師范類專業(yè)認(rèn)證背景下“常微分方程”課程教學(xué)改革探討

◇信陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 周學(xué)勇

分析師范類專業(yè)認(rèn)證背景下常微分方程課程教學(xué)存在的問題，根據(jù)師范類專業(yè)認(rèn)證理念以及數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范類）培養(yǎng)目標(biāo)，對微分方程課程的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、課程評價方式等方面的改革進(jìn)行了探究。注重常微分方程與初等數(shù)學(xué)的融合、案例分析融入課程教學(xué)、“課程思政”融入課堂，采用線上線下混合式教學(xué)，改革對學(xué)生學(xué)習(xí)的評價方式，以提高師范生的綜合素質(zhì)，達(dá)到培養(yǎng)骨干教師的目標(biāo)。

1 引言

2017年10月，教育部印發(fā)了《普通高等學(xué)校師范類專業(yè)認(rèn)證實(shí)施辦法（暫行）》，發(fā)布國家認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)，分級分類開展師范類專業(yè)認(rèn)證。師范類專業(yè)認(rèn)證以“學(xué)生中心、產(chǎn)出導(dǎo)向、持續(xù)改進(jìn)”為基本理念[1]。師范類專業(yè)認(rèn)證（中學(xué)教育第二級）圍繞“培養(yǎng)目標(biāo)”“畢業(yè)要求”“課程與教學(xué)”“合作與實(shí)踐”“師資隊(duì)伍”“支持條件”“質(zhì)量保障”“學(xué)生發(fā)展”等8個一級指標(biāo)和39個二級指標(biāo)開展。師范類專業(yè)認(rèn)證對任課教師提出了新的要求[2]：要參與任教專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)的制定，能夠熟知專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)與畢業(yè)要求；基于畢業(yè)要求，了解本專業(yè)課程設(shè)置和結(jié)構(gòu)，熟練掌握課程目標(biāo)對畢業(yè)要求的支撐關(guān)系；根據(jù)畢業(yè)要求設(shè)定自己所承擔(dān)課程的課程目標(biāo)及其對畢業(yè)要求的支撐；根據(jù)設(shè)定的課程目標(biāo)，確立課程內(nèi)容和教學(xué)環(huán)節(jié)；根據(jù)課程特點(diǎn)、課程目標(biāo)、學(xué)情、教學(xué)內(nèi)容等靈活設(shè)立有針對性的課程考核方式；在教學(xué)實(shí)施中，堅(jiān)持過程性評價和結(jié)果性評價相統(tǒng)一且指向課程目標(biāo)的達(dá)成；有具體可行的、基于課程評價的課程持續(xù)改進(jìn)方案并實(shí)施等。

常微分方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范類）（以下簡稱數(shù)學(xué)師范專業(yè)）的必修課程，也是專業(yè)核心課程。常微分方程表述自然科學(xué)和社會科學(xué)中各種基本規(guī)律的根本工具之一，也是數(shù)學(xué)與實(shí)際問題建立聯(lián)系的重要手段之一。根據(jù)常微分方程課程內(nèi)容、在數(shù)學(xué)師范專業(yè)中的地位作用、培養(yǎng)目標(biāo)、畢業(yè)要求與師范類專業(yè)認(rèn)證理念、學(xué)生學(xué)情等要素，確定信陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)師范專業(yè)常微分方程課程的課程目標(biāo)。根據(jù)常微分方程課程內(nèi)容、課程目標(biāo)和信陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)師范專業(yè)畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)的內(nèi)涵，確定課程目標(biāo)對畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)的對應(yīng)支撐關(guān)系。

2 《常微分方程》課程教學(xué)中存在的問題

以學(xué)生發(fā)展為中心的認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)要求要求教學(xué)模式要從以“教”為中心向以“學(xué)”為中心轉(zhuǎn)變，要求遵循師范生成才成長規(guī)律，要求專業(yè)把培養(yǎng)目標(biāo)和全體學(xué)生的畢業(yè)要求達(dá)成情況作為評價的核心。基于產(chǎn)出導(dǎo)向的教育（Outcome Based Education，英文縮寫OBE）關(guān)注師范生“學(xué)到了什么”和“能做什么”。因此，在面向基礎(chǔ)教育改革發(fā)展需求方面，數(shù)學(xué)師范生的人才培養(yǎng)需要按照數(shù)學(xué)師范專業(yè)畢業(yè)要求科學(xué)合理設(shè)置課程體系和教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建起全新的課堂教學(xué)模式。然而原來的常微分方程課程并不能滿足這些要求，主要存在以下幾個方面的問題。

2.1 課程教學(xué)內(nèi)容沒有考慮與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的銜接

2020年版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個方面數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3]。培養(yǎng)中學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)需要數(shù)學(xué)教師具備較強(qiáng)的邏輯推理能力、理性思考和問題解決能力等，這要求在數(shù)學(xué)師范生培養(yǎng)中要潛移默化地將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融入課程教學(xué)?！冻Ｎ⒎址匠獭氛n程在培養(yǎng)師范生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)方面發(fā)揮重要作用。然而，目前數(shù)學(xué)師范專業(yè)《常微分方程》課程使用的教材和課堂教學(xué)中并未體現(xiàn)該特點(diǎn)，課程一開始就直接進(jìn)入微分方程的定義教學(xué)，并沒有把中學(xué)所學(xué)的代數(shù)方程的定義及其解決問題的方法作為切入點(diǎn)進(jìn)行引入，與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的脫節(jié)問題凸顯。另外，教師在《常微分方程》課程授課過程中也沒有注意課程內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的銜接。

2.2 教學(xué)內(nèi)容比較陳舊，教學(xué)模式相對單一

由于學(xué)時限制，在《常微分方程》教學(xué)中，教師過多重視一階微分方程、高階微分方程、線性微分方程組的解法、一階微分方程的解的存在定理和非線性微分方程穩(wěn)定性等理論的教學(xué)，很少將常微分方程在自然科學(xué)和社會科學(xué)中應(yīng)用的最新成果引入課堂，教學(xué)內(nèi)容比較陳舊。在課堂教學(xué)中，大多數(shù)任課教師仍舊照本宣科，采用傳統(tǒng)的填鴨式教學(xué)，學(xué)生對知識還是被動的接受者，而不是積極主動的學(xué)習(xí)者、思考者、探究者，這與師范類專業(yè)認(rèn)證中的“學(xué)生中心”理念相違背。

2.3 課程考核和評價方式較單一

專業(yè)認(rèn)證前，《常微分方程》課程雖然采用平時成績（占30%）+期末考試成績（占70%）的方式進(jìn)行評價，但是平時成績占比較少，僅采用作業(yè)、考勤等方式，方式單一，不注重“學(xué)生中心、產(chǎn)出導(dǎo)向”，輕視過程性考核。試卷分析僅針對考試情況進(jìn)行分析，缺少課程目標(biāo)達(dá)成情況分析。另外，為了開展師范專業(yè)認(rèn)證工作，認(rèn)證前專業(yè)對課程教學(xué)大綱進(jìn)行了重新修訂。但是新修訂的課程大綱在實(shí)施中，課程體系合理性和課程目標(biāo)達(dá)成度的定期評價方面尚未開展起來，有的評價中雖然有學(xué)生的參與，但學(xué)生的主體性發(fā)揮并不到位，評價與修訂過程利益相關(guān)方參與不夠，影響課程評價的效果。

3 常微分方程教學(xué)改革與實(shí)踐

以信陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)師范專業(yè)《常微分方程》課程為具體實(shí)施對象，以師范類專業(yè)認(rèn)證理念為抓手來推動數(shù)學(xué)師范專業(yè)課堂教學(xué)改革，將師范類專業(yè)認(rèn)證理念和標(biāo)準(zhǔn)落實(shí)到日常教學(xué)活動中，不斷改進(jìn)教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)方法，持續(xù)提高課堂教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)師范生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)，具體教學(xué)改革措施如下。

3.1 教學(xué)內(nèi)容注重與中學(xué)數(shù)學(xué)的融合，體現(xiàn)與師范認(rèn)證要求的統(tǒng)一

方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容，包括代數(shù)方程（整式方程、分式方程和根式方程）、函數(shù)方程等。常微分方程也是方程，是代數(shù)方程、函數(shù)方程的自然引伸和發(fā)展。它與代數(shù)方程、函數(shù)方程聯(lián)系密切，傳承了中學(xué)代數(shù)方程的一些本質(zhì)特征，在研究內(nèi)容、方法上有許多相似之處。但同時它們之間又存在著許多本質(zhì)上的差異。在《常微分方程》課程教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)緊緊地抓住這個特點(diǎn)，從提出問題、分析問題、解決問題、歸納問題等方面始終注意與中學(xué)數(shù)學(xué)中的方程進(jìn)行聯(lián)系和比較。

例如水池注水問題：一個水池，裝有一個進(jìn)水管和一個放水管。單開進(jìn)水管3小時可將空水池注滿，單開放水管4小時可將水池排空?，F(xiàn)兩管同時放、進(jìn)水，問多少小時才能把水池注滿？

我們可以利用初等數(shù)學(xué)思想和微分方程思想分別對該問題進(jìn)行解答。

微分方程思想解法：實(shí)際上，進(jìn)水量可以是衡定的，而排水量會隨水位下降不斷減少。首先給出模型假設(shè)：注水速度是勻速的、水從池底大小一定的出水孔流出。設(shè)水池高度為水位高度為，則可建立如下微分方程：

利用微分方程解決水池注水問題不僅能直接解答特殊問題，還能通過對一般問題的解決最終解釋事物的本質(zhì)，加強(qiáng)了學(xué)生對代數(shù)方程和常微分方程間的內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識。

用常微分方程定義初等函數(shù)能比較直接地反映出該函數(shù)所描述的運(yùn)動過程的某種本質(zhì)屬性。如一階微分方程初值問題的解定義指數(shù)函數(shù)可以從整體上揭示出指數(shù)函數(shù)反映的是物質(zhì)運(yùn)動的位移在時刻的變化率與該時刻的量成正比的變化規(guī)律。這比中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的指數(shù)函數(shù)的定義更具有優(yōu)越性，也建立了中學(xué)數(shù)學(xué)與常微分方程的聯(lián)系，促進(jìn)了數(shù)學(xué)師范生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

3.2 案例分析融入課程教學(xué)，培養(yǎng)師范生合作交流與實(shí)踐動手能力

在傳統(tǒng)教學(xué)中，我們往往注重微分方程（組）的解法、解的存唯一性定理、解的延拓定理等理論部分的教學(xué)，而微分方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用鮮有涉足。這使得課堂枯燥、無趣，讓學(xué)生覺得理論知識與實(shí)際相距甚遠(yuǎn)，從而挫敗了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。我們知道，常微分方程在生物、物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。將教材中經(jīng)典的“探照燈鏡面形狀問題”“降落傘下降問題”“人造衛(wèi)星發(fā)射速度問題”[4]以及熱點(diǎn)的“傳染病傳播”“生態(tài)-流行病”“化學(xué)反應(yīng)”“經(jīng)濟(jì)”等問題作為案例，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想。課后，讓學(xué)生建立相關(guān)常微分方程模型并利用數(shù)學(xué)軟件求解微分方程來解決實(shí)際問題，培養(yǎng)師范生的合作交流與實(shí)踐動手能力，培養(yǎng)師范生從數(shù)學(xué)的角度描述社會和自然現(xiàn)象能力，體會數(shù)學(xué)的奧秘。

3.3 思政元素融入專業(yè)教學(xué)課堂，培養(yǎng)師范生的教育情懷

《常微分方程》課程中蘊(yùn)含大量思政元素，為培養(yǎng)師范生的教育情懷，建議教師深挖課程中的“思政元素”，將課程中豐富的思政元素與課程內(nèi)容有機(jī)融合。例如，在緒論中講解微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展史，教育學(xué)生要有科學(xué)探索，勇于鉆研的奮進(jìn)。通過講解牛頓、萊布尼茲、伯努利、黎卡提等科學(xué)家的故事，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感、端正學(xué)習(xí)態(tài)度和樹立正確的數(shù)學(xué)價值觀。在講緒論和第六章時，筆者引入新冠肺炎傳播的微分方程模型[5]。介紹該模型的動力學(xué)性質(zhì)和在疫情防控方面的作用，讓學(xué)生領(lǐng)略微分方程建模在新冠肺炎疫情防控中的作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3.4 以學(xué)生發(fā)展為中心，開展線上線下混合式教學(xué)

線上線下混合式教學(xué)模式是利用現(xiàn)代信息技術(shù)把傳統(tǒng)課堂教學(xué)的優(yōu)勢和網(wǎng)絡(luò)在線教學(xué)的優(yōu)勢結(jié)合起來的教學(xué)方法。為了從時間和空間上延展教學(xué)，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)自主性，實(shí)現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為中心的目標(biāo)，常微分方程課程構(gòu)建了“兩角色（教師、學(xué)生）三階段（課前、課中、課后）”的線上線下混合式教學(xué)模式。

（1）課前準(zhǔn)備階段。利用超星學(xué)習(xí)通平臺建設(shè)課程，為學(xué)生自主學(xué)習(xí)提供重要的途徑。開課前做好常微分方程課程整體設(shè)計(jì)，在學(xué)習(xí)通課程平臺上搭建課程整體框架。選用北京師范大學(xué)袁榮的《常微分方程》MOOC視頻或錄制的視頻作為線上資源。每次上課前，提前兩周將課件、課程視頻、電子教材、討論問題等上傳到平臺，將學(xué)習(xí)任務(wù)及討論的問題提前發(fā)給學(xué)生。學(xué)生帶著問題自主觀看學(xué)習(xí)視頻，并分組討論線上學(xué)習(xí)所產(chǎn)生的問題，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

（2）課堂教學(xué)階段。課堂教學(xué)采用線下授課，教師重點(diǎn)講解學(xué)生前期觀看課程視頻時遇到的問題及相應(yīng)的知識點(diǎn)，采用隨機(jī)提問、分組討論、學(xué)生上臺講解等方式，實(shí)施“問題解決式”的翻轉(zhuǎn)教學(xué)模式，鍛煉學(xué)生課堂教學(xué)能力。

（3）課后提升階段。課堂教學(xué)結(jié)束后，教師在學(xué)習(xí)通發(fā)布作業(yè)，限定同學(xué)提交作業(yè)時間，并在同學(xué)提交后認(rèn)真批改，通過批改作業(yè)，能掌握學(xué)生們對課堂知識的理解程度。在討論區(qū)發(fā)布優(yōu)秀同學(xué)作業(yè)，方便同學(xué)參照修改。同時主題討論完區(qū)發(fā)布問題，同學(xué)們有問題也可以在問答區(qū)提問，教師進(jìn)行在線答疑。

3.5 建立促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的學(xué)業(yè)評價體系，持續(xù)改進(jìn)教學(xué)

積極探索課程考試方式改革，在考試內(nèi)容和形式上努力做到與課程“高階性”“創(chuàng)新性”和“挑戰(zhàn)度”相匹配，強(qiáng)化“結(jié)果”+“過程”多元性評價與“個體”+“小組”過程性評價相結(jié)合，實(shí)施全過程學(xué)業(yè)評價考核（見圖1）。線上線下各類測試有區(qū)分度、難易適度，能科學(xué)考評學(xué)生自主學(xué)習(xí)與個性化學(xué)習(xí)效果，同時將學(xué)生的學(xué)習(xí)行為規(guī)范納入到平時考核中，引導(dǎo)學(xué)生誠實(shí)自主學(xué)習(xí)。

（1）“結(jié)果”+“過程”多元性評價。綜合評價由“結(jié)果性評價”和“過程性評價”組成。將個體、小組和教師融為一體，充分體現(xiàn)評價主體的多元化，提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，具體組成如圖1所示。

圖1 《常微分方程》課程評價考核方式

（2）“個體”+“小組”過程性評價。過程性評價由“個體”+“小組”評價相結(jié)合。在觀看視頻、章節(jié)檢測、作業(yè)及作業(yè)互評等進(jìn)行“個體”單獨(dú)評價。在主題討論、小組研課、數(shù)學(xué)建模、課堂互動進(jìn)行“小組”整體評價，將小組成員融為一體，互助學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)積極性。

4 結(jié)束語

本文以數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范類）的專業(yè)基礎(chǔ)課常微分方程為例，分析了《常微分方程》課程教學(xué)存在的問題，基于師范類專業(yè)認(rèn)證，在常微分方程與初等數(shù)學(xué)的融合、案例分析融入課程教學(xué)、“課程思政”融入課堂、線上線下混合式教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的評價方式等方面對《常微分方程》課程教學(xué)進(jìn)行改革。希望通過教學(xué)改革增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，改善教學(xué)效果，提高師范生的綜合素質(zhì)，達(dá)到培養(yǎng)“四有”好教師的目的。