初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的概念理解與實踐

[摘? 要] 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，在看待現(xiàn)實世界的時候，應(yīng)當(dāng)看到其中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，這意味著除了數(shù)量關(guān)系和空間形式外的其他內(nèi)容，很有可能在“數(shù)學(xué)的眼光”下被剝離，這就是數(shù)學(xué)抽象. 數(shù)學(xué)抽象的過程重在學(xué)生體驗感的獲得，結(jié)果重在準(zhǔn)確的表達(dá). 將數(shù)學(xué)抽象的過程進一步細(xì)化為情境創(chuàng)設(shè)、深度學(xué)習(xí)以及實踐體驗，可為數(shù)學(xué)抽象的實踐提供一條更加清晰的路徑. 數(shù)學(xué)抽象過程的最大價值，在于讓學(xué)生認(rèn)識到生活中的很多等量關(guān)系，最終都可以借助數(shù)量關(guān)系來體現(xiàn)，而這能培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”的能力. 如果學(xué)生能夠在這樣的體驗過程中認(rèn)識到“數(shù)學(xué)是認(rèn)識和探究現(xiàn)實世界的觀察方式”的話，那么就意味著學(xué)生養(yǎng)成了“數(shù)學(xué)的眼光”.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;概念理解;實踐

作者簡介：康登銀（1980—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作.

“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué). 數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象及其關(guān)系;基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識、理解和表達(dá)現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律. ”這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》關(guān)于課程性質(zhì)的描述. 從這個描述中可以發(fā)現(xiàn)，“抽象”是一個高頻概念，反映著數(shù)學(xué)研究與學(xué)習(xí)的本質(zhì). 同樣是課程標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)描述義務(wù)教育數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)組成要素的時候，明確提到了一句話，這就是“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”. 在筆者看來，這段話的內(nèi)涵十分豐富，現(xiàn)實世界是多姿多彩的，同時也是紛繁復(fù)雜的，用不同的眼光去看待現(xiàn)實世界，得到的結(jié)論會有所不同. 既然數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，那么看待現(xiàn)實世界的時候，就應(yīng)當(dāng)看到其中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，這也就意味著除了數(shù)量關(guān)系和空間形式外的其他內(nèi)容，很有可能在“數(shù)學(xué)的眼光”下被剝離. 很顯然這樣的過程就是數(shù)學(xué)抽象過程！

在數(shù)學(xué)哲學(xué)的視野里，數(shù)學(xué)抽象就是指抽取同類數(shù)學(xué)對象共同的本質(zhì)屬性，除去其他非本質(zhì)屬性. 如果把數(shù)學(xué)抽象理解為一個思維過程，那么數(shù)學(xué)抽象實際上就是抽取同類數(shù)學(xué)對象共同的本質(zhì)屬性，除去其他非本質(zhì)屬性的過程. 對于初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，數(shù)學(xué)抽象過程的重要性一目了然，可以說只有經(jīng)歷過數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象才會進入學(xué)生的大腦中;只有體驗過數(shù)學(xué)抽象，學(xué)生才能真正了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的意味. 反之，如果離開了數(shù)學(xué)抽象，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程將會寸步難行，其出現(xiàn)的結(jié)果無非兩個：一是學(xué)生的大腦中無法出現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所需要的抽象的數(shù)量關(guān)系和空間形式，而一旦學(xué)生的學(xué)習(xí)失去了可以加工的對象，其后的學(xué)習(xí)過程可想而知;二是學(xué)生接收的是教師抽象好了的數(shù)量關(guān)系和空間形式，由于學(xué)生沒有建立數(shù)學(xué)抽象的過程，因此這樣的教學(xué)一定是灌輸式的教學(xué).

下面就以蘇科版初中數(shù)學(xué)“從問題到方程”這一內(nèi)容的教學(xué)為例，談?wù)劰P者對初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的概念理解以及具體實踐.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的概念理解

在理解數(shù)學(xué)抽象的時候，除了上述哲學(xué)視野下的理解外，站在數(shù)學(xué)學(xué)科本身的角度去理解數(shù)學(xué)抽象，更容易獲得一線數(shù)學(xué)教師的認(rèn)同. 站在數(shù)學(xué)學(xué)科的角度看數(shù)學(xué)抽象，可以認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象就是指從空間形式與數(shù)量關(guān)系中得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程. 進一步研究表明，初中生數(shù)學(xué)抽象一般要借助數(shù)學(xué)直觀而達(dá)成，發(fā)展初中數(shù)學(xué)抽象有利于實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人以及回歸數(shù)學(xué)學(xué)科本位. 這些都是關(guān)于數(shù)學(xué)抽象的總體概括，作為一線數(shù)學(xué)教師，一定要形成關(guān)于數(shù)學(xué)抽象的個性化理解. 這里所強調(diào)的個性化理解不是指脫離數(shù)學(xué)抽象的精確闡述，而是指能夠?qū)?shù)學(xué)抽象的學(xué)術(shù)闡述，轉(zhuǎn)化為自身的、能夠運用自己的語言去解釋的理解. 只有有了這樣的過程，對數(shù)學(xué)抽象的理解才不是被動的，才不是簡單記憶似的，而是真正吸收消化了. 那么對于數(shù)學(xué)抽象這一概念而言，具體的理解應(yīng)當(dāng)是怎樣的呢？筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗以及思考，梳理出了如下兩點認(rèn)識.

一是數(shù)學(xué)抽象的過程重在學(xué)生體驗感的獲得.

數(shù)學(xué)書上的主體是學(xué)生，數(shù)學(xué)抽象的過程應(yīng)當(dāng)是學(xué)生面對現(xiàn)實世界中的事物時，通過自己的思維活動，去尋找其中的數(shù)學(xué)要素，也就是空間形式和數(shù)量關(guān)系，將與空間形式和數(shù)量關(guān)系無關(guān)的要素去除. 從數(shù)學(xué)的角度來看，這是一個去偽存真的過程;從學(xué)生的角度來看，這就是一個螺旋上升，或者是出錯、修改進而成功的過程.

這個過程必須讓學(xué)生親自去體驗，要讓學(xué)生在體驗的過程中顯現(xiàn)自己的思維方式和思維能力，要給學(xué)生足夠的試錯、出錯的機會. 在學(xué)生體驗數(shù)學(xué)抽象的過程中，教師所起的作用一定是在學(xué)生遇到困難的時候. 學(xué)生遇到困難的時候跟出錯的時候是有所區(qū)別的，如果學(xué)生在出錯后沒有想著進一步解決問題，那么就無法表現(xiàn)為學(xué)生遇到了困難，也就是說，只有學(xué)生在出錯的情況下，想進一步解決問題但又無法解決問題的時候，才表現(xiàn)為數(shù)學(xué)抽象遇到了困難，這個時候教師才應(yīng)當(dāng)出手相助.

二是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果重在準(zhǔn)確的表達(dá).

數(shù)學(xué)抽象的過程實際上是內(nèi)隱的，教師很難直接把握住學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過程，通常情況下，只能根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象結(jié)果，來判斷學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過程是否科學(xué). 與此同時應(yīng)當(dāng)注意到的是，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果需要借助具體的載體來表示，這里所說的載體包括數(shù)學(xué)符號及表達(dá)式、圖形與語言——其又與完全精確的符號、圖形與語言有所不同，具有模糊、不完善的一面，最常見的形式就是學(xué)生借助不完善的式子、粗糙的圖形或生活語言進行表達(dá).

認(rèn)識到上述兩點后，教師在具體實施教學(xué)時，就應(yīng)當(dāng)結(jié)合這樣的理解，并面向具體的數(shù)學(xué)知識，去設(shè)計一個科學(xué)的數(shù)學(xué)抽象過程，以供學(xué)生體驗與表達(dá).

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的實踐分析

上面已經(jīng)指出，數(shù)學(xué)抽象過程的主體是學(xué)生，因此教師要站在學(xué)生的角度看數(shù)學(xué)抽象，要讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象能力. 初中數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)關(guān)鍵點包括：情境創(chuàng)設(shè)，即從生活情境走向數(shù)學(xué)情境;深度學(xué)習(xí)，即從循環(huán)類比走向結(jié)構(gòu)生成;實踐體驗，即從系統(tǒng)關(guān)聯(lián)走向綜合解決[1]. 可以發(fā)現(xiàn)這樣的數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)思路，與上述數(shù)學(xué)抽象的理解是一致的，而將數(shù)學(xué)抽象的過程進一步細(xì)化為情境創(chuàng)設(shè)、深度學(xué)習(xí)以及實踐體驗，則為數(shù)學(xué)抽象的實踐提供了一條更加清晰的路徑.

“從問題到方程”是蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級上冊第4章“一元一次方程”第1節(jié)的內(nèi)容. 對于學(xué)生學(xué)習(xí)一元一次方程來說，這是一個基礎(chǔ)知識，但是從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的角度來看，這又是一個重要的讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)抽象的機會. 教材一開始就指出，“在現(xiàn)實世界的許多實際問題中，通常有已知的量和未知的量，這些數(shù)量之間常常有相等的關(guān)系”. 其實這是一段比較抽象的描述，也是一段概括性比較強的描述，由于沒有具體的實例支撐，如果直接將這句話告訴學(xué)生，那么學(xué)生學(xué)習(xí)起來是有一定困難的. 因此在具體教學(xué)時，教師可以先從教材設(shè)計的“議一議”入手，讓學(xué)生去觀看一些實例，比如用天平測量物體質(zhì)量時，三個球的質(zhì)量與砝碼的質(zhì)量相等. 某次籃球聯(lián)賽制定的規(guī)則是勝一場得2分，負(fù)一場得1分. 某籃球隊比賽了12場，共得了20分，那么如何描述其中的數(shù)量等量關(guān)系？還可以將教材中的“想一想”同時呈現(xiàn)出來：“這是我國古代的一個問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺;若將繩四折測之，繩多一尺. 則繩長、井深各幾何？”

事實證明這三個問題出現(xiàn)在學(xué)生面前時，學(xué)生的思維更容易加工，直接原因就在于這三個問題涉及的素材都是學(xué)生比較熟悉的，學(xué)生容易借助自身擅長的形象思維來加工. 而這正是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)，可以說當(dāng)學(xué)生的形象思維無法被有效激活時，數(shù)學(xué)抽象是沒有基礎(chǔ)的. 教師應(yīng)當(dāng)給學(xué)生足夠的時間與空間，讓學(xué)生用自己擅長的表達(dá)方式去加工這三個實際問題（同時也是現(xiàn)實世界中容易出現(xiàn)的問題）.

通過對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的觀察，教師可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決這三個問題時，會下意識地采用自己最熟悉的方式去理解問題. 比如對于天平測質(zhì)量的例子，學(xué)生就會在草稿紙上畫出兩個托盤，然后在左邊畫上3個球，畫的時候還特別注意天平是平衡的，而這個細(xì)節(jié)非常重要，因為等量關(guān)系就建立在這一認(rèn)識基礎(chǔ)上. 在解決第二個問題時，絕大多數(shù)學(xué)生都會在草稿紙上寫上“勝：+2;負(fù)：+1”這樣的字樣，然后部分學(xué)生會去慢慢試勝多少次、負(fù)多少次（實際上就是試錯）;也有部分學(xué)生會借助此前學(xué)過的方程知識，初步設(shè)出一個未知數(shù)，然后列出等式求解. 對于第三個問題，剛開始學(xué)生會感覺到有一些抽象，但是學(xué)生會嘗試畫圖解決，即在草稿紙上畫出三折或四折的一根線，畫的時候?qū)W生心里就想著，無論是三折還是四折，繩子拉直后的長應(yīng)該相同——這個情形是發(fā)生在學(xué)生大腦中的，但可以從學(xué)生修改草稿紙上的圖形來判斷……

上面的過程對于學(xué)生來說就是數(shù)學(xué)抽象的過程，將實際問題轉(zhuǎn)化為抽象的等量關(guān)系，對于學(xué)生而言需要經(jīng)歷一個過程. 這個過程就是從形象走向抽象的過程. 伴隨著學(xué)生比較復(fù)雜的心理歷程，無論是學(xué)生在此過程中收獲的成功感，還是因為種種原因出現(xiàn)的挫折感，對于數(shù)學(xué)抽象本身而言都是有意義的. 作為數(shù)學(xué)教師，在這個過程中應(yīng)當(dāng)在學(xué)生個體或小組中積極巡視，盡可能在第一時間發(fā)現(xiàn)學(xué)生的優(yōu)點與不足，然后有針對性地進行指導(dǎo)，確保學(xué)生最終能夠?qū)⑷齻€等式都列出來.

其實列出等式意味著學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過程已基本結(jié)束，學(xué)生對自己所列等式的認(rèn)識是否到位，反映著此前數(shù)學(xué)抽象的過程是否高效. 根據(jù)筆者的教學(xué)實踐，大多數(shù)學(xué)生都能在自主努力的基礎(chǔ)上完成絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)抽象的過程，因此對個別學(xué)生的指導(dǎo)也是有必要的，畢竟學(xué)生個體之間存在著差異，這里涉及分層教學(xué)的思想，限于篇幅不再贅述. 但必須強調(diào)的是，這里的分層指導(dǎo)，本身也是為了讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)抽象的過程.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)思考

在上面的例子中，學(xué)生在教師給足的時間與空間里進行充分思維，思維的對象逐步由實際物體轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，而這也就意味著數(shù)學(xué)抽象過程的真實發(fā)生. 除了最終建立起來的數(shù)量關(guān)系外，這樣一個數(shù)學(xué)抽象過程的最大價值，在于讓學(xué)生認(rèn)識到生活中的很多等量關(guān)系，最終都可以借助數(shù)量關(guān)系來體現(xiàn)，而這也就培養(yǎng)著學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”的能力. 如果學(xué)生能夠在這樣的體驗過程中認(rèn)識到“數(shù)學(xué)是認(rèn)識和探究現(xiàn)實世界的觀察方式”的話，那么就意味著學(xué)生養(yǎng)成了“數(shù)學(xué)的眼光”. 所以從這個角度來看，數(shù)學(xué)抽象的過程對于學(xué)生的發(fā)展而言，意義是非常大的. 要將這種意義體現(xiàn)出來，最好的方法之一就是讓學(xué)生擁有一個可體驗的過程.

進一步講，通過對數(shù)學(xué)測算過程的體驗，學(xué)生更容易知道數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，這種知其然且知其所以然的獲得心理，對于他們而言至關(guān)重要. 盡管學(xué)生習(xí)慣的是形象思維方式，但是學(xué)生的抽象思維能力也處于急速發(fā)展的過程中，并且對很多數(shù)學(xué)知識都追求邏輯上的自洽，如果某一數(shù)學(xué)知識只知其然但不知其所以然，那么學(xué)生就容易產(chǎn)生懷疑心理，而這顯然不利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識的完整建構(gòu).

所以，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)抽象的價值，利用可能的教學(xué)機會去培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，是教師必須具有的教學(xué)視角. 只有建立了這一視角，數(shù)學(xué)抽象的實施才有了必要的前置性條件[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]吳小兵. 初中數(shù)學(xué)抽象的要義與培養(yǎng)關(guān)鍵點[J]. 教學(xué)與管理，2021（07）：39-41.

[2]張本陸. 談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力——以“變量與函數(shù)”的教學(xué)為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2014（01）：9-10.