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    從量綱的角度辨析分數(shù)意義

    2023-03-23 17:01:00牛延凱曹紅
    數(shù)學教學通訊·小學版 2023年2期
    關(guān)鍵詞:分類討論

    牛延凱 曹紅

    [摘? 要] 實際問題中的分數(shù)兼具量綱性和無量綱性的特點,有量綱性分數(shù)是一種“量”的意義模型,表征一個具體的量;無量綱性分數(shù)是一種“率”的意義模型,表征兩個量之間的關(guān)系。通過辨析兩類分數(shù)的具體內(nèi)涵,可以在分類討論中提高分數(shù)問題的理解效率。

    [關(guān)鍵詞] 分數(shù)意義;量綱性;分類討論

    分數(shù)的出現(xiàn)是數(shù)系的第一次擴充,作為抽象的數(shù),分數(shù)本質(zhì)上是無量綱的[1],但是具體到實際應用中,脫離了自然數(shù)的學習經(jīng)驗,分數(shù)兼具量綱性和無量綱性的特點[2]。生活中接觸到的分數(shù)實例可以分為兩類:(1)有量綱性的分數(shù),量綱用于表征物理量的客觀屬性,而在小學數(shù)學中,常用量綱下的各種名數(shù)表征數(shù)量標準,如繩子長米、吃了塊餅(分大餅中的“小塊”看作是一種臨時用的名數(shù)[3]);(2)無量綱性的分數(shù),如讀了一本書的,男生人數(shù)占女生的。一方面,學生容易混淆兩類分數(shù)之間相關(guān)而又不同的意義;另一方面,兩類分數(shù)之間的意義辨析過程也是學生深度理解分數(shù)概念的一個契機。

    根據(jù)是否有名數(shù)這一特點,有量綱性分數(shù)和無量綱性分數(shù)的外在形式容易區(qū)分,是一種天然的分類方式,通過探究兩類分數(shù)的不同內(nèi)涵和處理技巧,學生在思考分數(shù)問題時可以有不同的分析傾向并找到對應的理解角度,進而在分類討論中簡化分數(shù)意義的理解難度,提高分數(shù)問題的理解效率。

    一、有量綱性分數(shù)和無量綱性分數(shù)是兩種不同的意義模型

    (一)有量綱性分數(shù)是一種“量”的意義模型

    實際問題中出現(xiàn)的有量綱性分數(shù)是一種“量”的意義模型,表示具體量的大小。在數(shù)系擴充到非負有理數(shù)后,分數(shù)比自然數(shù)更能準確地刻畫事物的“量”的特性,實現(xiàn)數(shù)學的“量化思想方法”意義[4]。這一類分數(shù)在生活中有對應表征的實際數(shù)量,如米的繩子表示繩子的具體長度,個餅表示餅的實際大小。

    有量綱性的分數(shù)更多關(guān)注了基于產(chǎn)生過程的分數(shù),在平均分的過程中,人們需要找到一個分數(shù)來刻畫大于0小于1的量,即整體中的這一部分具體有多大。教學中借助分和數(shù)的過程認識這一類分數(shù),如華應龍老師所說,分數(shù)的意義是先分后數(shù)[5],分之后即確定了分母和分數(shù)單位,數(shù)是為了數(shù)出有幾個這樣的分數(shù)單位,即確定分子。在人教版三年級上冊“分數(shù)的初步認識”中,學生接觸的主要是這種分數(shù)的產(chǎn)生式定義方式,如1個餅平均分成3份,數(shù)出其中的2份即個餅;1米的彩帶平均分成10份,數(shù)出其中的3份是米。可見,有量綱性分數(shù)和產(chǎn)生式的理解過程可以對接學生的生活背景以及前期除法的平均分經(jīng)驗,進一步抽象時,也可以運用面積圖的方式在幾何直觀中幫助學生感悟分數(shù)意義,學生理解起來相對容易。

    (二)無量綱性分數(shù)是一種“率”的意義模型

    實際問題中出現(xiàn)的無量綱性分數(shù)是一種“率”的意義模型,表示量之間的關(guān)系,在數(shù)系擴充到非負有理數(shù)后,分數(shù)比自然數(shù)更能準確地刻畫數(shù)量之間的“率”的關(guān)系。這一類分數(shù)在生活中沒有對應表征的實際數(shù)量,而是用于表示數(shù)量之間的分率關(guān)系,如讀了1本書的,不代表實際頁數(shù)多少,而是表征部分和整體間的分率關(guān)系;男生人數(shù)占女生的,表示男生人數(shù)和女生人數(shù)的分率(比率)關(guān)系。

    無量綱性分數(shù)關(guān)注更多的是作為比較結(jié)果的分數(shù),具體包括兩種類型:部分量和整體量的比較結(jié)果——部分在整體中占了多少份額,并進一步拓展到兩個不同量之間的比較結(jié)果——一個量占了另一個量的多少份額。在人教版五年級下冊“分數(shù)的意義”一節(jié)中,學生開始大量接觸這種作為比較結(jié)果的分數(shù),如將盤子中的8塊面包看作一個整體,2塊面包占了其中的,這里的是部分量和整體量比較后的結(jié)果,需要借助包含除計算,8÷2=4份,2塊面包占據(jù)了4份中的1份。對此張奠宙教授認為,分數(shù)問題中求一個量占據(jù)的份額是算術(shù)模型,是純粹的數(shù)量問題,因此學生理解起來相對困難,但是它在數(shù)學上更為深刻[6]。

    二、從分數(shù)與除法的關(guān)系角度理解有量綱性分數(shù)與無量綱性分數(shù)

    分數(shù)的出現(xiàn)有兩種主要推力:(1)現(xiàn)實生活計數(shù)的需求,即在度量和平均分時需要借助分數(shù)表示小于1的量;(2)數(shù)學內(nèi)部發(fā)展的需求,即除法運算的封閉性需要借助分數(shù)表示運算結(jié)果,由此分數(shù)與除法之間的遷移聯(lián)系也是理解分數(shù)意義的重要基礎(chǔ)。學生接觸了兩類除法——等分除與包含除,以此為基礎(chǔ)可以進一步認識作為“量”的分數(shù)與作為“率”的分數(shù),辨析有量綱性分數(shù)與無量綱性分數(shù)的不同內(nèi)涵。

    (一)等分除角度理解有量綱性分數(shù)

    有量綱性分數(shù)主要對應了等分除的商。等分除是將一個物體平均分成若干份,求其中一份是多少,在不能整除時需要借助分數(shù)表示每一份的數(shù)量,如人教版教材“分數(shù)與除法”一節(jié)中,3個月餅平均分給4人,每人分多少,即是一種等分除模型,每人分到的不是整數(shù)個,需要借助分數(shù)表示,即個月餅。

    (二)包含除的角度理解無量綱性分數(shù)

    無量綱性分數(shù)主要對應了包含除的商。包含除是知道每一份的數(shù)量,求整體中包含了這樣的幾份,不能整除時需借助分數(shù)表征,同時其逆向關(guān)系即這一部分占據(jù)了整體多少份額時,也需要借助分數(shù)表征。如12個蘋果,每盤放3個,可以擺4盤,即12里面包含了這樣的4份,反過來,每盤的3個蘋果看作整體(12個蘋果)的。

    (三)無量綱性分數(shù)所表示的分率關(guān)系是倍數(shù)關(guān)系的拓展

    無量綱性分數(shù)在表示兩個量之間比較關(guān)系時,可看作是倍數(shù)關(guān)系的拓展。除法單元中,在包含除的基礎(chǔ)上可以擴展形成倍的概念,包含除側(cè)重“有幾個幾”的理解過程,可以引申為較大的數(shù)是較小數(shù)的幾倍。引入倍的概念后可以更方便地分析兩個量之間的比較關(guān)系,而其結(jié)果不能整除時需借助分數(shù)表示,和倍一樣,這時的分數(shù)也沒有量綱。

    人教版教材“分數(shù)與除法”一節(jié)設(shè)計了這樣一道例題:小新家養(yǎng)鵝7只,養(yǎng)鴨10只,養(yǎng)雞20只,雞的只數(shù)是鴨的幾倍?鵝的只數(shù)是鴨的幾分之幾?以上兩個問題有什么關(guān)系?

    可以發(fā)現(xiàn),兩個問題都涉及了包含除計算模型,一個能整除——雞的只數(shù)是鴨的2倍;一個不能整除——鵝的只數(shù)是鴨的。由此可見,無量綱性分數(shù)表示數(shù)量關(guān)系時,“分數(shù)倍與整數(shù)倍意義一樣”[7],在不能整除時,分數(shù)比整數(shù)更為精確地表征了兩個量之間的倍比關(guān)系。

    三、有量綱性分數(shù)和無量綱性分數(shù)應用題中的數(shù)量關(guān)系模型

    教材在“分數(shù)的意義”“分數(shù)與除法”“分數(shù)的基本性質(zhì)”等章節(jié)所編排的情境問題中,有量綱性分數(shù)與無量綱性分數(shù)常常融合在一起,學習者更容易感悟兩類分數(shù)的本質(zhì)一致性。而在“分數(shù)乘法應用題”“分數(shù)除法應用題”等內(nèi)容中,有量綱性分數(shù)和無量綱性分數(shù)則需要分類討論,兩者有不同的數(shù)量關(guān)系模型和問題解決策略(以分數(shù)除法應用題為例分析)。

    (一)有量綱性分數(shù)應用題中的數(shù)量關(guān)系模型

    有量綱性分數(shù)表示具體數(shù)量大小,相關(guān)應用題可以遷移之前整數(shù)和小數(shù)應用題的學習經(jīng)驗,適用諸如總價=單價×數(shù)量、路程=速度×時間等數(shù)量關(guān)系模型。在原先經(jīng)驗基礎(chǔ)上,有量綱性分數(shù)應用題處理起來并不復雜。

    例1? 一座大橋長800米,一輛汽車通過此橋用了分鐘,這輛汽車1分鐘行駛多少千米?(青島版教材習題,路程÷時間=速度,列式800÷)

    例2? 修一條長12千米的公路,如果每天修千米,多少天修完?(北師大版教材習題,工作總量÷工作效率=工作時間,列式12÷)

    (二)無量綱性分數(shù)應用題中的數(shù)量關(guān)系模型

    分數(shù)應用問題之所以是小學的難點,主要是指無量綱性分數(shù)應用題。無量綱性分數(shù)在表征數(shù)量關(guān)系時,包括兩種情況:部分量和整體量之間的分率關(guān)系以及兩個不同量之間的比率關(guān)系。

    無量綱性分數(shù)應用題中,學生無法直接應用前期經(jīng)驗中積累的路程問題、購物問題等數(shù)量關(guān)系模型,因此對于這類應用題,需要教師引導學生重新構(gòu)建數(shù)量關(guān)系模型,并結(jié)合問題情境從多個角度應用模型。

    1.部分量和整體量之間的分率關(guān)系模型

    無量綱性分數(shù)表示部分和整體的分率時,其原始數(shù)量關(guān)系模型為:部分÷整體=對應的分率。以此為基礎(chǔ)進一步演繹出兩個數(shù)量關(guān)系式:整體×對應的分率=部分,部分÷對應的分率=整體,即知道整體量求部分量時用分數(shù)乘法,知道部分量求整體量時用分數(shù)除法,這也是理解分數(shù)乘法問題和分數(shù)除法問題的兩個重要指導思路。

    例3? 小明體內(nèi)有28千克水分,約占體重的,小明體重是多少?(人教版教材例題)

    小明體重是整體量,體內(nèi)水分是部分量,表示部分和整體的分率,根據(jù)分數(shù)除法關(guān)系模型——部分÷對應的分率=整體,即28÷=35千克。

    結(jié)合學生的前期知識基礎(chǔ),可以類比低年級的包含除模型理解部分量和整體量的分率模型,兩種模型之間是一種互逆關(guān)系,包含除模型需要分析整體中包含了幾個部分,其逆向分析為部分占了整體的幾分之幾,即部分和整體之間的分率關(guān)系,此時產(chǎn)生的分數(shù)都是真分數(shù)。

    2.比較量和標準量之間的分率關(guān)系模型

    無量綱性分數(shù)在比較不同量之間的分率(比率)關(guān)系時,其原始數(shù)量關(guān)系模型為:比較量÷標準量=對應的分率。以此為基礎(chǔ)進一步演繹出兩個數(shù)量關(guān)系式:標準量×對應的分率=比較量,比較量÷對應的分率=標準量。

    例4? 我國幅員遼闊,東西相距5200千米,東西距離是南北的,南北距離多少千米?(人教版教材例題)

    南北距離看作標準量,東西距離是比較量,比較量÷對應的分率=標準量,得5200÷=5500千米。

    結(jié)合學生的前期知識基礎(chǔ),可以類比低年級“倍”的關(guān)系模型理解比較量和標準量之間的比率模型,如前所述,無量綱性分數(shù)表示的比較關(guān)系是倍數(shù)關(guān)系的拓展,能整除時需要分析比較量是標準量的幾倍,不能整除時則需要分析比較量是標準量的幾分之幾,這時產(chǎn)生的分數(shù)往往是真分數(shù)和假分數(shù)并存。

    3.從單位“1”的角度統(tǒng)一理解兩種數(shù)量關(guān)系模型

    可以發(fā)現(xiàn),無量綱性分數(shù)的兩種數(shù)量關(guān)系模型屬于統(tǒng)一范疇的思維方式,而單位“1”的引入可以更好地把握以上兩個關(guān)系模型之間的本質(zhì)聯(lián)系,即無論是整體量還是標準量本質(zhì)上都可以看作單位“1”,單位“1”已知,求其他量(部分量或比較量)的過程借助分數(shù)乘法;而單位“1”未知,求單位“1”(整體量或標準量)的過程則借助分數(shù)除法。

    4.從方程和比的角度輔助理解無量綱性分數(shù)中的數(shù)量關(guān)系模型

    無量綱性分數(shù)問題的數(shù)量關(guān)系模型理解難度較大,而方程和比的介入可以幫助學生從不同角度把握其中的關(guān)系結(jié)構(gòu)。

    (1)方程借助了代數(shù)思維簡化算術(shù)分析過程,在求整體量或標準量的過程中涉及大量逆向分析,因此多數(shù)教材沒有引入分數(shù)除法關(guān)系式,而是根據(jù)分數(shù)乘法關(guān)系模型列方程解決除法問題,如例3中,可設(shè)整體量小明的體重為x,列出分數(shù)乘法方程,得x=28,簡化思考過程的同時發(fā)展學生的代數(shù)思維。

    (2)無量綱性分數(shù)中“率”的意義模型更接近于分數(shù)的“比的定義”,因此無量綱性分數(shù)中的數(shù)量關(guān)系可以從比的角度進一步表征,如例3的分數(shù)除法問題,小明體內(nèi)的28千克水分約占體重的,即體內(nèi)水分 ∶ 體重=4∶5,28千克對應了4份的質(zhì)量,列式28÷4×5,可求出小明的體重。因此比的問題解決策略也可以幫助學生分析和理解無量綱性分數(shù)應用題。

    史寧中教授認為“數(shù)學的本質(zhì)是在認識數(shù)量的同時認識數(shù)量之間的關(guān)系”,在分數(shù)教學中,有量綱性分數(shù)的意義側(cè)重于前者,而無量綱性分數(shù)的意義側(cè)重于后者,兩類分數(shù)相關(guān)而又不同,本質(zhì)一致又表征了不同的意義傾向,因此對兩類分數(shù)意義模型的辨析有助于學生深度理解分數(shù)概念,并進一步運用分類討論的方式靈活處理分數(shù)問題。

    參考文獻:

    [1][6] 張奠宙. 小學數(shù)學教材中的大道理[M]. 上海:上海教育出版社,2018.

    [2] 李莉,高娟娟. 追根溯源,探究分數(shù)的本質(zhì)——“分數(shù)的意義”兩次教學實踐與思考[J]. 小學數(shù)學教育,2020(17):29-33.

    [3] 張奠宙. 分數(shù)的定義[J]. 小學教學(數(shù)學版),2010(01):48-49.

    [4] 范文貴. 分數(shù)的內(nèi)涵有多大?——兼談小學分數(shù)的教學[J]. 人民教育,2011(17):43-47.

    [5] 華應龍. 分數(shù):先分后數(shù)——“分數(shù)的意義”教學新路徑[J]. 人民教育,2011(06):37-39.

    [7] 趙莉,王春英,史寧中. 分數(shù)概念表述和分數(shù)除法運算的比較研究及其對教學的啟示[J]. 數(shù)學教育學報,2021,30(03):46-51.

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