǎo)性的作用. 尤其值得一提的是,數(shù)學(xué)抽象過程應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生的體驗過程,只有讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象,才能讓學(xué)生形成關(guān)于數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗性認(rèn)識,并且基于這一認(rèn)識上升為理性思維. 而也只有具備了理性思維的支撐,數(shù)學(xué)抽象才能真正成為學(xué)生的素養(yǎng).

    所以對于一線教師來說,要想將初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)落實到地,首先要從理論上建立起關(guān)于數(shù)學(xué)抽象的基本理解,然后要在日常教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上,借助日常的教學(xué)實踐以及形成的基本案例,來判斷自己對數(shù)學(xué)抽象的理解,來評價學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成過程與結(jié)果. 這樣的研究思路符合理論聯(lián)系實際的基本需要,也是一線初中數(shù)學(xué)教師進行教學(xué)研究的基本范式.

    初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的概念理解

    從定義的角度來看,有人認(rèn)為,數(shù)學(xué)抽象是指從空間形式與數(shù)量關(guān)系中得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程[1]. 這樣的定義是從數(shù)學(xué)抽象的本質(zhì)角度給出的,其實在學(xué)生把握空間形式與數(shù)量關(guān)系的時候,也有一個數(shù)學(xué)抽象的過程,因為空間形式與數(shù)量關(guān)系在生活當(dāng)中并不是直接出現(xiàn)的,現(xiàn)實中的事物往往都以具體的形態(tài)出現(xiàn)在人們的面前,數(shù)學(xué)中的空間形式與數(shù)量關(guān)系通常都隱含在這些事物的背后,要想讓空間形式與數(shù)量關(guān)系從現(xiàn)實世界中凸顯出來,這個時候觀察者就必須具有數(shù)學(xué)的眼光. 所以說,在“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”這一闡述當(dāng)中,所強調(diào)的核心就是數(shù)學(xué)抽象.

    數(shù)學(xué)抽象是需要工具的,這個工具既是指“數(shù)學(xué)的眼光”,同時也是指數(shù)學(xué)的思維與數(shù)學(xué)意識. 數(shù)學(xué)意識是前置性條件,對于絕大多數(shù)人而言,看到現(xiàn)實世界中的事物時,往往是從直觀的角度進行觀察,如形態(tài)、顏色、大小等,所獲得的是直觀感受. 數(shù)學(xué)意識則不同,一個擁有數(shù)學(xué)意識的人,在看到現(xiàn)實世界中的事物時,往往會不由自主地從數(shù)與形的角度去解析,解析得深入與否,又取決于數(shù)學(xué)思維水平的高低. 數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)思維綜合起來,影響著學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光,進而也就影響到學(xué)生對現(xiàn)實世界的觀察.

    由此可以認(rèn)為,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中理解數(shù)學(xué)抽象的概念,應(yīng)當(dāng)建立在感性認(rèn)識與理性認(rèn)識相結(jié)合的基礎(chǔ)之上. 要知道數(shù)學(xué)抽象本身是一個抽象的概念,但數(shù)學(xué)抽象的進程體現(xiàn)在學(xué)生身上的時候,卻是數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)思維共同作用的結(jié)果,表現(xiàn)為學(xué)生看到現(xiàn)實世界中的事物時,能夠剝離其中的非數(shù)學(xué)因素,留下其中的數(shù)學(xué)因素(值得一提的是,這樣的過程會與學(xué)生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)以及能力高低直接相關(guān),在剝離的時候有可能會因為自身的水平高低而出現(xiàn)不同的結(jié)果),從而在自己的大腦中建構(gòu)起一個關(guān)于現(xiàn)實事物的數(shù)學(xué)表象. 這個表象是由數(shù)與形組合而成的,是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果,是反映現(xiàn)實生活中事物內(nèi)在數(shù)學(xué)特征的模型.

    要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),教師就應(yīng)當(dāng)注意相關(guān)的教學(xué)策略. 事實已經(jīng)表明,大量的機械學(xué)習(xí)和機械訓(xùn)練容易導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力不理想[2]. 因此要在數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的基礎(chǔ)上發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),就需要通過具體的案例分析,去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的基本規(guī)律,去尋找到有效的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的評價維度. 下面筆者就初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)途徑,進行進一步的陳述.

    初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)路徑

    在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中尋找數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)路徑,并不是一件輕而易舉的事情. 事實表明,教師如果要開展抽象思維的教學(xué),就必須明確數(shù)學(xué)教學(xué)訓(xùn)練的目標(biāo)、層次、內(nèi)容. 教師只有建立一套教學(xué)目標(biāo)體系,才能夠長期地、持續(xù)地、定向地開展數(shù)學(xué)教學(xué),避免在數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)教學(xué)偏差. 而基于數(shù)學(xué)抽象的基本特征,筆者以為在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的時候,要保證提供給學(xué)生的現(xiàn)實世界中的事物,與所對應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系之間,要有相對簡單、對應(yīng)的關(guān)系,要保證學(xué)生能夠運用自己的數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)思維,將這些數(shù)學(xué)關(guān)系尋找出來. 當(dāng)然這么強調(diào)并不是說要讓數(shù)學(xué)關(guān)系清晰可見,而是強調(diào)在“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi),通過學(xué)生的努力以及教師恰到好處的引導(dǎo),使學(xué)生擁有一個充實的體驗數(shù)學(xué)抽象的過程.

    例如,“點、線、面、體”的學(xué)習(xí)中,教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到這是幾何知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),同時這也是一個培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的契機. 這是因為“點、線、面、體”既是純粹的數(shù)學(xué)概念,同時在日常生活中又有著相應(yīng)的運用,當(dāng)然即使是同一個概念,在數(shù)學(xué)當(dāng)中和在生活當(dāng)中的含義會有所不同,對于初中學(xué)生來說,他們對于“點、線、面、體”的認(rèn)識,首先來自生活,生活中所說的出發(fā)點、直線、平面、物體等等,都是學(xué)生關(guān)于“點、線、面、體”的生活認(rèn)識. 當(dāng)在生活中提到“點、線、面、體”時,學(xué)生大腦當(dāng)中所浮現(xiàn)出來的,也就是關(guān)于“點、線、面、體”的實際物體. 這里可以發(fā)現(xiàn),學(xué)生在生活中形成的經(jīng)驗具有一個基本的特征——概念與實物的一一對應(yīng). 這里還隱藏著一個重要的規(guī)律,即學(xué)生在生活中所形成的經(jīng)驗,往往就是通過概念名稱與實際物體構(gòu)建出來的. 對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言,這是教學(xué)的基礎(chǔ),對于數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)來說,在實際物體與概念名稱之間嵌入數(shù)學(xué)知識,是一個重要的教學(xué)目的,也是數(shù)學(xué)抽象的根本所在. 換句話說,當(dāng)學(xué)生能夠運用數(shù)學(xué)知識銜接概念與實際物體的時候,就是數(shù)學(xué)抽象教學(xué)成功的時候.

    本著這樣的思路,對于“點、線、面、體”的教學(xué),就要重視數(shù)學(xué)抽象過程的設(shè)計. 筆者在教學(xué)時,重點設(shè)計了這樣幾個環(huán)節(jié):

    環(huán)節(jié)1:讓學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗,說出生活中與“點、線、面、體”相關(guān)的物體或概念.

    這是一個調(diào)動學(xué)生生活經(jīng)驗的過程,也是讓學(xué)生的思維指向“點、線、面、體”的過程. 當(dāng)學(xué)生分別舉出“點、線、面、體”的例子時,他們會不由自主地將自己所認(rèn)為的“點、線、面、體”的物體進行比較,這實際上就為后面通過分析與綜合總結(jié)得出“點、線、面、體”的特征打下基礎(chǔ).

    從數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的角度來看,在這個環(huán)節(jié),學(xué)生所舉出的例子越豐富,數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)也就越扎實. 當(dāng)然豐富的例子只是數(shù)學(xué)抽象的必要條件之一,要想讓數(shù)學(xué)抽象真正發(fā)生,還離不開教師的引導(dǎo). 這就使得數(shù)學(xué)抽象的體驗過程進入第二個環(huán)節(jié).

    環(huán)節(jié)2:通過問題驅(qū)動學(xué)生數(shù)學(xué)抽象體驗的形成.

    數(shù)學(xué)抽象強調(diào)的是從現(xiàn)實世界的物體走向抽象世界的數(shù)學(xué),即“數(shù)”從“形”中抽象出來. 對于“點、線、面、體”這一內(nèi)容的教學(xué)來說,就是要讓學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識到“點、線、面、體”意味著什么. 根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,數(shù)學(xué)抽象的切入口可以從“體”開始,在學(xué)生的經(jīng)驗世界里,與“體”相關(guān)的就是物體,而在現(xiàn)實世界中“物體”有著無數(shù)種,如何從紛繁復(fù)雜的無數(shù)種物體中抽象出“體”的認(rèn)識呢?這就需要因繁就簡,需要運用數(shù)學(xué)抽象的方法,解析出復(fù)雜物體中的簡單物體. 比如說讓學(xué)生研究一個房子(如教室)的結(jié)構(gòu),學(xué)生就會發(fā)現(xiàn),盡管房子的結(jié)構(gòu)很復(fù)雜,但是如果“拆”開來,就可以得到“方形的墻”——這就對應(yīng)著“長方體”和“正方體”,可以得到“圓形的柱子”——這就對應(yīng)著“圓柱體”……其后,換一個視角去看“方形的墻”和“圓形的柱子”,就可以得到“長方形”或者“圓形”(甚至還有學(xué)生提出,如果斜著看圓柱的截面,還可以得到“橢圓形”),這個時候的“形”,實際上就是基于平面的抽象結(jié)果;接著,引導(dǎo)學(xué)生抽象得出“線”. 學(xué)生生活中建立起的關(guān)于線的概念,來自那些叫線的物體,如電線、導(dǎo)線、棉線等,因此學(xué)生會認(rèn)為“細(xì)”“長”的物體,即可稱之為線. 有此經(jīng)驗基礎(chǔ),數(shù)學(xué)抽象的運用空間可以是讓學(xué)生去觀察教室中墻壁與墻壁的交界處,這樣以激活學(xué)生的經(jīng)驗認(rèn)識,還能夠進一步讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)意義上的線是沒有粗細(xì)的. 事實上這些認(rèn)識還可以為后續(xù)的點埋下伏筆,通過數(shù)學(xué)抽象,學(xué)生就可以認(rèn)識到數(shù)學(xué)意義上的點沒有實際的大小……

    環(huán)節(jié)3:通過總結(jié)獲得數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果.

    數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果往往表征為數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律的得出,因此教師借助數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律的構(gòu)建與運用水平,來判斷學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象過程中體驗的效率,這是一個具有因果關(guān)系的過程. 一個簡單的做法是,在黑板上用粉筆描出一個白點、畫出一條白線,然后問學(xué)生:這是不是數(shù)學(xué)意義上的點或線?等到學(xué)生做出判斷之后,教師再引導(dǎo)學(xué)生辨析,這樣“學(xué)生看得到的白點和白線”與“數(shù)學(xué)意義上的點和線”的區(qū)別也就凸顯出來了.

    數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)指向與教學(xué)前瞻

    通過上述教學(xué),可以發(fā)現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),很關(guān)鍵的一點就是:教師自身要有明確的數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)的意識. 這種意識的養(yǎng)成,對于實際教學(xué)的過程與結(jié)果影響巨大,因為當(dāng)教師擁有數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)的意識時,其會在教學(xué)設(shè)計與教學(xué)實施的每一個環(huán)節(jié),都去關(guān)注有沒有數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)的機會;反之如果沒有這種意識,那么即使有無數(shù)個機會也會被忽視. 教師除了必須有明確的數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)意識,還必須有明確的教學(xué)目的指向. 作為初中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素,立足于數(shù)學(xué)抽象過程的體驗,去培養(yǎng)學(xué)生相關(guān)的能力,最終的目的是為了讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),也就是讓學(xué)生擁有用數(shù)學(xué)的眼光觀察實際生活的本領(lǐng).

    既然新版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》已經(jīng)正式發(fā)布,那么立足于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng),筆者以為核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)一定會以文始提到的“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”教育理念為出發(fā)點和落腳點,同時未來的初中數(shù)學(xué)教學(xué)也一定會在具體的教學(xué)案例研究與分析當(dāng)中,得出包括數(shù)學(xué)抽象在內(nèi)的評價方法與機制. 如此,數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)就可以形成一個從意識建立到策略形成,再到評價機制形成的教學(xué)回路,這樣也就可以讓學(xué)生處于一個良好的學(xué)習(xí)狀態(tài)當(dāng)中.

    總而言之,數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要學(xué)生的抽象思維能力作為基礎(chǔ)[3]. 在核心素養(yǎng)的背景之下,必須高度重視數(shù)學(xué)抽象的教學(xué). 當(dāng)然要說明的是,強調(diào)數(shù)學(xué)抽象的重要性,并不是說在數(shù)學(xué)教學(xué)中只重視數(shù)學(xué)抽象,實際上數(shù)學(xué)抽象是整個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體系的組成部分,基于整體的視角去強調(diào)數(shù)學(xué)抽象的作用,更能夠讓整個核心素養(yǎng)落地.

    參考文獻:

    [1]吳小兵. 初中數(shù)學(xué)抽象的要義與培養(yǎng)關(guān)鍵點[J]. 教學(xué)與管理,2021(07):39-41.

    [2]鄔吉利. 核心素養(yǎng)視角下初中生數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)——以初中數(shù)學(xué)“一元一次方程的應(yīng)用”的教學(xué)為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2020(02):35-36.

    [3]張本陸. 談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力——以“變量與函數(shù)”的教學(xué)為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2014(01):9-10.

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