基于分形插值與支持向量機混合模型的大壩變形分析

向亞紅，張 峰，鄧念武，謝雨航

（1.湖北省防汛抗旱機動搶險總隊，湖北 武漢 430064；2.武漢大學(xué)水利水電學(xué)院，湖北 武漢 430072）

0 引言

大壩變形受到庫水位、溫度和時效等多種環(huán)境量因素的影響［1］，為研究大壩變形規(guī)律，了解大壩變形狀態(tài)，對大壩運行過程中可能出現(xiàn)的異常狀況作好應(yīng)急準(zhǔn)備，需要通過建立數(shù)學(xué)分析模型，對大壩變形規(guī)律和變形趨勢進(jìn)行認(rèn)識和掌握。許多學(xué)者應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［2，3］、遺傳算法［4］、支持向量機［5］等方法，以及兩種或兩種以上預(yù)測方法聯(lián)合建立的混合模型［6-9］對大壩變形進(jìn)行了研究和分析，這些方法主要是通過建立變形量與環(huán)境變量之間的映射關(guān)系對大壩變形進(jìn)行分析和研究。

大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)屬于時間序列，監(jiān)測數(shù)據(jù)具有隨機性、多尺度變化等復(fù)雜的特性，分形理論可以有效識別時間序列隱含的內(nèi)在規(guī)律。Su 等［10］應(yīng)用多重分形去趨勢波動分析法對某混凝土重力壩現(xiàn)場觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，確定了現(xiàn)有大壩時間序列的多重分形標(biāo)度行為，刻畫了大壩的長期行為和結(jié)構(gòu)演變規(guī)律；周蘭庭等［11，12］利用分形理論解析了大壩變形性態(tài)的多重分形特征及其對稱性；利用多重分形理論對混凝土重力壩水平位移的波動進(jìn)行了分析，指出位移多重分形特征受到環(huán)境量影響明顯。胡江等［13］利用多重分形去趨勢波動方法從局部和整體兩個方面對大壩的工作性態(tài)及演變規(guī)律進(jìn)行了評價。大壩變形時間序列具有多重分形的特征，可以根據(jù)大壩的自相似性應(yīng)用分形插值方法對大壩變形時間序列進(jìn)行分析和預(yù)測。進(jìn)一步研究表明，在構(gòu)造分形插值擬合時，由于擬合出的圖形是分?jǐn)?shù)維的，不可避免地會出現(xiàn)斷裂或周期現(xiàn)象［14］；在構(gòu)造分形插值外延預(yù)測模型時，對均方偏差最小的點進(jìn)行搜索時需要較長的計算時間，且預(yù)測點距離已知序列越遠(yuǎn)，預(yù)測誤差會越大。針對上述問題，本文嘗試引入支持向量機（SVM）對分形插值方法進(jìn)行優(yōu)化，從而獲取更優(yōu)的擬合和預(yù)測模型。

1 分形插值算法

分形插值算法是將分析數(shù)據(jù)的復(fù)雜性與數(shù)據(jù)本身可規(guī)律化結(jié)合起來，來預(yù)測數(shù)據(jù)的走向、數(shù)據(jù)值與區(qū)間值，以便獲得相關(guān)成果并進(jìn)行應(yīng)用［15］。數(shù)據(jù)的屬性具有不確定性和復(fù)雜性，分形插值通過已知數(shù)據(jù)點之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)和分析潛在規(guī)律并進(jìn)行自相似性延拓，經(jīng)過多次仿射系統(tǒng)迭代，可大大縮小樣本數(shù)據(jù)預(yù)測值與實測數(shù)據(jù)之間的差距，從而避免固定形式函數(shù)圖像偏離實測數(shù)據(jù)而引起的較大誤差［16］。

對于一個時間序列數(shù)據(jù)，根據(jù)分形插值理論，建立時間序列點集{(xi，Yi)，i=1，2，…，N}，（xi為時間或序列值，Yi為測值）。對時間序列點集按照公式（1）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。得到標(biāo)準(zhǔn)化點集{(xi，yi)，i=1，2，…，N}。

式中：Ymax為最大值；Ymin為最小值。

根據(jù)分形插值理論可知，可以構(gòu)造一個R2上的迭代函數(shù)系（IFS），使它的吸引子G恰好是點集{(xi，yi)|i=1，2，...N}的連續(xù)函數(shù)f：[x0，xn]→R上的圖形上。該迭代函數(shù)系為：

且上式滿足端點條件：

式中：wi為待求的仿射變換矩陣；ai、ci、di、ei、fi為仿射變換參數(shù)，具體算法如下：

其中垂直比例因子di是關(guān)鍵參數(shù)，di的計算方法有幾何法、經(jīng)驗估計、平均值法等，為了兼顧數(shù)據(jù)的整體和局部的特性，更好地體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分形特征，提高分形插值的擬合精度，結(jié)合大壩水平位移序列特點，本文采用隨機因子法［如式（5）］計算垂直比例因子di。

式中：ymax、ymin是指以待插值點為中心前后擴展n0個點區(qū)間中的最大和最小值；ε=1 +rand(1)，rand(1)表示隨機函數(shù)，代表一個0 到1 之間的隨機數(shù)。由yi、yi-1體現(xiàn)局部信息，ymax、ymin體現(xiàn)全局信息，隨機數(shù)保證了分形本身的特性。

根據(jù)上述原理即可以求出所有變換矩陣wi，將初始迭代點（本文選擇時間序列第一個點）帶入公式（2），不斷迭代吸引子，最后得出插值點集組成的時間序列曲線。

2 支持向量機（SVM）算法

設(shè)訓(xùn)練樣本集為：{(xi，yi)，i=1，2，…，N}，xi∈Rd為輸入特征向量［5，16］，在大壩監(jiān)測數(shù)據(jù)中為影響因子；yi∈{ -1，1}為標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)，即算法的評判指標(biāo)，在大壩監(jiān)測數(shù)據(jù)中為效應(yīng)量。支持向量機需要通過已知樣本對函數(shù)關(guān)系式（6）進(jìn)行訓(xùn)練，以便找到輸入特征向量和評判指標(biāo)間的最優(yōu)關(guān)系。

為了解決輸入特征向量和評判指標(biāo)間的非線性關(guān)系，需要將其映射到高維空間轉(zhuǎn)化為線性問題。式中ω為分類超平面的權(quán)值，b為分類超平面的偏值。

該模型的優(yōu)化問題為：

約束條件為：

式中：ξi為松弛變量；C為懲罰參數(shù)；ε為估計精度，f(xi)與yi的差別小于ε時不計入誤差，大于ε時誤差記為|f(xi)-yi|-ε。

利用拉格朗日函數(shù)求解，考慮非線性可分情況，并引入用核函數(shù)K(x，xi)，得到最優(yōu)超平面的決策函數(shù)：

式中：αi，αi*為拉格朗日算子。核函數(shù)K(x，xi)是支持向量機的關(guān)鍵函數(shù)。目前研究中最常用的核函數(shù)主要有徑向基核函數(shù)（RBF）、多項式核函數(shù)和Sigmoid 核函數(shù)3 種。徑向基核函數(shù)中只有一個參數(shù)r，該核函數(shù)能夠較好地反映模型選擇的復(fù)雜度。研究表明：選擇合適的參數(shù)后，徑向基核函數(shù)可以適用于大壩變形序列的樣本。鑒于此，本文核函數(shù)采用徑向基核函數(shù)，如公式（10）所示。

要構(gòu)造一個具有較高預(yù)測精度的支持向量機模型，必須進(jìn)行模型參數(shù)尋優(yōu)來選擇合適的模型參數(shù)。模型參數(shù)優(yōu)化的主要思想是將目標(biāo)函數(shù)極小化，使得模型預(yù)測值和實際觀測數(shù)據(jù)之間能夠達(dá)到最佳的擬合效果。鑒于大壩變形時間序列本身的復(fù)雜性，常規(guī)優(yōu)化算法往往難以滿足參數(shù)優(yōu)化的目的。本文采取交叉驗證（Cross Validation，CV）方法來進(jìn)行模型參數(shù)尋優(yōu)。交叉驗證是一種統(tǒng)計方法，它可以用來驗證分類器的性能，交叉驗證法的基本思想是將原始數(shù)據(jù)序列分成兩組，其中一組序列稱為訓(xùn)練集，另一組序列稱為測試集。首先用訓(xùn)練集對計算模型進(jìn)行訓(xùn)練，通過訓(xùn)練學(xué)習(xí)開展參數(shù)尋優(yōu)，得到最優(yōu)的模型參數(shù)，建立預(yù)測模型，然后用該模型對測試集進(jìn)行預(yù)測，最后用測試集的計算結(jié)果來對該模型進(jìn)行效果評價。

3 基于分形插值與支持向量機的大壩變形混合模型

基于分形插值和支持向量機的大壩變形混合模型首先是通過對時間序列的分析，找出所有滿足要求的特征點，對特征點集和原始點集通過分形插值算法得到位移時間序列插值點集，然后利用支持向量機對分形插值得到的曲線通過參數(shù)尋優(yōu)，得到優(yōu)化后的擬合曲線。

利用支持向量機理論預(yù)測下一個特征點，通過分形插值按照前面的方法進(jìn)行迭代，計算插值點，最后再利用支持向量機進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，得到預(yù)測曲線。其步驟如下：

（1）建立時間序列點集：選取各觀測點位移時間序列，并進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到時間序列{(xi，yi)，i=1，2，…，N}，利用分形檢驗指標(biāo)和重標(biāo)極差分析法（Rescaled Range Analysis，R/S）［12］進(jìn)行序列分析，判斷其分形特征性質(zhì)。

（2）建立時間序列曲線的迭代函數(shù)系（IFS）：根據(jù)公式（4）和（5）分別計算初始仿射變換參數(shù)ai、ei、ci、fi，和垂直比例因子di，構(gòu)造迭代函數(shù)系（IFS）。

（3）根據(jù)仿射變換系，以時間序列的第一個點作為初始迭代點，計算初始吸引子，通過迭代擬合該測點的最優(yōu)位移時間序列曲線。

（4）根據(jù)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)和位移時間序列曲線，利用支持向量機構(gòu)造一個具有更高擬合精度的SVM擬合曲線。

（5）根據(jù)上述擬合曲線及插值點集，利用支持向量機算法預(yù)測最近的一個特征點值。

（6）利用新的插值點集，重復(fù)（2）～（5）步，構(gòu)造新的位移時間序列曲線，步驟（4）最后的擬合值至本步驟最后的預(yù)測值間的位移時間序列曲線即為預(yù)測曲線。

（7）如此反復(fù)，直至計算出所有預(yù)測數(shù)據(jù)。

4 工程實例

以某混凝土重力壩159 m 高程廊道中水平位移實測數(shù)據(jù)為例，建立基于分形插值和支持向量機的混合模型分析大壩變形。該壩159 m高程廊道內(nèi)順河向水平位移觀測方法為引張線法，在8～35 壩段分別布設(shè)一個測點，共28 個測點，引張線兩端點（7 壩段和36 壩段）布置垂線組，以便計算引張線各測點的絕對水平位移。引張線觀測方法采用自動化觀測，以往下游變形為正，往上游變形為負(fù)。本文選取8 號測點2006 年1 月至2015年6 月共85 期數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。前79 期數(shù)據(jù)建立模型并檢驗擬合精度，后6期用來檢驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測精度。

4.1 監(jiān)測數(shù)據(jù)分形分析

利用分形檢驗指標(biāo)計算8號測點水平位移時間序列偏度和峰度，結(jié)果表明：該測點時間序列偏度為-0.519，說明其時間序列數(shù)據(jù)分布有左側(cè)長尾；該測點時間序列峰度為0.278，說明觀測點水平位移時間序列的整體分布比正態(tài)分布高?？傮w來看，該測點表現(xiàn)為“胖尾”狀的非正態(tài)分布，測點位移時間序列具有自相似性、可相加性以及非連續(xù)性等分形特征。

運用重標(biāo)極差分析法（Rescaled Range Analysis，R/S）［17］計算8 號測點的Hurst指數(shù)為0.625，大于0.5 的評判標(biāo)準(zhǔn)。擬合相關(guān)系數(shù)為0.973，擬合相關(guān)系數(shù)大于0.9 的評判標(biāo)準(zhǔn)，說明監(jiān)測點未來的位移變化趨勢與過去的位移變化趨勢一致，存在正的長程相關(guān)性。即在上一段時間內(nèi)，由于荷載變化（如水位、溫度等發(fā)生變化）引起大壩向上游（或下游）移動，在下一個段時間內(nèi)相同效應(yīng)變化則會導(dǎo)致大壩向相同方向移動。

綜合分析表明：8號測點水平位移時間序列具有分形特征，可以利用分形插值方法對其進(jìn)行分析。

4.2 分形插值與支持向量機混合模型擬合分析

基于MATLAB R2014a 和LIBSVM 軟件平臺編寫分形插值與支持向量機混合模型，在各自階段的參數(shù)尋優(yōu)和曲線擬合的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多次迭代，得到最佳擬合曲線。

圖1 為8 號測點分形插值擬合圖，圖2 為8 號測點基于支持向量機和分形插值的混合模型擬合圖。觀測數(shù)據(jù)表明：大壩在水位、溫度和時效因素的多重影響下，呈現(xiàn)明顯的周期變化，上述兩種擬合方法都明顯反映了這種變化規(guī)律。但基于支持向量機和分形插值的混合模型擬合精度更高。

圖1 8號測點分形插值擬合圖Fig.1 No 8 fractal interpolation Model fit curve

圖2 8號測點混合模型擬合圖Fig.2 No 8 Hybrid Model fit curve

為了進(jìn)一步比較模型的精度，引入均方根誤差RMSE進(jìn)行評判。

均方根誤差公式為：

式中：yi為實測值模型計算值；n為數(shù)據(jù)序列數(shù)。

計算表明：分形插值模型的RMSE為0.94，分形插值與支持向量機混合模型的RMSE為0.90。

綜合分析可知，在進(jìn)行分形插值擬合后，運用支持向量機對數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化，在各測點水平位移時間序列擬合中可以取得更好的效果，混合模型的擬合精度比單獨使用分形插值模型擬合效果更好。

4.3 分形插值與支持向量機混合模型預(yù)測分析

對2015年的前6個月測值進(jìn)行預(yù)測。8號測點預(yù)測時間段內(nèi)實測值，以及混合模型、分形插值模型和SVM 模型的預(yù)測值和殘差見表1所示。

表1 8號測點預(yù)測時間段內(nèi)的實測值、預(yù)測值和殘差表 mmTab.1 observation，predictive values and residual error of No.8

由表1可知，在進(jìn)行分形插值預(yù)測時，預(yù)測點距離已知序列越遠(yuǎn)，預(yù)測誤差會越大，說明其外延預(yù)測范圍有限。這三種模型中混合模型預(yù)測精度最高。2015 年5 月15 日的預(yù)測值不太理想，通過實測數(shù)據(jù)規(guī)律分析，該期數(shù)據(jù)很可能有粗差的影響。

為了進(jìn)一步分析分形插值與支持向量機混合模型外延預(yù)測效果，分別計算出混合模型、分形插值模型、支持向量機模型的殘差均方根RMSE分別為0.72、2.04、0.93。

計算結(jié)果可知，在進(jìn)行位移時間序列預(yù)測時，分形插值與支持向量機混合模型的預(yù)測精度要高于單一模型，混合模型在工程實例中得到了較成功的應(yīng)用。

5 結(jié)論

針對利用分形插值理論建立大壩位移時間序列模型過程中，預(yù)測效率較低、預(yù)測序列越長精度越差等缺點，提出了應(yīng)用支持向量機算法對分形插值模型進(jìn)行優(yōu)化。結(jié)合大壩變形時間序列特點，通過垂直比例因子和核函數(shù)的選擇，建立了基于分形插值與支持向量機大壩變形混合模型。

結(jié)合工程實例采用分形插值與支持向量機混合模型對某大壩水平位移進(jìn)行了擬合和預(yù)測分析，結(jié)果表明：利用支持向量機優(yōu)化的分形插值模型擬合精度高于分形插值模型；混合模型預(yù)測精度也高于分形插值模型和支持向量機模型。分形插值與支持向量機混合模型在大壩變形分析研究中取得較好的效果。