從量綱的角度辨析分數(shù)意義

牛延凱 曹紅

［摘? 要］ 實際問題中的分數(shù)兼具量綱性和無量綱性的特點，有量綱性分數(shù)是一種“量”的意義模型，表征一個具體的量；無量綱性分數(shù)是一種“率”的意義模型，表征兩個量之間的關(guān)系。通過辨析兩類分數(shù)的具體內(nèi)涵，可以在分類討論中提高分數(shù)問題的理解效率。

［關(guān)鍵詞］ 分數(shù)意義；量綱性；分類討論

分數(shù)的出現(xiàn)是數(shù)系的第一次擴充，作為抽象的數(shù)，分數(shù)本質(zhì)上是無量綱的［１］，但是具體到實際應用中，脫離了自然數(shù)的學習經(jīng)驗，分數(shù)兼具量綱性和無量綱性的特點［２］。生活中接觸到的分數(shù)實例可以分為兩類：（1）有量綱性的分數(shù)，量綱用于表征物理量的客觀屬性，而在小學數(shù)學中，常用量綱下的各種名數(shù)表征數(shù)量標準，如繩子長米、吃了塊餅（分大餅中的“小塊”看作是一種臨時用的名數(shù)［３］）；（2）無量綱性的分數(shù)，如讀了一本書的，男生人數(shù)占女生的。一方面，學生容易混淆兩類分數(shù)之間相關(guān)而又不同的意義；另一方面，兩類分數(shù)之間的意義辨析過程也是學生深度理解分數(shù)概念的一個契機。

根據(jù)是否有名數(shù)這一特點，有量綱性分數(shù)和無量綱性分數(shù)的外在形式容易區(qū)分，是一種天然的分類方式，通過探究兩類分數(shù)的不同內(nèi)涵和處理技巧，學生在思考分數(shù)問題時可以有不同的分析傾向并找到對應的理解角度，進而在分類討論中簡化分數(shù)意義的理解難度，提高分數(shù)問題的理解效率。

一、有量綱性分數(shù)和無量綱性分數(shù)是兩種不同的意義模型

（一）有量綱性分數(shù)是一種“量”的意義模型

實際問題中出現(xiàn)的有量綱性分數(shù)是一種“量”的意義模型，表示具體量的大小。在數(shù)系擴充到非負有理數(shù)后，分數(shù)比自然數(shù)更能準確地刻畫事物的“量”的特性，實現(xiàn)數(shù)學的“量化思想方法”意義［４］。這一類分數(shù)在生活中有對應表征的實際數(shù)量，如米的繩子表示繩子的具體長度，個餅表示餅的實際大小。

有量綱性的分數(shù)更多關(guān)注了基于產(chǎn)生過程的分數(shù)，在平均分的過程中，人們需要找到一個分數(shù)來刻畫大于0小于1的量，即整體中的這一部分具體有多大。教學中借助分和數(shù)的過程認識這一類分數(shù)，如華應龍老師所說，分數(shù)的意義是先分后數(shù)［５］，分之后即確定了分母和分數(shù)單位，數(shù)是為了數(shù)出有幾個這樣的分數(shù)單位，即確定分子。在人教版三年級上冊“分數(shù)的初步認識”中，學生接觸的主要是這種分數(shù)的產(chǎn)生式定義方式，如1個餅平均分成3份，數(shù)出其中的2份即個餅；1米的彩帶平均分成10份，數(shù)出其中的3份是米。可見，有量綱性分數(shù)和產(chǎn)生式的理解過程可以對接學生的生活背景以及前期除法的平均分經(jīng)驗，進一步抽象時，也可以運用面積圖的方式在幾何直觀中幫助學生感悟分數(shù)意義，學生理解起來相對容易。

（二）無量綱性分數(shù)是一種“率”的意義模型

實際問題中出現(xiàn)的無量綱性分數(shù)是一種“率”的意義模型，表示量之間的關(guān)系，在數(shù)系擴充到非負有理數(shù)后，分數(shù)比自然數(shù)更能準確地刻畫數(shù)量之間的“率”的關(guān)系。這一類分數(shù)在生活中沒有對應表征的實際數(shù)量，而是用于表示數(shù)量之間的分率關(guān)系，如讀了1本書的，不代表實際頁數(shù)多少，而是表征部分和整體間的分率關(guān)系；男生人數(shù)占女生的，表示男生人數(shù)和女生人數(shù)的分率（比率）關(guān)系。

無量綱性分數(shù)關(guān)注更多的是作為比較結(jié)果的分數(shù)，具體包括兩種類型：部分量和整體量的比較結(jié)果——部分在整體中占了多少份額，并進一步拓展到兩個不同量之間的比較結(jié)果——一個量占了另一個量的多少份額。在人教版五年級下冊“分數(shù)的意義”一節(jié)中，學生開始大量接觸這種作為比較結(jié)果的分數(shù)，如將盤子中的8塊面包看作一個整體，2塊面包占了其中的，這里的是部分量和整體量比較后的結(jié)果，需要借助包含除計算，8÷2=4份，2塊面包占據(jù)了4份中的1份。對此張奠宙教授認為，分數(shù)問題中求一個量占據(jù)的份額是算術(shù)模型，是純粹的數(shù)量問題，因此學生理解起來相對困難，但是它在數(shù)學上更為深刻［６］。

二、從分數(shù)與除法的關(guān)系角度理解有量綱性分數(shù)與無量綱性分數(shù)

分數(shù)的出現(xiàn)有兩種主要推力：（1）現(xiàn)實生活計數(shù)的需求，即在度量和平均分時需要借助分數(shù)表示小于1的量；（2）數(shù)學內(nèi)部發(fā)展的需求，即除法運算的封閉性需要借助分數(shù)表示運算結(jié)果，由此分數(shù)與除法之間的遷移聯(lián)系也是理解分數(shù)意義的重要基礎(chǔ)。學生接觸了兩類除法——等分除與包含除，以此為基礎(chǔ)可以進一步認識作為“量”的分數(shù)與作為“率”的分數(shù)，辨析有量綱性分數(shù)與無量綱性分數(shù)的不同內(nèi)涵。

（一）等分除角度理解有量綱性分數(shù)

有量綱性分數(shù)主要對應了等分除的商。等分除是將一個物體平均分成若干份，求其中一份是多少，在不能整除時需要借助分數(shù)表示每一份的數(shù)量，如人教版教材“分數(shù)與除法”一節(jié)中，3個月餅平均分給4人，每人分多少，即是一種等分除模型，每人分到的不是整數(shù)個，需要借助分數(shù)表示，即個月餅。

（二）包含除的角度理解無量綱性分數(shù)

無量綱性分數(shù)主要對應了包含除的商。包含除是知道每一份的數(shù)量，求整體中包含了這樣的幾份，不能整除時需借助分數(shù)表征，同時其逆向關(guān)系即這一部分占據(jù)了整體多少份額時，也需要借助分數(shù)表征。如12個蘋果，每盤放3個，可以擺4盤，即12里面包含了這樣的4份，反過來，每盤的3個蘋果看作整體（12個蘋果）的。

（三）無量綱性分數(shù)所表示的分率關(guān)系是倍數(shù)關(guān)系的拓展

無量綱性分數(shù)在表示兩個量之間比較關(guān)系時，可看作是倍數(shù)關(guān)系的拓展。除法單元中，在包含除的基礎(chǔ)上可以擴展形成倍的概念，包含除側(cè)重“有幾個幾”的理解過程，可以引申為較大的數(shù)是較小數(shù)的幾倍。引入倍的概念后可以更方便地分析兩個量之間的比較關(guān)系，而其結(jié)果不能整除時需借助分數(shù)表示，和倍一樣，這時的分數(shù)也沒有量綱。

人教版教材“分數(shù)與除法”一節(jié)設(shè)計了這樣一道例題：小新家養(yǎng)鵝7只，養(yǎng)鴨10只，養(yǎng)雞20只，雞的只數(shù)是鴨的幾倍？鵝的只數(shù)是鴨的幾分之幾？以上兩個問題有什么關(guān)系？

可以發(fā)現(xiàn)，兩個問題都涉及了包含除計算模型，一個能整除——雞的只數(shù)是鴨的2倍；一個不能整除——鵝的只數(shù)是鴨的。由此可見，無量綱性分數(shù)表示數(shù)量關(guān)系時，“分數(shù)倍與整數(shù)倍意義一樣”［７］，在不能整除時，分數(shù)比整數(shù)更為精確地表征了兩個量之間的倍比關(guān)系。

三、有量綱性分數(shù)和無量綱性分數(shù)應用題中的數(shù)量關(guān)系模型

教材在“分數(shù)的意義”“分數(shù)與除法”“分數(shù)的基本性質(zhì)”等章節(jié)所編排的情境問題中，有量綱性分數(shù)與無量綱性分數(shù)常常融合在一起，學習者更容易感悟兩類分數(shù)的本質(zhì)一致性。而在“分數(shù)乘法應用題”“分數(shù)除法應用題”等內(nèi)容中，有量綱性分數(shù)和無量綱性分數(shù)則需要分類討論，兩者有不同的數(shù)量關(guān)系模型和問題解決策略（以分數(shù)除法應用題為例分析）。

（一）有量綱性分數(shù)應用題中的數(shù)量關(guān)系模型

有量綱性分數(shù)表示具體數(shù)量大小，相關(guān)應用題可以遷移之前整數(shù)和小數(shù)應用題的學習經(jīng)驗，適用諸如總價=單價×數(shù)量、路程=速度×時間等數(shù)量關(guān)系模型。在原先經(jīng)驗基礎(chǔ)上，有量綱性分數(shù)應用題處理起來并不復雜。

例1? 一座大橋長800米，一輛汽車通過此橋用了分鐘，這輛汽車1分鐘行駛多少千米？（青島版教材習題，路程÷時間=速度，列式800÷）

例2? 修一條長12千米的公路，如果每天修千米，多少天修完？（北師大版教材習題，工作總量÷工作效率=工作時間，列式12÷）

（二）無量綱性分數(shù)應用題中的數(shù)量關(guān)系模型

分數(shù)應用問題之所以是小學的難點，主要是指無量綱性分數(shù)應用題。無量綱性分數(shù)在表征數(shù)量關(guān)系時，包括兩種情況：部分量和整體量之間的分率關(guān)系以及兩個不同量之間的比率關(guān)系。

無量綱性分數(shù)應用題中，學生無法直接應用前期經(jīng)驗中積累的路程問題、購物問題等數(shù)量關(guān)系模型，因此對于這類應用題，需要教師引導學生重新構(gòu)建數(shù)量關(guān)系模型，并結(jié)合問題情境從多個角度應用模型。

1.部分量和整體量之間的分率關(guān)系模型

無量綱性分數(shù)表示部分和整體的分率時，其原始數(shù)量關(guān)系模型為：部分÷整體=對應的分率。以此為基礎(chǔ)進一步演繹出兩個數(shù)量關(guān)系式：整體×對應的分率=部分，部分÷對應的分率=整體，即知道整體量求部分量時用分數(shù)乘法，知道部分量求整體量時用分數(shù)除法，這也是理解分數(shù)乘法問題和分數(shù)除法問題的兩個重要指導思路。

例3? 小明體內(nèi)有28千克水分，約占體重的，小明體重是多少？（人教版教材例題）

小明體重是整體量，體內(nèi)水分是部分量，表示部分和整體的分率，根據(jù)分數(shù)除法關(guān)系模型——部分÷對應的分率=整體，即28÷=35千克。

結(jié)合學生的前期知識基礎(chǔ)，可以類比低年級的包含除模型理解部分量和整體量的分率模型，兩種模型之間是一種互逆關(guān)系，包含除模型需要分析整體中包含了幾個部分，其逆向分析為部分占了整體的幾分之幾，即部分和整體之間的分率關(guān)系，此時產(chǎn)生的分數(shù)都是真分數(shù)。

2.比較量和標準量之間的分率關(guān)系模型

無量綱性分數(shù)在比較不同量之間的分率（比率）關(guān)系時，其原始數(shù)量關(guān)系模型為：比較量÷標準量=對應的分率。以此為基礎(chǔ)進一步演繹出兩個數(shù)量關(guān)系式：標準量×對應的分率=比較量，比較量÷對應的分率=標準量。

例4? 我國幅員遼闊，東西相距5200千米，東西距離是南北的，南北距離多少千米？（人教版教材例題）

南北距離看作標準量，東西距離是比較量，比較量÷對應的分率=標準量，得5200÷=5500千米。

結(jié)合學生的前期知識基礎(chǔ)，可以類比低年級“倍”的關(guān)系模型理解比較量和標準量之間的比率模型，如前所述，無量綱性分數(shù)表示的比較關(guān)系是倍數(shù)關(guān)系的拓展，能整除時需要分析比較量是標準量的幾倍，不能整除時則需要分析比較量是標準量的幾分之幾，這時產(chǎn)生的分數(shù)往往是真分數(shù)和假分數(shù)并存。

3.從單位“1”的角度統(tǒng)一理解兩種數(shù)量關(guān)系模型

可以發(fā)現(xiàn)，無量綱性分數(shù)的兩種數(shù)量關(guān)系模型屬于統(tǒng)一范疇的思維方式，而單位“1”的引入可以更好地把握以上兩個關(guān)系模型之間的本質(zhì)聯(lián)系，即無論是整體量還是標準量本質(zhì)上都可以看作單位“1”，單位“1”已知，求其他量（部分量或比較量）的過程借助分數(shù)乘法；而單位“1”未知，求單位“1”（整體量或標準量）的過程則借助分數(shù)除法。

4.從方程和比的角度輔助理解無量綱性分數(shù)中的數(shù)量關(guān)系模型

無量綱性分數(shù)問題的數(shù)量關(guān)系模型理解難度較大，而方程和比的介入可以幫助學生從不同角度把握其中的關(guān)系結(jié)構(gòu)。

（1）方程借助了代數(shù)思維簡化算術(shù)分析過程，在求整體量或標準量的過程中涉及大量逆向分析，因此多數(shù)教材沒有引入分數(shù)除法關(guān)系式，而是根據(jù)分數(shù)乘法關(guān)系模型列方程解決除法問題，如例3中，可設(shè)整體量小明的體重為x，列出分數(shù)乘法方程，得x=28，簡化思考過程的同時發(fā)展學生的代數(shù)思維。

（2）無量綱性分數(shù)中“率”的意義模型更接近于分數(shù)的“比的定義”，因此無量綱性分數(shù)中的數(shù)量關(guān)系可以從比的角度進一步表征，如例3的分數(shù)除法問題，小明體內(nèi)的28千克水分約占體重的，即體內(nèi)水分 ∶ 體重=4∶5，28千克對應了4份的質(zhì)量，列式28÷4×5，可求出小明的體重。因此比的問題解決策略也可以幫助學生分析和理解無量綱性分數(shù)應用題。

史寧中教授認為“數(shù)學的本質(zhì)是在認識數(shù)量的同時認識數(shù)量之間的關(guān)系”，在分數(shù)教學中，有量綱性分數(shù)的意義側(cè)重于前者，而無量綱性分數(shù)的意義側(cè)重于后者，兩類分數(shù)相關(guān)而又不同，本質(zhì)一致又表征了不同的意義傾向，因此對兩類分數(shù)意義模型的辨析有助于學生深度理解分數(shù)概念，并進一步運用分類討論的方式靈活處理分數(shù)問題。

參考文獻：

［１］［６］ 張奠宙. 小學數(shù)學教材中的大道理［Ｍ］. 上海：上海教育出版社，２０１８.

［２］ 李莉，高娟娟. 追根溯源，探究分數(shù)的本質(zhì)——“分數(shù)的意義”兩次教學實踐與思考［Ｊ］. 小學數(shù)學教育，２０２０（１７）：２９－３３.

［３］ 張奠宙. 分數(shù)的定義［Ｊ］. 小學教學（數(shù)學版），２０１０（０１）：４８－４９.

［４］ 范文貴. 分數(shù)的內(nèi)涵有多大？——兼談小學分數(shù)的教學［Ｊ］. 人民教育，２０１１（１７）：４３－４７.

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［７］ 趙莉，王春英，史寧中. 分數(shù)概念表述和分數(shù)除法運算的比較研究及其對教學的啟示［Ｊ］. 數(shù)學教育學報，２０２１，３０（０３）：４６－５１.