基于預(yù)后驗(yàn)分析的邊坡穩(wěn)定監(jiān)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)決策方法

張浮平，彭 興

（長(zhǎng)江勘測(cè)規(guī)劃設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司，湖北 武漢 430010）

0 引言

在巖土工程實(shí)踐中不可避免的存在諸多不確定性因素，如有限數(shù)據(jù)導(dǎo)致的統(tǒng)計(jì)不確定性、巖土體力學(xué)參數(shù)的空間變異性、計(jì)算模型誤差等［1］。巖土工程風(fēng)險(xiǎn)決策能夠定量地考慮上述不確定性因素，是工程實(shí)踐中重要的科學(xué)決策手段［2-5］。

以邊坡工程風(fēng)險(xiǎn)分析為例，當(dāng)根據(jù)計(jì)算參數(shù)的初始信息分析得到的邊坡失效概率PF大于目標(biāo)失效概率PT時(shí)，通常需要采取一定的加固措施來(lái)提高邊坡的安全性，使邊坡的失效概率小于目標(biāo)失效概率。但工程師獲得的初始信息往往有限，且存在較大的認(rèn)知不確定性，據(jù)此采取的加固措施并不一定經(jīng)濟(jì)合理。另一方面，可通過(guò)布置監(jiān)測(cè)儀器收集更多信息，以減小巖土體參數(shù)的認(rèn)知不確定性，同樣可以達(dá)到降低邊坡失效概率的目的［6］。如果通過(guò)減小參數(shù)認(rèn)知不確定性分析的邊坡的失效概率小于目標(biāo)失效概率，則無(wú)需對(duì)邊坡采取加固措施，節(jié)省的加固措施費(fèi)用可視為監(jiān)測(cè)信息帶來(lái)的效益，但獲得監(jiān)測(cè)信息同樣需要增加額外的成本（如購(gòu)買(mǎi)和安裝監(jiān)測(cè)儀器等）。對(duì)是否開(kāi)展邊坡安全監(jiān)測(cè)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)決策是邊坡加固設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要問(wèn)題，能夠有效地避免盲目開(kāi)展監(jiān)測(cè)或者加固帶來(lái)的不必要的成本。預(yù)后驗(yàn)分析（Pre-posterior analysis）能夠有效地評(píng)估監(jiān)測(cè)方案的潛在效益，科學(xué)指導(dǎo)監(jiān)測(cè)方案的優(yōu)化布設(shè)，被廣泛應(yīng)用于工程監(jiān)測(cè)方案優(yōu)化決策之中［7-9］。在預(yù)后驗(yàn)分析中，由于監(jiān)測(cè)方案尚未實(shí)施，監(jiān)測(cè)項(xiàng)目能夠帶來(lái)的潛在效益需要通過(guò)預(yù)測(cè)可能的監(jiān)測(cè)結(jié)果和監(jiān)測(cè)結(jié)果發(fā)生的概率（即預(yù)后驗(yàn)信息）計(jì)算監(jiān)測(cè)項(xiàng)目信息價(jià)值的期望（Expected Value of Information，EVoI）來(lái)量化。在求解EVoI時(shí)，需要計(jì)算一系列可能監(jiān)測(cè)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的邊坡失效概率，即后驗(yàn)失效概率。常用的基于隨機(jī)模擬的后驗(yàn)失效概率計(jì)算方法包括：馬爾科夫鏈蒙特卡羅模擬［10］、基于結(jié)構(gòu)可靠度的貝葉斯更新方法（Bayesian Updating with Structur?al reliability methods，BUS）［11］等。當(dāng)上述方法應(yīng)用于邊坡穩(wěn)定監(jiān)測(cè)方案預(yù)后驗(yàn)分析時(shí)，對(duì)于不同的監(jiān)測(cè)結(jié)果，通常需要重新執(zhí)行隨機(jī)模擬以求解對(duì)應(yīng)的失效概率，由于邊坡變形等監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的求解模型（如有限元計(jì)算模型、有限差分計(jì)算模型）比較復(fù)雜，計(jì)算效率低。因此如何高效地求解EVoI是邊坡穩(wěn)定監(jiān)測(cè)方案預(yù)后驗(yàn)分析的一個(gè)關(guān)鍵難點(diǎn)，也是該方法難以運(yùn)用于實(shí)際工程實(shí)踐的重要制約因素之一。

本研究旨在建立基于預(yù)后驗(yàn)分析的邊坡穩(wěn)定監(jiān)測(cè)方案風(fēng)險(xiǎn)決策模型，并將提出的改進(jìn)拒絕抽樣貝葉斯更新方法（Bayesian Updating with Structural reliability methods using Modified Rejection Sampling，BUS-MRS）應(yīng)用到監(jiān)測(cè)方案預(yù)后驗(yàn)分析中，以提高信息價(jià)值的計(jì)算效率。為此，本文首先介紹了邊坡穩(wěn)定監(jiān)測(cè)方案預(yù)后驗(yàn)分析方法，隨后介紹了基于BUSMRS 的信息價(jià)值計(jì)算方法和計(jì)算流程，最后用一個(gè)巖質(zhì)邊坡監(jiān)測(cè)方案風(fēng)險(xiǎn)決策算例證明了所提方法的可行性和有效性。

1 邊坡穩(wěn)定監(jiān)測(cè)預(yù)后驗(yàn)分析方法

1.1 監(jiān)測(cè)方案的預(yù)后驗(yàn)分析模型

基于預(yù)后驗(yàn)分析的邊坡穩(wěn)定監(jiān)測(cè)方案決策樹(shù)如圖1 所示。當(dāng)根據(jù)初始信息判斷邊坡的失效概率PF大于目標(biāo)失效概率PT時(shí)，則需判斷是否需要獲得額外的監(jiān)測(cè)信息進(jìn)行決策。在邊坡監(jiān)測(cè)方案風(fēng)險(xiǎn)決策中，首先需要確定可供選擇的監(jiān)測(cè)項(xiàng)目（如變形、孔隙水壓等）Dk（k=1，2，…，q，q是監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的數(shù)量）。隨后對(duì)監(jiān)測(cè)項(xiàng)目可能的觀測(cè)結(jié)果（即預(yù)后驗(yàn)信息）進(jìn)行預(yù)估。監(jiān)測(cè)項(xiàng)目Dk觀測(cè)值的概率分布表示為f（dk），dk，l（l=1，2，…，Nk）為可能的觀測(cè)結(jié)果。然后，通過(guò)貝葉斯更新方法計(jì)算觀測(cè)結(jié)果dk，l對(duì)應(yīng)的邊坡后驗(yàn)失效概率PF（dk，l）。當(dāng)后驗(yàn)失效概率PF（dk，l）＞PT時(shí)，則仍需加固，總費(fèi)用為監(jiān)測(cè)費(fèi)用Cm和加固費(fèi)用Cr之和；當(dāng)PF（dk，l）≤PT時(shí)，則不需要加固，總費(fèi)用僅為監(jiān)測(cè)費(fèi)用Cm。隨后，根據(jù)監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的可能觀測(cè)結(jié)果dk的分布f（dk）和可能觀測(cè)結(jié)果dk所對(duì)應(yīng)的信息價(jià)值計(jì)算監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的EVoI。進(jìn)行監(jiān)測(cè)方案風(fēng)險(xiǎn)決策時(shí)，EVoI與監(jiān)測(cè)費(fèi)用Cm的關(guān)系也可以用信息價(jià)值比Vr=EVoI/Cm表征。當(dāng)信息價(jià)值比Vr＞1，表示監(jiān)測(cè)信息產(chǎn)生的價(jià)值大于監(jiān)測(cè)費(fèi)用，可進(jìn)行監(jiān)測(cè)；當(dāng)Vr≤1 時(shí)，監(jiān)測(cè)費(fèi)用大于監(jiān)測(cè)產(chǎn)生的價(jià)值，則無(wú)需進(jìn)行監(jiān)測(cè)，應(yīng)直接進(jìn)行加固。

圖1 基于預(yù)后驗(yàn)分析的邊坡穩(wěn)定監(jiān)測(cè)方案決策樹(shù)模型Fig.1 Decision tree model of slope stability monitoring scheme based on pre-posterior analysis

由此可見(jiàn)，基于預(yù)后驗(yàn)分析的監(jiān)測(cè)方案風(fēng)險(xiǎn)決策中有兩個(gè)比較關(guān)鍵的步驟：第一，確定監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的預(yù)后驗(yàn)信息，即觀測(cè)結(jié)果的概率分布f（dk）；第二，求解監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的EVoI。

1.2 監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的預(yù)后驗(yàn)信息f（dk）

預(yù)后驗(yàn)分析中需要對(duì)監(jiān)測(cè)結(jié)果進(jìn)行預(yù)估，即確定監(jiān)測(cè)項(xiàng)目Dk的觀測(cè)結(jié)果dk的分布f（dk）。預(yù)后驗(yàn)信息f（dk）可以根據(jù)工程師或?qū)＜业慕?jīng)驗(yàn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，也可以通過(guò)監(jiān)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。當(dāng)通過(guò)監(jiān)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，監(jiān)測(cè)結(jié)果dk與邊坡穩(wěn)定性分析不確定性參數(shù)x之間的關(guān)系可表示為：

式中：εk為監(jiān)測(cè)項(xiàng)目模型誤差；Mk（x）為監(jiān)測(cè)項(xiàng)目Dk的監(jiān)測(cè)模型函數(shù)，表示輸入?yún)?shù)和監(jiān)測(cè)項(xiàng)目之間的響應(yīng)關(guān)系。

在邊坡穩(wěn)定監(jiān)測(cè)中，監(jiān)測(cè)模型函數(shù)常為數(shù)值分析模型（如有限元模型、有限差分模型等）。因此，將不確定性參數(shù)（如摩擦角?、黏聚力c和彈性模量E等）的初始分布f（x）的隨機(jī)樣本xl（l=1，2，…，Nk）為輸入變量，通過(guò)監(jiān)測(cè)模型函數(shù)Mk（x）計(jì)算樣本對(duì)應(yīng)監(jiān)測(cè)模型的響應(yīng)dk，l（l=1，2，…，Nk）。dk，l（l=1，2，…，Nk）服從分布f（dk），為監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的預(yù)后驗(yàn)信息。

1.3 監(jiān)測(cè)項(xiàng)目信息價(jià)值的期望EVoI

在邊坡穩(wěn)定監(jiān)測(cè)中，監(jiān)測(cè)項(xiàng)目Dk的觀測(cè)結(jié)果dk，l所產(chǎn)生的信息價(jià)值VoI為依據(jù)先驗(yàn)信息（即初始信息）做出決策的費(fèi)用與根據(jù)監(jiān)測(cè)結(jié)果dk，l做出決策的費(fèi)用之差：

式中：I［ ］為示性函數(shù)，當(dāng)PF（dk，l）＞PT時(shí)，I［PF（dk，l）＞PT］=1，即邊坡仍然需要加固，監(jiān)測(cè)信息帶來(lái)的價(jià)值為0；當(dāng)PF（dk，l）≤PT時(shí)，I［PF（dk，l）＞PT］=0，即邊坡無(wú)需加固，監(jiān)測(cè)信息帶來(lái)的價(jià)值為加固費(fèi)用Cr。

預(yù)后驗(yàn)分析中需考慮所有可能的監(jiān)測(cè)結(jié)果帶來(lái)的價(jià)值，即監(jiān)測(cè)項(xiàng)目信息價(jià)值的期望EVoI。根據(jù)貝葉斯理論，基于監(jiān)測(cè)信息dk和參數(shù)先驗(yàn)信息f（x），可獲得參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)為f（x|dk）。隨后可根據(jù)不確定性參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)f（x|dk）計(jì)算邊坡的后驗(yàn)失效概率PF（dk）。因此，基于MCS 根據(jù)預(yù)后驗(yàn)信息f（dk）計(jì)算監(jiān)測(cè)項(xiàng)目Dk的EVoI可以表示為：

式中：P（PF（dk）≤PT）為獲得監(jiān)測(cè)結(jié)果后的后驗(yàn)失效概率小于目標(biāo)失效概率的概率，表示監(jiān)測(cè)后不需要加固的概率；dk，l（l=1，2，…，Nk）為監(jiān)測(cè)變量dk的樣本，代表可能出現(xiàn)的觀測(cè)結(jié)果；Nk為樣本的總數(shù)。

基于預(yù)后驗(yàn)分析的邊坡穩(wěn)定監(jiān)測(cè)方案風(fēng)險(xiǎn)決策的一個(gè)難點(diǎn)是如何高效計(jì)算監(jiān)測(cè)項(xiàng)目Dk的一系列可能的觀測(cè)值dk，l（l=1，2，…，Nk）所對(duì)應(yīng)的邊坡后驗(yàn)失效概率PF（dk=dk，l）。為此，本文將BUS-MRS方法應(yīng)用于預(yù)后驗(yàn)分析，以提高計(jì)算EVoI的效率。

2 基于BUS-MRS的預(yù)后驗(yàn)分析計(jì)算方法

2.1 基于結(jié)構(gòu)可靠度的貝葉斯更新方法

Straub 和Papaioannou［11］提出了基于結(jié)構(gòu)可靠度的貝葉斯更新方法BUS，將貝葉斯更新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可靠度求解問(wèn)題，被擴(kuò)展到求解貝葉斯更新中不確定性參數(shù)的后驗(yàn)分布。BUS 中構(gòu)造的附加失效區(qū)域記為Ωl，表示給定觀測(cè)值dl時(shí)監(jiān)測(cè)模型函數(shù)對(duì)應(yīng)的失效區(qū)域：

式中：cu是一個(gè)常數(shù)用于保證cuL（x|dl）≤1，可取1/L（x|dl）的最大值，即cu=；u是隨機(jī)變量，服從0 到1 的均勻分布，且與模型不確定性參數(shù)x相互獨(dú)立。初始分布f（x）的隨機(jī)樣本中落入到監(jiān)測(cè)模型函數(shù)失效區(qū)域Ωl的樣本（接受樣本）服從后驗(yàn)分布f（x|dl）。換而言之，服從后驗(yàn)分布f（x|dl）的樣本可以通過(guò)式（4）從先驗(yàn)分布f（x）的樣本中選取。在拒絕抽樣方法中，通過(guò)蒙特卡羅模擬（MCS）產(chǎn)生Nmcs個(gè)服從分布f（x）的樣本xi（i=1，2，…，Nmcs）（即初始樣本）和Nmcs個(gè)u的樣本ui（i=1，2，…，Nmcs），如果ui≤cuL（xi|dl），樣本xi落入到監(jiān)測(cè)模型失效區(qū)域，并接受為d=dl的條件樣本，記為xj。通過(guò)這種方式，Na，l（Na，l＜Nmcs）個(gè)服從后驗(yàn)分布f（x|dl）的條件樣本被選中?；谏鲜鲈季芙^抽樣（Ori?gnal Rejection Sampling，ORS）的貝葉斯更新方法產(chǎn)生后驗(yàn)分布f（x|dl）的條件樣本xj（j=1，2，…，Na，l）可用于計(jì)算邊坡的后驗(yàn)失效概率PF（d=dl）：

利用基于ORS 的貝葉斯更新方法計(jì)算邊坡的后驗(yàn)失效概率需要根據(jù)不同的監(jiān)測(cè)結(jié)果dl（l=1，2，…，Nd）重新執(zhí)行MCS 產(chǎn)生初始樣本再選擇條件樣本，然后根據(jù)條件樣本計(jì)算邊坡的后驗(yàn)失效概率。因此，在邊坡監(jiān)測(cè)方案風(fēng)險(xiǎn)決策中，需要對(duì)于Nd個(gè)觀測(cè)結(jié)果需要執(zhí)行Nd次MCS，那么總的計(jì)算量則包含Nmcs×Nd次監(jiān)測(cè)模型函數(shù)M（x）和次功能函數(shù)g（x）的計(jì)算，可見(jiàn)計(jì)算量非常大，而且計(jì)算效率會(huì)隨著監(jiān)測(cè)模型函數(shù)和功能函數(shù)的求解復(fù)雜程度的增加而降低。

2.2 基于改進(jìn)拒絕抽樣的貝葉斯更新方法

為解決上述計(jì)算量大、計(jì)算效率低的問(wèn)題，Li［12］等提出了基于改進(jìn)拒絕抽樣的貝葉斯更新方法（BUS-MRS），在拒絕抽樣中從同一套初始樣本中選擇不同觀測(cè)值dl所對(duì)應(yīng)的條件樣本。監(jiān)測(cè)項(xiàng)目D的觀測(cè)值dl變化后，似然函數(shù)的值會(huì)變化，條件樣本也會(huì)變化，但初始樣本x獨(dú)立于dl，因此可從同一套初始樣本中選擇不同觀測(cè)值dl對(duì)應(yīng)的一套條件樣本，避免了針對(duì)不同dl重復(fù)執(zhí)行MCS 模擬產(chǎn)生新的初始樣本和計(jì)算樣本對(duì)應(yīng)模型函數(shù)和功能函數(shù)的響應(yīng)，從而提高了計(jì)算后驗(yàn)失效概率的效率。為了減少接受條件樣本的隨機(jī)波動(dòng)，改進(jìn)拒絕抽樣（Modified Re?jection Sampling，MRS）通過(guò)在相同的初始樣本空間中重新執(zhí)行Nr次拒絕抽樣以增加接受樣本的數(shù)量，從而提高計(jì)算邊坡后驗(yàn)失效概率的穩(wěn)健性。在MRS中，每次運(yùn)行拒絕抽樣都產(chǎn)生一組服從后驗(yàn)概率密度函數(shù)f（x|dl）的條件樣本Ωl，m（m=1，2，…..，Nr），則Nr次運(yùn)行拒絕抽樣獲得條件樣本的集合Ωall=｛Ωl，1，Ωl，2，…，Ωl，Nr｝也服從后驗(yàn)概率密度函數(shù)f（x|dl）。采用BUS-MRS 計(jì)算后驗(yàn)失效概率PF（d=dl）可以表示為：

式中：xm，j是MRS 中第m（m=1，2，…..，Nr）次執(zhí)行ORS 接受的樣本；是第m次模擬中接受樣本的數(shù)量；是MRS中接受條件樣本的總數(shù)。在MRS 中，初始樣本xi（i=1，2，…，Nmcs）在重復(fù)執(zhí)行ORS中保持不變，樣本xi是否會(huì)被接受將被Nr個(gè)ui判斷Nr次，則初始樣本xi被接受的次數(shù)從ORS 中的cuL（xi|dl）增加到MRS中的cuL（xi|dl）×Nr。隨著Nr增加，xi被接受為條件樣本的頻數(shù)收斂于cuL（xi|dl）×Nr。因此，初始樣本是否會(huì)被接受的隨機(jī)波動(dòng)在MRS 中會(huì)隨著Nr的增大而減小。相應(yīng)地，Ωall中的樣本隨著Nr的增加而增加，并收斂于條件樣本數(shù)量的增加和條件樣本隨機(jī)波動(dòng)的減少都有助于提高計(jì)算后驗(yàn)失效概率PF（d=dl）的穩(wěn)健性。由于初始樣本xi和其似然函數(shù)L（xi|dl）的響應(yīng)是固定不變的，在Nr次運(yùn)行ORS 中無(wú)需重新計(jì)算，MRS 方法重新執(zhí)行ORS方法的計(jì)算量可以忽略不計(jì)。

2.3 基于BUS-MRS的信息價(jià)值計(jì)算方法

當(dāng)利用BUS-MRS 計(jì)算監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的EVoI時(shí)，由于無(wú)需重新產(chǎn)生初始樣本以及計(jì)算初始樣本監(jiān)測(cè)模型函數(shù)的響應(yīng)，能夠高效地求解監(jiān)測(cè)項(xiàng)目一系列可能觀測(cè)值所對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)失效概率，從而提高計(jì)算EVoI的效率?；贐US-MRS計(jì)算給定監(jiān)測(cè)項(xiàng)目Dk的觀測(cè)結(jié)果dk，l條件下邊坡的后驗(yàn)失效概率可以表示為PF（dk=dk，l）：

式中：xm，j是改進(jìn)拒絕抽樣中接受的樣本；Nma是第m次接受樣本的數(shù)量；NTa是接受的樣本的總數(shù)。

將式（7）帶入式（3），監(jiān)測(cè)項(xiàng)目Dk信息價(jià)值的期望EVoI可以表示為：

如圖2所示，利用BUS-MRS方法進(jìn)行邊坡監(jiān)測(cè)方案風(fēng)險(xiǎn)決策主要包括以下步驟：

圖2 基于BUS-MRS的監(jiān)測(cè)方案預(yù)后驗(yàn)分析計(jì)算流程圖Fig.2 Implementation procedure of the proposed BUS-MRS based pre-posterior analysis

（1）利用MCS產(chǎn)生Nk個(gè)服從參數(shù)初始分布f（x）的樣本xl（l=1，2，…，Nk）；

（2）根據(jù)監(jiān)測(cè)模型函數(shù)式（1）計(jì)算參數(shù)初始分布樣本所對(duì)應(yīng)的監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的觀測(cè)結(jié)果dk，l，dk，l為服從預(yù)后驗(yàn)信息f（dk）的樣本；

（3）根據(jù)BUS-MRS（即圖2中的虛線方框部分）計(jì)算監(jiān)測(cè)項(xiàng)目觀測(cè)值dk，l（l=1，2，…，Nk）所對(duì)應(yīng)的失效概率PF（dk=dk，l）；

（4）根據(jù)式（8）計(jì)算監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的EVoI；

（5）重復(fù)上述步驟（2）～（4），直到計(jì)算完所有監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的EVoI；

（6）計(jì)算各個(gè)監(jiān)測(cè)方案的信息價(jià)值比對(duì)監(jiān)測(cè)方案進(jìn)行決策。

在上述計(jì)算過(guò)程中，步驟（1）和步驟（3）中都需要利用不確定性參數(shù)初始分布f（x）的樣本。由于在邊坡監(jiān)測(cè)方案中，監(jiān)測(cè)模型復(fù)雜，為了節(jié)省計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中步驟（1）和步驟（3）可采用相同的樣本。上述做法雖會(huì)產(chǎn)生一定的相關(guān)性，但是對(duì)EVoI計(jì)算結(jié)果的影響很小。

3 邊坡穩(wěn)定監(jiān)測(cè)方案風(fēng)險(xiǎn)決策算例

3.1 邊坡確定性分析模型

下面將以文獻(xiàn)［13］中的巖質(zhì)邊坡為例說(shuō)明本文方法的有效性。如圖3 所示，巖質(zhì)邊坡高度為H=12 m，傾角60°，邊坡內(nèi)存在一條從坡腳開(kāi)始以35°傾角向上延伸的結(jié)構(gòu)面，在Z=4.35 m深處與垂直拉伸裂縫相交。張拉裂縫頂部與坡頂之間的距離為4 m。rw=Zw/Z表征地下水深度用比率。巖體黏聚力為67 kPa，摩擦角為40°，容重為26 kN/m3，彈性模量為5.0 GPa，泊松比為0.25。軟弱結(jié)構(gòu)面巖體的重度為γJ=26 kN/m3，泊松比為0.3。軟弱結(jié)構(gòu)面的彈性模量E、黏聚力c、摩擦角?以及坡頂荷載p、地下水比率rw視為隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特征值和分布類(lèi)型見(jiàn)表1。該邊坡上施加了為4 排預(yù)應(yīng)力錨桿，鋼筋直徑為28 mm，橫、縱向間距均為2.5 m。錨桿與節(jié)理面法線的夾角為35°，深入節(jié)理面后的有效長(zhǎng)度為4 m。錨桿楊氏模量為200 GPa、屈服應(yīng)力為σt=400 MPa，錨桿的拉伸屈服力為246 kN。分別選取A、B、C、D 四個(gè)點(diǎn)（如圖3 所示）的水平位移（即HA、HB、HC、HD）和豎直位移（VA、VB、VC、VD）為監(jiān)測(cè)項(xiàng)目。

表1 巖質(zhì)邊坡的隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征Tab.1 Statistics of random variables in the rock slope

圖3 巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性分析示意圖Fig.3 Stability model for the rock slope

采用有限差分法分析軟件FLAC 對(duì)巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行分析，巖體和軟弱結(jié)構(gòu)面采用實(shí)體單元模擬，共有782 個(gè)單元，地下水用水位線Table 單元模擬，錨桿用Cable 單元模擬，采用理想彈塑性模型和摩爾-庫(kù)倫屈服準(zhǔn)則。需要指出，為了更好地和文獻(xiàn)［13］進(jìn)行對(duì)比，本文采用了與其保持一致的理想彈塑性模型，在具體工程中可以根據(jù)實(shí)際情況采用更合理的本構(gòu)模型，并不影響本文提出的風(fēng)險(xiǎn)決策方法。采用強(qiáng)度折減法計(jì)算巖質(zhì)邊坡的安全系數(shù)，參數(shù)取均值時(shí)計(jì)算邊坡位移如圖4（a）所示，其中最大合位移約為7 mm，計(jì)算邊坡抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)FS為1.14［圖4（b）所示］。

圖4 有限差分模型計(jì)算巖質(zhì)邊坡的位移和安全系數(shù)Fig.4 Finite difference model for displacement and safety factor of the rock slope

本文采用非侵入式隨機(jī)有限差分方法［14］對(duì)邊坡穩(wěn)定進(jìn)行可靠度分析。計(jì)算過(guò)程如下，根據(jù)參數(shù)的初始分布（見(jiàn)表1），利用MATLAB 軟件產(chǎn)生不確定性參數(shù)的隨機(jī)樣本，然后利用MATLAB 調(diào)用FLAC 軟件逐一計(jì)算隨機(jī)樣本（即模型的輸入?yún)?shù)）對(duì)應(yīng)的邊坡抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)FS，最后在MATLAB 中進(jìn)行可靠度分析。假定FS計(jì)算的模型誤差εg服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為0.05 的正態(tài)分布。邊坡穩(wěn)定分析的功能函數(shù)為g（x）=FS（x）-1+εg。根據(jù)表1 參數(shù)的初始分布利用MCS 方法（樣本數(shù)為1.5萬(wàn)個(gè)）計(jì)算邊坡的失效概率為25.5%，與文獻(xiàn)［13］計(jì)算的失效概率24.9%相近。

該邊坡的規(guī)模較小，邊坡目標(biāo)失效概率可取PT=1%。根據(jù)參數(shù)的初始信息計(jì)算邊坡穩(wěn)定的初始失效概率為PF=25.5%大于目標(biāo)失效概率，不滿足設(shè)計(jì)要求，需在原設(shè)計(jì)方案基礎(chǔ)上對(duì)邊坡進(jìn)行加固。在此，考慮是否對(duì)邊坡進(jìn)行監(jiān)測(cè)，然后再做是否加固的決策。為此，本文考慮以4 個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)A、B、C、D 的水平位移（HA、HB、HC、HD）和豎直位移（VA、VB、VC、VD）等8 個(gè)監(jiān)測(cè)項(xiàng)目進(jìn)行監(jiān)測(cè)方案的預(yù)后驗(yàn)分析。加固費(fèi)用和監(jiān)測(cè)費(fèi)用的比例為Fr=Cr/Cm，由于該算例為并非實(shí)際工程，在此假設(shè)Fr=100。

3.2 預(yù)后驗(yàn)決策分析

在預(yù)后驗(yàn)分析中，首先需要確定監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的預(yù)后驗(yàn)信息。此算例中通過(guò)參數(shù)的初始分布和監(jiān)測(cè)模型函數(shù)對(duì)監(jiān)測(cè)結(jié)果進(jìn)行估計(jì)。其具體計(jì)算過(guò)程如下，首先根據(jù)參數(shù)的初始分布（見(jiàn)表1）產(chǎn)生1.5 萬(wàn)個(gè)樣本，然后利用非侵入式隨機(jī)有限差分方法調(diào)用FLAC 位移計(jì)算模型（即監(jiān)測(cè)模型）分別自動(dòng)求解1.5 萬(wàn)個(gè)樣本在A、B、C、D 的水平和豎直方向的位移。每個(gè)監(jiān)測(cè)變量可以獲得1.5 萬(wàn)個(gè)監(jiān)測(cè)位移值，這1.5 萬(wàn)個(gè)監(jiān)測(cè)值即為監(jiān)測(cè)位移預(yù)后驗(yàn)分布的等效樣本，用于代表監(jiān)測(cè)位移的預(yù)后驗(yàn)信息。

確定預(yù)后驗(yàn)信息后，需計(jì)算預(yù)后驗(yàn)信息的樣本（即監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的觀測(cè)值）所對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)失效概率。圖5給出了所提的BUSMRS方法計(jì)算HB不同觀測(cè)值所對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)失效概率?？梢?jiàn)，邊坡的后驗(yàn)失效概率隨著HB值的增加增長(zhǎng)了近3 個(gè)數(shù)量級(jí)，表明邊坡開(kāi)挖后的監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的位移越大，邊坡的安全性越低。BUSMRS 中考慮Nr分別取1、10 和100 的3 種情況，3 種情況的計(jì)算結(jié)果較為一致。當(dāng)Nr=1 時(shí)，即原始拒絕抽樣，計(jì)算后驗(yàn)失效概率的離散性比較大，尤其是在失效概率較小的區(qū)域（如＜10-2）。隨著Nr從1 增加到100，后驗(yàn)失效概率計(jì)算結(jié)果基本趨于穩(wěn)定。證明改進(jìn)拒絕抽樣方法通過(guò)在初始樣本空間重復(fù)選擇監(jiān)測(cè)結(jié)果對(duì)應(yīng)的條件樣本，能夠提高計(jì)算后驗(yàn)失效概率的穩(wěn)健性。

圖5 監(jiān)測(cè)位移HB不同觀測(cè)值的后驗(yàn)失效概率Fig.5 Posterior failure probabilities with different monitoring displacement

根據(jù)監(jiān)測(cè)的可能觀測(cè)結(jié)果和觀測(cè)結(jié)果對(duì)應(yīng)的失效概率，可以計(jì)算信息價(jià)值的期望。本算例采用信息價(jià)值比Vr=EVoI/Cm表征監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的潛在收益。圖6 給出了8 個(gè)監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的信息價(jià)值比?？梢?jiàn)所有監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的Vr都大于1，因此對(duì)任何一個(gè)監(jiān)測(cè)項(xiàng)目實(shí)施監(jiān)測(cè)獲得的信息價(jià)值都大于監(jiān)測(cè)的成本。在這8個(gè)監(jiān)測(cè)項(xiàng)目中，HB對(duì)應(yīng)的Vr最大，因此對(duì)坡腳水平位移HB進(jìn)行監(jiān)測(cè)在信息價(jià)值的角度上最為合理。

圖6 不同監(jiān)測(cè)項(xiàng)目的信息價(jià)值比Fig.6 EVoI for different monitoring parameters

4 結(jié)論

本文建立了基于預(yù)后驗(yàn)分析的邊坡穩(wěn)定監(jiān)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)決策模型。針對(duì)預(yù)后驗(yàn)分析中信息價(jià)值計(jì)算效率低的問(wèn)題，提出的基于改進(jìn)拒絕抽樣貝葉斯更新方法BUS-MRS 的能夠有效提高監(jiān)測(cè)項(xiàng)目信息價(jià)值期望的計(jì)算效率。主要結(jié)論如下：

（1）在預(yù)后驗(yàn)分析中，BUS-MRS 能夠高效地計(jì)算監(jiān)測(cè)項(xiàng)目一系列可能觀測(cè)值的后驗(yàn)失效概率，提高了基于預(yù)后驗(yàn)分析的邊坡監(jiān)測(cè)方案風(fēng)險(xiǎn)決策方法的實(shí)用性和適用性。

（2）巖質(zhì)邊坡監(jiān)測(cè)算例表明，所提方法能夠有效地識(shí)別最大信息價(jià)值對(duì)應(yīng)的最優(yōu)監(jiān)測(cè)方案，從信息價(jià)值的角度為邊坡監(jiān)測(cè)方案的優(yōu)化決策提供了新思路。算例中對(duì)坡腳的水平位移監(jiān)測(cè)能夠獲得最大的信息價(jià)值。