淺析數(shù)形結(jié)合思想在中考試題中的應(yīng)用

丁秀珍

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)原本是研究數(shù)與形的學(xué)科，而且數(shù)與形是密不可分的，可以用數(shù)去高度概括規(guī)律，用形使抽象的數(shù)學(xué)研究對象或規(guī)律變得直觀形象. 數(shù)與形的結(jié)合可以激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者與研究者的形象思維與抽象思維，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性與簡潔性等特點，因此數(shù)形結(jié)合思想必然會成為最基本的數(shù)學(xué)思想. 教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合在中考試題中的應(yīng)用價值，還應(yīng)體現(xiàn)在學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想，乃至當(dāng)下強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)上. 數(shù)學(xué)教師要扎實研究好數(shù)形結(jié)合，思考其在中考試題中的應(yīng)用，思考其對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)評價的應(yīng)用.

［關(guān)鍵詞］ 初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；中考試題

隨著課程改革越來越深入，數(shù)學(xué)思想在日常的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中也越來越受到重視. 所謂數(shù)學(xué)思想，就是人們對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的概括和總結(jié)，并在此基礎(chǔ)上概括出來的思想與方法. 數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，對它的提煉、概括和應(yīng)用，有利于提高學(xué)生的思維水平. 一般來說，初中數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、轉(zhuǎn)化思想、建模思想、分類討論思想、類比思想等［1］. 在這么多的數(shù)學(xué)思想當(dāng)中，數(shù)形結(jié)合思想是最為常見的數(shù)學(xué)思想之一，可以說它伴隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終. 一個直接的原因，就是數(shù)學(xué)原本是研究數(shù)與形的學(xué)科，而且數(shù)與形是密不可分的，可以用數(shù)去高度概括規(guī)律，用形使抽象的數(shù)學(xué)研究對象或規(guī)律變得直觀形象，數(shù)與形的結(jié)合可以激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者與研究者的形象思維與抽象思維，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性與簡潔性等特點，因此數(shù)形結(jié)合思想必然會成為最基本的數(shù)學(xué)思想.

日常的教學(xué)總是受考試評價影響的，考試的指揮棒對于數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)與應(yīng)用來說也有著決定性作用. 日常的數(shù)形結(jié)合思想研究都是基于數(shù)學(xué)知識或者規(guī)律的教學(xué)進(jìn)行的，目前，對于中考視域下的數(shù)形結(jié)合思想研究相對偏少，筆者認(rèn)為應(yīng)引起大家的重視. 思考并分析數(shù)形結(jié)合思想在中考試題中的應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)成為每一個初中數(shù)學(xué)教師的基本功，應(yīng)當(dāng)是日常的數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)的出發(fā)點與落腳點. 基于這樣的認(rèn)識，筆者以蘇科版中學(xué)數(shù)學(xué)試題的分析為例，略談數(shù)形結(jié)合思想在中考試題中的應(yīng)用.

數(shù)形結(jié)合思想在中考試題中的應(yīng)用價值

中考最基本的功能就是對學(xué)生的評價，中考試題直接評價的是學(xué)生的解題能力，這一點容易為教師所感知，因此在教學(xué)中教師的直接努力方向就是學(xué)生的應(yīng)試能力. 然而，中題實際上還有一個更為基本的功能與價值，就是對數(shù)學(xué)思想的評價價值. 數(shù)形結(jié)合作為最基本的數(shù)學(xué)思想，在中考試題中有著普遍的體現(xiàn)與應(yīng)用，其最直觀的表現(xiàn)就是一道題目當(dāng)中往往會出現(xiàn)圖形，學(xué)生在理解題目信息的時候會同時借助題目文字與圖形來進(jìn)行，當(dāng)學(xué)生看到相關(guān)的中考題時，就會借助日常學(xué)習(xí)過程中形成的數(shù)形結(jié)合思路，來解析題目，建構(gòu)意義. 值得一提的是，有一些中考試題只有文字信息，而沒有圖形，學(xué)生在面對此類題目的時候，往往會有兩種分析思路：一種是直接基于文字進(jìn)行分析，另一種是借助圖形進(jìn)行分析（當(dāng)然需要學(xué)生根據(jù)題目的文字信息進(jìn)行圖形的構(gòu)造），這兩種分析思路對應(yīng)的思維方式是不一樣的，其反映著同樣的一道中考試題對不同的學(xué)生，能夠考查出來的能力也是不一樣的. 這也就提醒初中數(shù)學(xué)教師，必須認(rèn)真研究數(shù)形結(jié)合在中考試題中的應(yīng)用價值.

那么，數(shù)形結(jié)合在中考試題中的應(yīng)用價值是怎樣的呢？

分析表明，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)考試評價（也就是中考試題）中的應(yīng)用，實際上就是引導(dǎo)學(xué)生借助圖形和數(shù)量的關(guān)系以及二者之間的數(shù)學(xué)思想的轉(zhuǎn)化，去找到符合邏輯關(guān)系的解題方法. 數(shù)形結(jié)合思想涉及的知識面很廣，它可以把抽象、復(fù)雜的文字?jǐn)?shù)學(xué)題轉(zhuǎn)化為生動容易理解的圖形數(shù)學(xué)題，便于學(xué)生掌握，幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力和訓(xùn)練數(shù)學(xué)解題能力，提高學(xué)習(xí)效果［2］. 這樣的分析代表著當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對數(shù)形結(jié)合思想的共性認(rèn)識.

在此基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合在中考試題中的應(yīng)用價值，還應(yīng)體現(xiàn)在對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想，乃至當(dāng)下強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的評價上. 分析可以發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)數(shù)形結(jié)合的中考試題的求解，其實就是通過數(shù)與形來提供信息，要求學(xué)生基于一定的數(shù)學(xué)關(guān)系，利用邏輯推理去實現(xiàn)問題解決的過程. 這個過程當(dāng)中數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用是數(shù)學(xué)思想的直接體現(xiàn)，邏輯推理作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素之一是數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn). 在日常的教學(xué)中教師借助中考試題（也就是所謂的中考真題）去實施教學(xué)，一個很重要的目的就是超越應(yīng)試能力的培養(yǎng)，去實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合判斷，并在此基礎(chǔ)上尋找到新的培育思路.

基于數(shù)學(xué)中考試題的數(shù)形結(jié)合分析

初中數(shù)學(xué)教師最擅長的工作是實踐研究和案例研究，在研究數(shù)學(xué)中考試題中的數(shù)形結(jié)合時，通常也需要借助具體的中考試題解析過程來進(jìn)行. 值得注意的是，受應(yīng)試習(xí)慣的影響，教師對中考試題的分析都是在知識點分類的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，往往會從考點把握、解題技巧的角度去解析試題，而數(shù)形結(jié)合實際上強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，因此要切實有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，就必須從這一角度切入，讓學(xué)生有一個清晰的感知數(shù)形結(jié)合的過程. 其中，最需要強(qiáng)調(diào)的就是在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)采用數(shù)形結(jié)合思路后，解題都會有一個新的突破.

從初中數(shù)學(xué)知識體系的角度來看，函數(shù)是中考命題的重要考點，其既關(guān)注函數(shù)基礎(chǔ)知識和基本技能，又兼顧基本思想和基本活動經(jīng)驗. 具體的中考試題形式多樣，既考查學(xué)生對函數(shù)變化與對應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想的感悟和理解，又考查學(xué)生運(yùn)用函數(shù)知識解決問題的能力，對學(xué)生的探究能力、分析能力、問題解決能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高的要求. 由于函數(shù)知識具有高度的綜合性與概括性，故對中考函數(shù)試題的分析具有一定的代表性.

例如，有這樣一道中考試題：若二次函數(shù)y＝ax²+bx+c的圖象與x軸有兩個交點M（x₁，0），N（x₂，0）（0＜x₁＜x₂），且經(jīng)過點A（0，2）． 過點A的直線l與x軸相交于點C，與該函數(shù)的圖象相交于點B（異于點A）． 滿足△ACN是等腰直角三角形，記△AMN的面積為S₁，△BMN的面積為S₂，且S₂=5/2S₂．

（1）拋物線的開口方向_____（填“上”或“下”）；

（2）求直線l相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（3）求該二次函數(shù)的表達(dá)式.

分析 這是一道考查二次函數(shù)知識點的中考試題. 從命題的角度來看，是一道典型的數(shù)形結(jié)合的試題，其通過對二次函數(shù)圖象信息的提供，給出了圖象與x軸的兩個交點的坐標(biāo)，但坐標(biāo)值未知；同時明確函數(shù)圖象經(jīng)過一個已知坐標(biāo)的點. 就這部分信息而言，對于大多數(shù)初中生來說并不陌生，但是題目考查的角度比較巧妙：一方面給出的圖形上面雖然有三個點的坐標(biāo)，但沒有拋物線的圖象；另一方面明確了有一條過已知點的直線，這條直線與函數(shù)的圖象相交于異于A點的B點. 尤其巧妙的是，在這些條件的基礎(chǔ)上構(gòu)建了一個等腰直角三角形，以及與之相關(guān)的另外兩個三角形.

有了這些條件疊加的限制，這道中考試題的難度就直線上升了. 學(xué)生在解題的過程中，必然要同時對數(shù)與形的信息進(jìn)行思考，而這樣一個同時思考的過程，實際上就是數(shù)形結(jié)合思想得以體現(xiàn)的過程. 盡管學(xué)生自己未必意識到這就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)與運(yùn)用，但是在實實在在的解題過程中，數(shù)形結(jié)合已真正發(fā)生了. 盡管從宏觀層面來看，數(shù)形結(jié)合是一個高度概括的描述，但是從學(xué)生思維的角度來看，他們必然要借助圖形，結(jié)合題目給出的數(shù)字信息，去運(yùn)用邏輯推理的方法，建構(gòu)出二次函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系上的基本圖形. 首先就是對第一個問題的回答，也就是拋物線的開口向上還是向下；其后對形成的三角形的判斷，尤其是根據(jù)題目告知的“△ACN是等腰直角三角形”，去建構(gòu)對△AMN與△BMN的認(rèn)識，因為只有形成了這樣的認(rèn)識，才能借助題目給出的面積關(guān)系，去求解另外兩個問題. 其中涉及表象的想象與建構(gòu)——與學(xué)生的形象思維能力、表象建構(gòu)能力、直觀想象能力密切相關(guān)，也涉及數(shù)學(xué)關(guān)系的建立——與數(shù)學(xué)模型（二次函數(shù)）、邏輯推理密切相關(guān).

核心素養(yǎng)視角下審視數(shù)形結(jié)合應(yīng)用

很顯然這么一道中考試題，是通過數(shù)形結(jié)合的方式來評價學(xué)生的多項能力. 這對于初中數(shù)學(xué)教師日常教學(xué)的啟發(fā)來說，就應(yīng)以數(shù)形結(jié)合為教學(xué)的線索，將學(xué)生的能力考查統(tǒng)一到試題的分析與解答中來. 事實證明，通過這樣的思路可以明確教學(xué)的方向，并且對未來的中考形成一定的判斷.

如同上面提及的，數(shù)形結(jié)合一方面是數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)，表征數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征，另一方面對當(dāng)下所強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育，具有一定的指導(dǎo)與啟發(fā)作用. 在核心素養(yǎng)的視角下審視數(shù)形結(jié)合，意味著教師要在繼承初中數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)的同時，應(yīng)更多地從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的角度，去尋找有效的教學(xué)途徑. 今后的中考數(shù)學(xué)試題必然也會更加明確地指向核心素養(yǎng)，教師就要從現(xiàn)在開始真正扎實研究好數(shù)形結(jié)合，思考其在中考試題中的應(yīng)用，思考其對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)評價的應(yīng)用.

數(shù)形結(jié)合既是一種數(shù)學(xué)思想，又是一個重要的解題工具，其能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)課程的價值，同時能夠幫助學(xué)生打開問題解決的空間. 學(xué)生接納數(shù)形結(jié)合思想后，很重要的一點就是能夠?qū)?shù)與形有機(jī)地結(jié)合在一起，能夠在看到數(shù)的時候自然想到形，在看到形的時候自然想到數(shù)——這里所說的“自然想到”，其實就是一種良好的數(shù)學(xué)直覺，是一種下意識. 對于絕大多數(shù)初中生而言，通過必要的訓(xùn)練與反思，是能夠達(dá)到這一水平的. 因此，數(shù)學(xué)教師要堅定數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思路，真正讓其成為教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要線索之一.

總而言之，數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位是基礎(chǔ)性的，同時也是極其重要的. 人們常說，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離. 數(shù)學(xué)教師要認(rèn)識到通過數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，可以使學(xué)生的思維完成從“形象”到“抽象”的概括，從“抽象”到“形象”的再現(xiàn). 通過數(shù)形結(jié)合去理解數(shù)學(xué)思想方法，可以發(fā)現(xiàn)其既是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，是知識的精髓，又是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，用好了就是能力（自然也就是素養(yǎng)以及核心素養(yǎng)）. 因此數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透、概括和總結(jié)，要重視包括數(shù)形結(jié)合在內(nèi)的數(shù)學(xué)思想方法在解題尤其是中考試題的解答應(yīng)用. 只有做到這一點，學(xué)生才能在面對中考的時候做到知己知彼而百戰(zhàn)不殆.

參考文獻(xiàn)：

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