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    在“變”與“不變”中感悟本質(zhì)

    2023-05-30 10:48:04陶芳
    關(guān)鍵詞:變與不變函數(shù)思想小學(xué)數(shù)學(xué)

    陶芳

    摘要:為了讓學(xué)生學(xué)會從變量的角度認(rèn)識兩種量之間的關(guān)系,初步感受函數(shù)的思想方法,《正比例的意義》一課教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生“變中識不變,變中思不變,變中知不變”。重要的節(jié)點包括:比較對照,感悟正比例的意義;多元表征,建構(gòu)正比例的模型;操作體驗,體會正比例的圖像。

    關(guān)鍵詞:小學(xué)數(shù)學(xué);變與不變;《正比例的意義》;函數(shù)思想

    正比例關(guān)系是從對應(yīng)的角度認(rèn)識和研究兩種相關(guān)聯(lián)的量之間“變”與“不變”的規(guī)律?!皩?yīng)”兩個數(shù)量之間的“比值不變”是正比例關(guān)系的本質(zhì)屬性。從研究單個量走向多個量,從研究固定(具體)的量走向變化的量,從研究單個數(shù)據(jù)的靜態(tài)情況走向多個數(shù)據(jù)的動態(tài)關(guān)系,是學(xué)生認(rèn)識過程中的一次重大飛躍。同時,正比例的知識在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用,學(xué)好這部分內(nèi)容,既可以鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實生活的意識,提高思考現(xiàn)實問題的能力,又可以為學(xué)生初中進一步學(xué)習(xí)函數(shù)知識奠定扎實的基礎(chǔ)。為了讓學(xué)生學(xué)會從變量的角度認(rèn)識兩種量之間的關(guān)系,初步感受函數(shù)的思想方法,《正比例的意義》一課教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生“變中識不變,變中思不變,變中知不變”。

    一、教學(xué)過程

    (一)理解正比例意義中的“變”

    1.通過猜拳游戲,理解“相關(guān)聯(lián)”

    (課始,教師讓學(xué)生同桌玩“石頭剪刀布”的游戲,贏一次得5分,共玩9次。游戲結(jié)束后,全班匯報得分。)

    師 得分的多少和獲勝的次數(shù)是有聯(lián)系的。獲勝的次數(shù)多,得分也多;獲勝的次數(shù)少,得分也少。像這樣“一種量變化,另一種量也隨著變化”,我們稱這兩種量為“相關(guān)聯(lián)的量”。

    2.舉例與辨析

    師 生活中相關(guān)聯(lián)的量很多。(出示一輛汽車勻速行駛的時間和路程對照表,見表1)請大家認(rèn)真研究:表格中有哪兩種量?

    生 行駛的時間和路程。

    師 它們是相關(guān)聯(lián)的量嗎?為什么?

    生 汽車行駛的時間長,行駛的路程也長,行駛的時間和路程同時增加;時間短,路程也短,時間和路程同時減少。所以,時間和路程是相關(guān)聯(lián)的量。

    師 行駛的時間和路程的變化是——

    生 一致的。

    師 請帶著這樣的思路繼續(xù)研究這幾張表中的數(shù)據(jù)。

    (依次出示購買一種鉛筆的數(shù)量和總價、讀一本書時的已讀頁數(shù)和剩下頁數(shù)、用同樣多的錢購買不同的筆記本的單價和數(shù)量、正方形的邊長和面積、小明的年齡和身高等對照表,見表2—表6。)

    生 鉛筆的數(shù)量和總價變化方向一致,二者是相關(guān)聯(lián)的量。

    生 已讀頁數(shù)和剩下頁數(shù)變化方向不一致,但二者是相關(guān)聯(lián)的量。

    生 筆記本單價和數(shù)量變化方向不一致,但二者是相關(guān)聯(lián)的量。

    生 正方形的邊長和面積變化方向一致,二者是相關(guān)聯(lián)的量。

    生 小明的年齡和身高不是相關(guān)聯(lián)的量,因為年齡變化,身高不一定發(fā)生變化。

    (二)理解正比例意義中的“不變”

    1.獨立探究,初步感知意義

    師 根據(jù)剛才的分類,仔細(xì)觀察表1、表2和表5這三張表,其中相關(guān)聯(lián)的兩種量變化方向都一致,那它們有沒有什么變化規(guī)律呢?如果有,又是按什么規(guī)律變化的呢?(指表1)先來看表1,路程和時間在變化的過程中有什么規(guī)律呢?

    (學(xué)生計算驗證。)

    生 路程和所對應(yīng)的時間的比值都是80。

    師 還真是這樣的,那么,這個比值80就是汽車的——

    生 速度。

    師 所以,我們還可以用怎樣的數(shù)量關(guān)系式來表示?

    生 路程時間=速度(一定)。

    師表2和表5中相關(guān)聯(lián)的兩種量又有怎樣的變化規(guī)律呢?和你的同桌一起說一說,算一算,完成研究單。

    (學(xué)生交流并完成研究單。)

    生 (展示自己的研究單,如下頁圖1所示)表2中總價和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量,總價和數(shù)量的比值是不變的,也就是單價是一定的。數(shù)量關(guān)系為:總價/數(shù)量 =單價(一定)。

    生 (展示自己的研究單,如圖2所示)正方形的邊長和面積是兩種相關(guān)聯(lián)的量,面積隨著邊長的變化而變化,但是面積和邊長的比值是變化的,并不一定。

    2.歸納總結(jié),揭示正比例意義

    師 同學(xué)們,剛才的三張表中,兩種量的變化方向都是一致的,但是對應(yīng)的兩種量的比值有的一定,有的不一定。當(dāng)比值一定時,我們就說兩種相關(guān)聯(lián)的量成正比例關(guān)系,這兩種相關(guān)聯(lián)的量是成正比例的量。比如,路程和時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量,當(dāng)路程和時間的比值一定,也就是速度一定時,我們就說路程和時間成正比例關(guān)系,路程和時間是成正比例的量。(板書:路程和時間成正比例關(guān)系)總價和數(shù)量成正比例關(guān)系嗎?為什么?

    生 總價和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量,總價和對應(yīng)的數(shù)量的比值一定,也就是單價一定,所以總價和數(shù)量是成正比例的量。

    師 這就是我們今天所要研究的正比例的意義。(板書課題:正比例的意義)比較一下,成正比例關(guān)系的兩種相關(guān)聯(lián)的量有什么特點?(板書:變化的量,不變的量)那正方形的邊長和面積成正比例關(guān)系嗎?為什么?

    生 正方形的邊長和面積的比值不一定,所以不成正比例關(guān)系。

    師 看來,兩種相關(guān)聯(lián)的量,只有比值一定,才成正比例關(guān)系。那怎樣來判斷兩種量是否成正比例關(guān)系呢?同桌互相說一說。

    (學(xué)生討論。)

    師 看一看兩種量是不是相關(guān)聯(lián)的量,也就是“變”;算一算相關(guān)聯(lián)的兩種量的比值是不是一定,也就是“不變”。

    3.抽象概括,建立模型

    師 像這樣比值一定的式子,寫得完嗎?

    生 (齊)寫不完。

    師 如果用字母x和 y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量,用k表示它們的比值,正比例關(guān)系可以用怎樣的式子來表示?

    [教師根據(jù)學(xué)生的回答板書:yx=k(一定)。]

    (三)從正比例的意義到正比例的圖像

    師 判斷正方形邊長和周長是否成正比例。

    (學(xué)生自主列出表7,并判斷、說理。)

    師 (出示下頁圖3)往同一個圓柱形杯子中倒水,水的體積和高度成正比例嗎?為什么?

    (學(xué)生回答。)

    師 (出示下頁圖4)我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)水的體積和高度成正比例關(guān)系時,把體積和高度的對應(yīng)點連起來正好是一條直線。

    二、教學(xué)思考

    (一)“變”中識“不變”:比較對照,感悟正比例的意義

    判斷兩個變量是否成正比例,首先要看這兩個量是否相關(guān)聯(lián),而判斷的核心是看這兩個變量在變化過程中,比值是否一定。所以,讓學(xué)生明確研究的方向是兩個變量的比值,是本節(jié)課的關(guān)鍵。課始,采用學(xué)生喜歡的猜拳游戲引入,為“兩種相關(guān)聯(lián)的量”進行思維預(yù)熱。接著,選擇6個具有較強對比性的學(xué)習(xí)素材,讓學(xué)生判斷每份材料中的兩種量是否相關(guān)聯(lián)。學(xué)生在比較、反思中逐步發(fā)現(xiàn),“相關(guān)聯(lián)”的概念還是比較寬泛的,無論是變化方向相同還是變化方向相反,只要是一個量變化,另一個量也隨著變化,這樣的兩個量就是相關(guān)聯(lián)的量。學(xué)生在研究變化規(guī)律時發(fā)現(xiàn),有的是比值一定,有的是乘積一定,有的是和一定,有的是差一定,從而在對比中主動確定研究的方向,總結(jié)出成正比例的兩個量在變化過程中的不變?yōu)楸戎狄欢ā?/p>

    (二)“變”中思“不變”:多元表征,建構(gòu)正比例的模型

    函數(shù)有三種數(shù)學(xué)表示方法:表格、解析式和圖像。本課的教學(xué)從表格和列式切入,對數(shù)量關(guān)系進行抽象的梳理,從中認(rèn)識常量和變量的主要特征,并概括出變量關(guān)系的共同特征。學(xué)生學(xué)習(xí)兩個現(xiàn)實情境中的正比例關(guān)系之后,教師通過富有啟發(fā)性的問題,引導(dǎo)學(xué)生比較、提取共同的本質(zhì):都有兩種相關(guān)聯(lián)的量,對應(yīng)數(shù)量的比值不變,都成正比例關(guān)系。在此基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)用解析式符號表征正比例關(guān)系,從而在抽象層面認(rèn)識正比例關(guān)系的本質(zhì)。而練習(xí)再次聯(lián)系生活,結(jié)合相似圖形,孕伏呈現(xiàn)函數(shù)圖像。多元表征,讓概念更加飽滿豐盈。

    (三)“變”中知“不變”:操作體驗,體會正比例的圖像

    “正比例的圖像”主要是下一課時的教學(xué)內(nèi)容,而本節(jié)課的練習(xí)環(huán)節(jié),通過水的體積和高度,引導(dǎo)學(xué)生將相對應(yīng)的點連起來,初步感知正比例的圖像呈一條直線。引入圖像,更能讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中體驗變與不變的函數(shù)思想、一一對應(yīng)思想、極限思想等,同時也為下一課時的學(xué)習(xí)做了鋪墊。在學(xué)生認(rèn)識各點含義的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生連點成線,體驗正比例圖像的形成過程,讓正比例關(guān)系的內(nèi)涵 “看得見”。教學(xué)時,可從“往大”和“就小”兩個方面追問:比圖中時間更大的點還有嗎?比圖中路程更小的點呢?引導(dǎo)學(xué)生更好地感知符合不變規(guī)律的“每組數(shù)”的無限性,在圖像的延伸中使正比例的內(nèi)涵“看得清”。這樣,學(xué)生初步認(rèn)識到兩個數(shù)量的正比例關(guān)系既可以通過具體的數(shù)據(jù)體現(xiàn)出來,也可以通過直觀的圖像表現(xiàn)出來。從正比例的圖像再回頭看正比例的意義,無疑更能加深學(xué)生對正比例意義的理解,使學(xué)生從具體形象的靜態(tài)認(rèn)識,上升到動態(tài)建構(gòu)的過程。

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