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    對2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷理科21題的探究

    2020-05-13 13:49:20江蘇省灌南高級中學(xué)222500劉鑫鈞安徽省淮北市第一中學(xué)235000周宗杰
    關(guān)鍵詞:高考題斜率變式

    江蘇省灌南高級中學(xué) (222500) 劉鑫鈞安徽省淮北市第一中學(xué) (235000) 周宗杰

    一、考題再現(xiàn)

    (1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

    (2)過坐標(biāo)原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連接QE并延長交C于點G.

    (ⅰ)證明:△PQG是直角三角形;

    (ⅱ)求△PQG面積的最大值.

    二、題源及分析

    (一)題源

    此題是由2011年江蘇卷18題改編而來.

    圖1

    (1)當(dāng)直線PA平分線段MN時,求k的值;

    (2)當(dāng)k=2時,求點P到直線AB的距離d;

    (3)對任意k>0,求證:PA⊥PB.

    (二)分析

    1.兩道高考題的共性主要有四個方面:

    (1)兩個橢圓方程是一樣的.

    (2)全國卷Ⅱ后兩問的條件與江蘇卷的的題干中條件是一致的.

    (3)全國卷Ⅱ的第二問表面上是證明直角三角形,實際上只要證明PQ⊥PG,因此與江蘇卷的第三問實質(zhì)上是一樣的.

    (4)兩個高考題均為三問.

    2.兩道高考題的異性主要有兩個個方面:

    (1)全國卷Ⅱ不是直接告知橢圓方程,而是以斜率的乘積為定值這一條件呈現(xiàn),需先求軌跡方程.

    (2)從難度上來看:全國卷Ⅱ增加了求△PQG的最值一問,難度增大.

    三、解法探究

    對于全國卷Ⅱ的三個問題,這里主要探究第二問的解法.

    評析:△PQG是運動變化的,但是變化的源頭在PQ,它是主動,其它因它而動,是被動的,進一步分析,發(fā)現(xiàn)P,Q兩點關(guān)于原點對稱,因此直線PQ動本質(zhì)就是點P在動,因此可以假設(shè)點P(x0,y0).

    評析:△PQG的變化是由于直線PQ變化導(dǎo)致的,而刻畫直線的變化的另一個視角就是通過直線斜率k來刻畫,因此假設(shè)直線PQ的方程為y=kx是自然的,然后其它變化的點Q,G,E,及直線QG均可用k來表示,這樣PQ,PG均能用k來表示,最后直接運算kPQkPG的值,從而獲得問題的解答.

    (四)解法4:(幾何法)如圖2,連接PE并延長交橢圓于P1,由PE⊥x軸,所以P1(x0,-y0),由于P,Q關(guān)于原點對稱,則Q(-x0,-y0),所以P1Q∥x,P1Q⊥PP1.kGQ=kQE=

    圖2

    四、教學(xué)啟示

    1.立足變式,深化問題認(rèn)識

    解題教學(xué)不僅要一題多解,更要善于多題一解,因此要善于對問題進行變式.顧泠沅等學(xué)者把變式教學(xué)分為概念性變式和過程性變式教學(xué)兩類.概念性變式教學(xué)突出對概念內(nèi)涵的理解,過程性變式教學(xué)突出對概念外延的應(yīng)用,注重知識之間的聯(lián)系和拓展,通過過程性變式教學(xué),使數(shù)學(xué)教學(xué)有層次地遞進[1].利用過程性變式可以對一個初始問題進行變式,從而深化對這類問題的認(rèn)識.

    圖3

    圖4

    (1)略;(2)若點A,B分別是橢圓E的左、右頂點,直線l經(jīng)過點B且垂直于x軸,點P是橢圓上異于A,B的任意一點,直線AP交l于點M.(ⅰ)設(shè)直線OM的斜率為k1,直線BP的斜率為k2,求證:k1k2為定值;(ⅱ)略

    變式不是目的,目的在于要有意識,有目的的引導(dǎo)學(xué)生從“變化”中能尋找到“不變”的性質(zhì),從而認(rèn)識到題目的本質(zhì),將眾多繁雜、凌亂的問題整理為簡單、有序的結(jié)構(gòu),從而減輕學(xué)習(xí)的壓力,這就需要引導(dǎo)學(xué)生善于對數(shù)學(xué)問題進行抽象.

    2.基于數(shù)學(xué)抽象,歸納數(shù)學(xué)問題

    數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象,得到數(shù)學(xué)研究對象.表現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念、命題、思想方法、和知識體系方面的抽象.通過兩道高考題的呈現(xiàn),及兩道??碱}的變式,給學(xué)生提供了一定的實例,那么如何進一步概括抽象出四個試題,將它們從形式上統(tǒng)一起來呢?

    經(jīng)過分析可以看出全國卷Ⅱ高考題中證明△PQG是直角三角形與江蘇高考題證明PA⊥PB兩題的本質(zhì)上就是證明斜率之積-1,兩道模考題均是證明斜率之積為定值.

    因此可以抽象出一個更一般的問題:已知兩條直線l1,l2的斜率為k1,k2,λ為實數(shù).證明:k1k2=λ.

    3.提煉問題解法,實現(xiàn)忘形得一

    高三解題教學(xué),貴在跳出題海,掌握一類問題的普適性解法.經(jīng)過對這四道試題經(jīng)過深入的分析,

    可以得到一個統(tǒng)一的解法:換k.這種解法一般操作如下:

    事實上兩道高考題中的解法3和解法4就是換k這一技巧下的具體應(yīng)用.為了進一步的說明這種解法的普適性,我們以變式1為例.

    通過以上分析,我們可以看出盡管四個題目中圖形不同,所證結(jié)論外在之形亦有所區(qū)別,但實質(zhì)上它們可以歸一,一種題型,一種解法.

    五、結(jié)語

    G·波利亞有句名言:“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要”.因此在高三的解題教學(xué)中,不僅僅要啟發(fā)學(xué)生多角度、多層次的去思考解決問題,積累數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗,更要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同試題之間的區(qū)別與與聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)問題,提煉一般模型及解法,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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