交換環(huán)上的w*-模

陶蘊(yùn)芝，王芳貴，李建鴻

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610066)

1997年王芳貴和R.L.Mclaslan[1]引入了整環(huán)上的w-模的概念,使得整環(huán)上的星型算子理論在模范疇發(fā)揮了重要作用。自然地,人們希望這樣的做法能用于一般交換環(huán)上。2011年,尹華玉等人[2]用Hom與Ext函子把整環(huán)上的w-模理論推廣到了一般交換環(huán)上,這使得w-模理論更能適用于一般交換環(huán)中,因而受到了眾多學(xué)者們的廣泛關(guān)注與研究。眾多學(xué)者們用交換環(huán)上的w-模理論對(duì)一些經(jīng)典環(huán)模類概念進(jìn)行推廣刻畫,例如w-Noether環(huán)w-凝聚環(huán)等。在許多情形,人們通常以R的完全商環(huán)T(R)(設(shè)S是R的所有非零因子構(gòu)成的乘法封閉集，記T(R)=RS，稱之為R的完全商環(huán))的行為來(lái)代替整環(huán)時(shí)商域的行為,用正則理想代替整環(huán)的非零理想。本文嘗試考慮只用正則w-理想來(lái)刻畫環(huán)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。為此,我們提出了w*-模的概念,定義了模的w*-包絡(luò),建立交換環(huán)上w*-模理論。進(jìn)而給出w-Noether環(huán)和SM環(huán)的一些新的刻畫。

Noether環(huán)是指每個(gè)理想是有限生成的環(huán),學(xué)者們?cè)谖墨I(xiàn)[3-10]中都有對(duì)Noether環(huán)進(jìn)行研究推廣,它是應(yīng)用很廣泛的環(huán)類,有許多經(jīng)典的結(jié)論,其中一個(gè)著名的結(jié)論就是Cartan-Eilenberg-Bass定理[3],即R是Noether環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)任意多個(gè)內(nèi)射模的直和是內(nèi)射模。該結(jié)論由于其重要性得到了許多推廣,例如,2002年Beider等[9]證明了局部Noether環(huán)形式的Cartan-Eilenberg-Bass定理。2008年Kim等[11]得到了SM整環(huán)上的Cartan-Eilenberg-Bass定理,即整環(huán)R是SM整環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)任意多個(gè)GV-無(wú)撓的內(nèi)射模的直和是內(nèi)射模。2010年,王芳貴等人[12]得到了更一般的w-Noether環(huán)上的w-版本的Cartan-Eilenberg-Bass定理。2011年,王芳貴等人[13]將SM整環(huán)的討論推廣到了一般交換環(huán)上,引入了SM環(huán)的概念,即滿足正則w-理想的升鏈條件的環(huán)。并利用GV-無(wú)撓模與正則性內(nèi)射模建立了SM環(huán)上的Cartan-Eilenberg-Bass定理。本文也將給出另一形式的Cartan-Eilenberg-Bass定理,證明了R是SM環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任意多個(gè)GV*-無(wú)撓的正則性內(nèi)射模的直和是正則性內(nèi)射模。

本文恒設(shè)R是單位元為1的交換環(huán)。對(duì)R-模M,用E(M)表示M的內(nèi)射包絡(luò),e(M)表示M的正則性內(nèi)射包絡(luò)。設(shè)I是R的理想,若I中包含R的一個(gè)非零因子,則I稱為正則理想。若存在I的有限生成子理想I0,使ann(I0)=0,則I稱為R的半正則理想。顯然正則理想是半正則的。環(huán)R的GV-理想都是半正則的,但未必是正則的。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1.1[14]設(shè)A∈GV(R[X]),則A中包含R[X]中的一個(gè)非零因子．

命題1.2[15]設(shè)R是環(huán),則

(1)R∈GV(R)。

(2) 設(shè)J1,J2是R的理想,且J1?J2。若HomR(J1,R)?R,則HomR(J2,R)?R。即若J1∈GV(R),且J2為有限生成時(shí),則J2∈GV(R)。

(3) 若J1,J2∈GV(R),則J1J2∈GV(R)。

定理1.3[15]設(shè)M是有限表現(xiàn)R-模,{Ci}是一簇模。則

(2) 設(shè)R是凝聚環(huán),則對(duì)任何n≥1,有

(3) 設(shè)R是凝聚環(huán),則對(duì)任何n≥1,有

命題1.4[13]E是R-模,則以下各條等價(jià):

(1)E是S-內(nèi)射模。

(2) 對(duì)任何R-正合列0→A→B→C→0,只要C∈S,則

0→HomR(C,E)→HomR(B,E)→HomR(A,E)→0

也是正合列。

(3) 對(duì)任何模的擴(kuò)張A?B,只要B/A∈S,則任何同態(tài)f:A→E可以擴(kuò)張到B。

(4) 對(duì)任何R-正合列0→E→B→C→0,只要C∈S,則該正合列是分裂的。

推論1.5[12]設(shè)R是w-Noether環(huán),I是R的理想,且ann(I)=0,則I中包含R的非零因子。特別地,若J∈GV(R),則J中包含R的非零因子。

定理1.6[12]對(duì)環(huán)R,以下各條等價(jià):

(1)R是w-Noether環(huán)。

(2) 任意多個(gè)GV-無(wú)撓的內(nèi)射模的直和是內(nèi)射模。

(3) 可數(shù)無(wú)限個(gè)GV-無(wú)撓的內(nèi)射模的直和是內(nèi)射模。

(4) 每個(gè)GV-無(wú)撓的內(nèi)射模是Σ-內(nèi)射模。

定理1.7[16](1) 設(shè)M是有限表現(xiàn)模,則

(2)δ是單同態(tài),且當(dāng)M是有限生成模時(shí),δ是同構(gòu)。即

⊕HomR(M,Ai)?HomR(M,⊕Ai)。

定理1.8[13]對(duì)環(huán)R,以下各條等價(jià):

(1)R是SM環(huán)。

(2) 任意多個(gè)GV-無(wú)撓的正則性內(nèi)射模的直和是正則性內(nèi)射模。

(3) 可數(shù)無(wú)限個(gè)GV-無(wú)撓的正則性內(nèi)射模的直和是正則性內(nèi)射模。

(4) 每個(gè)GV-無(wú)撓的正則性內(nèi)射模是Σ-正則性內(nèi)射模。

2 GV*-理想

設(shè)R是交換環(huán),J是R的有限生成理想,如果自然同態(tài)φ:R→J*=HomR(J,R)是同構(gòu),則J稱為R的GV-理想。用GV(R)表示R的GV-理想的集合。以下用GV*(R)表示R的正則GV-理想的集合,GV*(R)中的元素稱為GV*-理想。

當(dāng)R是整環(huán)時(shí),則R的非零理想都是正則理想,因此有R的GV-理想是GV*-理想,即GV*(R)=GV(R)。

回顧環(huán)R稱為DW環(huán),是指R的每個(gè)理想都是w-理想,等價(jià)地,GV(R)={R}。在文獻(xiàn)[15]稱環(huán)R為弱DW環(huán),是指R的每個(gè)正則理想都是w-理想,等價(jià)地,GV*(R)={R}。顯然,若T(R)=R,則R是弱DW環(huán)。

盡管有GV*(R)?GV(R),但反包含關(guān)系未必成立。

例2.1取文獻(xiàn)[17]給出的環(huán)R,滿足T(R)=R,且R不是DW環(huán)。故此時(shí)有GV*(R)={R},則GV(R)GV*(R)。

命題2.2對(duì)任何環(huán)R,R[X]是多項(xiàng)式環(huán)，則GV*(R[X])=GV(R[X])。

證明由引理1.1,R[X]的半正則理想都是正則理想,因此有GV*(R[X])=GV(R[X])。

設(shè)S是R的理想的集合,若S滿足:(1)R∈S;(2)若I,J∈S,則IJ∈S,則稱S是R的理想的乘法系。

命題2.3(1)R∈GV*(R)。

(2) 若J1,J2∈GV*(R),則J1J2∈GV*(R)。

(3) 設(shè)J1,J2是R的理想,且J1?J2。若J1∈GV*(R),且J2為有限生成正則時(shí),則J2∈GV*(R)。

證明(1) 顯然。

(2) 我們知道R的GV-理想和R的有限生成正則理想的集合都是R的理想的乘法系,由條件J1,J2∈GV*(R)?GV(R),故J1J2∈GV(R)。又J1,J2為有限生成正則理想,故J1J2也為有限生成正則理想,因此有J1J2∈GV*(R)。

(3) 由于J1是正則理想,故有J2是正則理想。由命題1.2,J2∈GV(R),因此有J2∈GV*(R)。

定義2.4設(shè)M是R-模,令

torGV*(M)={x∈M|存在J∈GV*(R),

使得Jx=0}

由于GV*(R)是R的理想的乘法系,則有torGV*(M)是M的子模,稱之為M的完全GV*-撓子模。若torGV*(M)=M,則稱M為GV*-撓模。若torGV*(M)=0,則稱M為GV*-無(wú)撓模。

由定義可立即得到:

命題2.5設(shè)M是R-模,則有

(1)M是GV*-撓模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何x∈M,存在J∈GV*(R),使得Jx=0。

(2)M是GV*-無(wú)撓模當(dāng)且僅當(dāng)由J∈GV*(R),x∈M和Jx=0,能推出x=0。

注2.6以下的事實(shí)是顯然的:

(1) GV*-撓模的子模與商模還是GV*-撓模,GV*-無(wú)撓模的子模還是GV*-無(wú)撓模。

(2) 對(duì)給定的模M,令T=torGV*(M),則T總是GV*-撓模,M/T總是GV*-無(wú)撓模。

(3) GV-無(wú)撓模是GV*-無(wú)撓模,GV*-撓模是GV-撓模。從而有投射模,平坦模與自反模都是GV*-無(wú)撓模。

(4) 若M既是GV*-撓模,又是GV*-無(wú)撓模,則M=0。

(5) 設(shè)J∈GV*(R),則R/J是GV*-撓模。

例2.7設(shè)J∈GV(R),但JGV*(R),則M:=R/J是GV-撓模,但M不是GV*-撓模,故GV-撓模未必是GV*-撓模。

我們可以對(duì)GV*-無(wú)撓模作一些函子性質(zhì)刻畫。

命題2.8設(shè)M是R-模,則以下各條件等價(jià):

(1)M是GV*-無(wú)撓模。

(2)J∈GV*(R)，則HomR(R/J,M)=0。

(3) 對(duì)任何J∈GV*(R),自然同態(tài)φ:M→HomR(J,M)是單同態(tài)。

(4) 對(duì)任何J∈GV*(R),及任何R/J-模B,HomR(B,M)=0。

(2)?(3) 由正合列

即得。

(2)?(4) 設(shè)F=⊕R/J是自由R/J-模,f:F→B是滿同態(tài),則有正合列:

0→HomR(B,M)→HomR(F,M)?∏HomR(R/J,M)，

故HomR(B,M)=0。

(4)?(2) 取B=R/J即得,其中J取遍R的GV*-理想。

命題2.9(1)M是GV*-撓模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何GV*-無(wú)撓模N,HomR(M,N)=0。

(2)N是GV*-無(wú)撓模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任何GV*-撓模M,HomR(M,N)=0。

證明(1) 設(shè)M是GV*-撓模,N是GV*-無(wú)撓模,f∈HomR(M,N)。若x∈M,有J∈GV*(R),使得Jx=0。因此,Jf(x)=0。由于N是GV*-無(wú)撓模,故f(x)=0。于是有f=0,即有HomR(M,N)=0。

反之,設(shè)T=torGV*(M),N=M/T。于是N是GV*-無(wú)撓模。由于HomR(M,N)=0,則自然同態(tài)π:M→N是零同態(tài)。因此有N=0,即M=T是GV*-撓模。

(2) 設(shè)N是GV*-無(wú)撓模。由(1)知對(duì)任何GV*-撓模M,HomR(M,N)=0。

反之,設(shè)M=torGV*(N),則有HomR(M,N)=0。故包含同態(tài)M→N是零同態(tài)。因此有M=0,故N是GV*-無(wú)撓模。

命題2.10(1) 設(shè){Mi}是一簇R-模,則∏Mi是GV*-無(wú)撓模當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Mi是GV*-無(wú)撓模。

(2) 若M是GV*-無(wú)撓模,E(M)也是GV*-無(wú)撓模。

(3) 設(shè)M是任何R-模,N是GV*-無(wú)撓模,則HomR(M,N)是GV*-無(wú)撓模。

證明(1) 對(duì)任意J∈GV*(R),由自然同構(gòu)HomR(R/J,∏Mi)?∏HomR(R/J,Mi)即得。

(2) 設(shè)x∈E(M),J∈GV*(R),Jx=0。若x≠0,由于E(M)是M的本性擴(kuò)張,故存在r∈R使得rx≠0且rx∈M。于是有Jrx=0。由于M是GV*-無(wú)撓模,得到rx=0,矛盾。故x=0,因此E(M)是GV*-無(wú)撓模。

(3) 設(shè)f∈HomR(M,N),J∈GV*(R),Jx=0。則對(duì)任意x∈M,Jf(x)=0。由于N是GV*-無(wú)撓模,故f(x)=0。因此f=0。故HomR(M,N)是GV*-無(wú)撓模。

設(shè)M是R-模,S是由R的全部非零因子構(gòu)成的乘法封閉集。若MS=0,等價(jià)地,對(duì)任何x∈M,存在s∈S,使得sx=0,則M稱為撓模。若由sx=0,其中s∈S,x∈M,能推出x=0,則M稱為無(wú)撓模。

命題2.11(1) 設(shè)M是無(wú)撓模,則M是GV*-無(wú)撓模。

(2) 設(shè)M是GV*-撓模,則M是撓模。

證明(1) 設(shè)J∈GV*(R),x∈M,Jx=0。因J中含有非零因子,設(shè)為s,則sx=0。因M是無(wú)撓模,可得x=0,故M是GV*-無(wú)撓模。

(2) 設(shè)x∈M,則存在J∈GV*(R),使得Jx=0。由于J是正則理想,則有非零因子s∈J,使得sx=0。故M是撓模。

推論2.12設(shè)M是T(R)-模,則M作為R-模是GV*-無(wú)撓模。

證明由M作為R-模是無(wú)撓模和引用命題2.11即得。

證明對(duì)任何J∈GV*(R),由于R/J是有限表現(xiàn)模,則

HomR(R/J,F?RM)?F?RHomR(R/J,Mi)=0

因此，由命題2.8,F?RM是GV*-無(wú)撓模。

推論2.14(1) 設(shè)N是GV*-無(wú)撓模,則對(duì)R的任何乘法集S,NS作為R-模是GV*-無(wú)撓模。

(2)T(R)是GV*-無(wú)撓模。

證明(1) 由NS=RS?RN并引用命題2.13即得。

(1)由(1)即得。

3 w*-模

推論3.2GV*-無(wú)撓的正則性內(nèi)射模是w*-模。

證明由正則性內(nèi)射模的定義與定義3.1即得。

命題3.3(1) 設(shè)M是GV*-無(wú)撓模,則E(M)和e(M)是w*-模。

(2) 設(shè){Mi}是一簇R-模,則∏Mi是w*-模當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Mi是w*-模;當(dāng)且僅當(dāng)⊕Mi是w*-模。

證明(1) 由命題2.10知E(M)是GV*-無(wú)撓模,從而有e(M)也是GV*-無(wú)撓模。因此得到E(M)和e(M)是w*-模。

(2) 對(duì)任意J∈GV*(R),由自然同構(gòu)

得到∏Mi是w*-模當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Mi是w*-模。

以及由定理1.3,

得到⊕Mi是w*-模當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Mi是w*-模。

注3.4(1) 由于GV-無(wú)撓模是GV*-無(wú)撓模,故每個(gè)w-模是w*-模。因此,投射模,平坦模,對(duì)偶模與自反模都是w*-模。當(dāng)R是整環(huán)時(shí),每一w*-模也是w-模。

(2) 若R是弱DW環(huán),則任意R-模都是w*-模。故若R是弱DW環(huán),但不是DW環(huán),則一定有一個(gè)R-模不是w-模。因此,未必有每個(gè)w*-模是w-模。

定理3.5設(shè)M是GV*-無(wú)撓模,則以下各條等價(jià):

(1)M是w*-模。

(2) 對(duì)任何J∈GV*(R),任何同態(tài)f:J→M可以擴(kuò)張到R上。

(3) 對(duì)任何J∈GV*(R),自然同態(tài)φ:M→HomR(J,M)是同構(gòu)。

證明(1)?(2)設(shè)J∈GV*(R),考慮正合列

0→HomR(R/J,M)→HomR(R,M)→

(3.1)

(1)?(4)設(shè)F=⊕R/J是自由R/J-模,f:F→B是滿同態(tài).記L=Ker(f),則有正合列

(4)?(1)取B=R/J即得,其中J取遍R的GV*-理想。

命題3.6設(shè)M是GV*-無(wú)撓模,則以下各條等價(jià):

(1)M是w*-模。

(2) 對(duì)任何正合列0→M→N→C→0,只要N是w*-模,就有C是GV*-無(wú)撓模。

(3) 存在一個(gè)正合列0→M→N→C→0,使得N是w*-模,C是GV*-無(wú)撓模。

證明(1)?(2)設(shè)J∈GV*(R)?？紤]正合列

HomR(R/J,N)→HomR(R/J,C)→

(2)?(3)取N=E(M)即知。

(3)?(1)設(shè)J∈GV*(R)。考慮正合列

定理3.7設(shè)N是w*-模,M是N的子模,則M是w*-模當(dāng)且僅當(dāng)由Jx?M,x∈N和J∈GV*(R)能推出x∈M。

證明考慮正合列

0→M→N→N/M→0。

反之,由條件N/M是GV*-無(wú)撓模,仍由定理3.6得M是w*-模。

文[2]指出,GV-無(wú)撓模M是w-模當(dāng)且僅當(dāng)由Jx?M,其中J∈GV(R),x∈E(M),能推出x∈M。同樣能夠得到:

定理3.8設(shè)M是GV*-無(wú)撓模,則以下各條等價(jià):

(1)M是w*-模。

(2)由Jx?M,其中J∈GV*(R),x∈E(M),能推出x∈M。

(3) 由Jx?M,其中J∈GV*(R),x∈e(M),能推出x∈M。

證明(1)?(2)由定理3.7與命題3.3即得。

(2)?(1)設(shè)J∈GV*(R),f:J→M。由于E(M)是內(nèi)射模，故存在同態(tài)g:R→E(M)使得下圖可交換：

記g(1)=x∈E(M),則g(J)=Jx=f(J)?M。由條件x∈M,故Im(g)?M,即g:R→M是f的擴(kuò)張,由定理3.5有M是w*-模。

(1)?(3)完全類似于(1)?(2)的證明。

定理3.9設(shè)M是任何R-模,N是w*-模,則HomR(M,N)是w*-模。

證明設(shè)0→A→F→M→0是正合列,其中F=⊕R是自由模,于是有正合列

0→HomR(M,N)→HomR(F,N)→

HomR(A,N),

由命題3.3

HomR(F,N)=HomR(⊕R,N)?∏N

是w*-模,由命題2.10,HomR(A,N)是GV*-無(wú)撓模。故由定理3.6,HomR(M,N)是w*-模。

命題3.10設(shè)0→A→B→C→0是正合列,且A和C都是w*-模,則B也是w*-模。

證明設(shè)J∈GV*(R),則有正合列

HomR(R/J,A)→HomR(R/J,B)→

HomR(R/J,C),

和正合列

證明設(shè)J∈GV*(R),x∈M,Jx?N。由于J是有限生成的,故存在指標(biāo)i,使得Jx?Ni。由定理3.7,x∈Ni。由此可得N是w*-模。

命題3.12設(shè)M是GV*-無(wú)撓模,x∈M,則ann(x)是R的w*-理想。

證明設(shè)J∈GV*(R),a∈R,使得Ja∈ann(x)。則Jax=0。由于M是GV*-無(wú)撓模,故ax=0。因此有a∈ann(x),故ann(x)是w*-理想。

命題3.13設(shè)M是w*-模,N是GV*-無(wú)撓模,f:M→N是同態(tài),則Ker(f)是M的w*-子模。

證明考慮正合列

0→Ker(f)→M→Im(f)→0,

因N是GV*-無(wú)撓模,故Im(f)也是GV*-無(wú)撓模。由定理3.6,Ker(f)是w*-模。

命題3.14設(shè)S是R的乘法集,M是S-無(wú)撓的w*-模,則MS作為R-模是w*-模。

證明由推論2.14,MS是GV*-無(wú)撓模。故E(MS)是w*-模。設(shè)

J=(a1,a2,…,an)∈GV*(R),

s=s1s2…sn,

則Jsx?M。由于M是w*-模,故sx∈M,從而x∈MS。故由定理3.7得到MS是w*-模。

命題3.15無(wú)撓的可除模是w*-模。

證明由文獻(xiàn)[18]知，無(wú)撓的可除模是正則性內(nèi)射模。引用命題2.11與推論3.2即得。

命題3.16每個(gè)T(R)-模是w*-模。

證明由每個(gè)T(R)-模都是無(wú)撓的可除模與引用命題3.15即得。

4 模的w*-包絡(luò)

我們知道在w-模環(huán)境中,一個(gè)GV-無(wú)撓模M有w-包絡(luò),我們同樣可以定義GV*-無(wú)撓模的w*-包絡(luò)。

定義4.1設(shè)M是GV*-無(wú)撓模,令

Mw*={x∈e(M)|存在J∈GV*(R),

使得Jx?M}。

則容易看到Mw*是e(M)的子模,稱為M的w*-包絡(luò)。

顯然,當(dāng)M是GV-無(wú)撓模時(shí),Mw*?Mw。

定理4.2設(shè)M是GV*-無(wú)撓模,則有:

(1)M?Mw*。

(2)Mw*是M的正則性本性擴(kuò)張。

(3)e(Mw*)=e(M)。

(4)Mw*是w*-模。

證明(1) 顯然。

(2) 由定義4.1,Mw*?e(M),故Mw*是M的正則性本性擴(kuò)張。

(3) 顯然e(M)?e(Mw*)。設(shè)0≠x∈e(Mw*)則存在s∈R是非零因子,使得0≠sx∈Mw*。由于Mw*?e(M),故存在非零因子t∈R,使得tsx∈M。因此e(Mw*)=e(M)。

(4)設(shè)J∈GV*(R),x∈e(Mw*)=e(M),Jx?Mw*。記

J=(a1,a2,…,an),

于是aix∈Mw*,故對(duì)每個(gè)i,有Ji∈GV*(R),使Jiaix?M,因此

J1J2…JnJx?M。

由于

J1J2…JnJ∈GV*(R),

故x∈e(M),故x∈Mw*,則Mw*是w*-模。

定理4.3設(shè)M是GV*-無(wú)撓模,則有:

(1) 若N是w*-模,且M?N,則Mw*?N。

(2) 若M是w*-模,則Mw*=M。

(3) (Mw*)w*=Mw*。

(4) 設(shè)A是M的子模,則Aw*?Mw*。

(5)I是R的理想,則(IM)w*=(Iw*Mw*)w*。

(6)Mw*/M是GV*-撓模。

(7) 若B是M的子模,且M/B是GV*-撓模,則Bw*=Mw*。

證明(1) 設(shè)x∈Mw*,則存在J∈GV*(R),Jx?M。因M?N,故e(M)?e(N),x∈e(M)?e(N)。由Jx?M?N,以及N是w*-模,則x∈N。因此有Mw*?N。

(2) 由定理4.2得M?Mw*。設(shè)x∈Mw*,則存在J∈GV*(R),使得Jx?M。由于M是w*-模,故x∈M,因此有Mw*?M。則Mw*=M。

(3) 顯然Mw*?(Mw*)w*。

下證(Mw*)w*?Mw*。設(shè)x∈(Mw*)w*,則存在J∈GV*(R),使Jx?Mw*。由于J有限生成,故存在J1∈GV*(R),使J1Jx?M。而J1J∈GV*(R),x∈e(Mw*)=e(M),故x∈Mw*,即有(Mw*)w*?Mw*。

(4) 由定理4.2得M?Mw*,故A?Mw*。由于Mw*是w*-模,再由(1)得Aw*?Mw*。

(5)IM?Iw*Mw*，故(IM)w*?(Iw*Mw*)w*。

(7) 由(4)得Bw*?Mw*。另一方面,設(shè)x∈Mw*,則存在J1∈GV*(R),使得J1x?M。由于M/B是GV*-撓模,以及J1x是有限生成的,故存在J2∈GV*(R),使得J2J1x?B,因此有x∈Bw*。從而得到Mw*?Bw*。

命題4.4M是無(wú)撓模,則Mw*也是無(wú)撓模。

證明設(shè)S是非零因子乘法集,s∈S,x∈Mw*,有sx=0,則存在J∈GV*(R),使Jx?M。故s(Jx)=Jsx=0,而M是無(wú)撓模,故Jx=0。由命題2.11,M是GV*-無(wú)撓模,故x=0。則Mw*是無(wú)撓模。

命題4.5設(shè)J是R的有限生成正則理想,則J∈GV*(R)當(dāng)且僅當(dāng)Jw*=R。

證明顯然J?R。因R是w*-模,故Jw*?Rw*=R。

設(shè)J∈GV*(R)。由J·1=J?Jw*,以及Jw*是w*-模,由定理3.7得1∈Jw*。因此有R?Jw*。故Jw*=R。

反之,設(shè)Jw*=R,則有1∈Jw*。故存在J1∈GV*(R),使得J1=J1·1?J。由命題2.3得J∈GV*(R)。

推論4.6設(shè)J∈GV*(R),則(JM)w*=Mw*。

證明由定理4.3和命題4.5得

(JM)w*=(Jw*Mw*)w*=(RMw*)w*=(Mw*)w*=Mw*。

命題4.7I是R的真w*-理想,則對(duì)任何J∈GV*(R),有JI。

證明若有J∈GV*(R),使得J?I,故Jw*?I。由Jw*=R,有1∈Jw*?I。于是有I=R,這與I是R的真w*-理想的事實(shí)矛盾。故JI。

命題4.8若I是R的正則理想,則I是w-理想當(dāng)且僅當(dāng)I是w*-理想。

證明必要性是顯然的,下面證充分性。

因I是R的正則理想,故I中有非零因子s。

設(shè)J∈GV(R),x∈R,Jx?I。令J1=(s)+J,則J1∈GV*(R),且J1x?I。由于I是R的w*-理想,故x∈I。于是有I是w-理想。

推論4.9R是弱DW環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)R的任意正則理想都是w*-理想。

命題4.10設(shè)M是GV*-無(wú)撓模,a∈R,則aMw*?(aM)w*。且若a不是M的零因子,則aMw*=(aM)w*。

證明設(shè)x∈Mw*,則存在J∈GV*(R),使得Jx?M。從而有Jax?aM。故ax∈(aM)w*,于是aMw*?(aM)w*。

當(dāng)a不是M的零因子時(shí),顯然a也不是Mw*的零因子。故aMw*?Mw*,則aMw*是w*-模。由定理4.3(1),aM?aMw*,則有(aM)w*?aMw*。

定理4.11對(duì)R-模M,以下各條等價(jià):

(1)M是GV*-撓模。

(2) 設(shè)0→A→B→M→0是正合列。若B是w*-模,則Aw*=B。

(3) 存在一個(gè)正合列0→A→F→M→0,使得F是w*-模,且Aw*=F。

證明(1)?(2)設(shè)g:B→M是給定的同態(tài),不妨設(shè)A=ker(g)。對(duì)任何x∈B,由于M是GV*-撓模,故有J∈GV*(R),使得g(Jx)=Jg(x)=0。因此,Jx?A。故Aw*=B。

(2)?(3)設(shè)

0→A→F→M→0

是正合列,其中F是自由模,從而是w*-模。由條件Aw*=F,

(3)?(1)由定理4.3(6)即得。

定理4.12設(shè)M是GV*-無(wú)撓模,則以下各條等價(jià):

(1)M是w*-模。

(2) 對(duì)任何GV*-無(wú)撓模A,同態(tài)f:A→M可以擴(kuò)張到Aw*。

證明(1)?(2)設(shè)f:A→M是同態(tài)。Aw*/A是GV*-撓模,由命題2.11知Aw*/A是撓模。由命題1.4,則存在同態(tài)g:Aw*→e(M),使得下圖可交換:

對(duì)任何x∈Aw*,存在J∈GV*(R),使得Jx?A,因此f(Jx)=g(Jx)=Jg(x)?M。由于M是w*-模,故g(x)∈M。因此Im(g)?M,于是有f可以擴(kuò)張到Aw*。

(2)?(3)設(shè)0→A→F→C→0是正合列,其中F是自由模,由定理4.11,Aw*=F,由條件和正合列

(3)?(4)由定理4.3(6)即得。

定理4.13設(shè)N是GV*-無(wú)撓模,B是R-模,A是B的子模。

(1) 若A是GV*-撓子模,則HomR(B/A,N)=HomR(B,N)。

(3) 若B/A是GV*-撓模,N是w*-模,則HomR(A,N)=HomR(B,N)。

證明(1) 由正合列

0→HomR(B/A,N)→HomR(B,N)→HomR(A,N)=0

即得。

(2)由正合列

即得。

(3) 由正合列

即得。

推論4.13若A是GV*-無(wú)撓模,N是w*-模,則HomR(A,N)=HomR(Aw*,N)。

證明由定理4.3(6)與定理4.13(3)即得。

5 w*-Noether模與SM環(huán)

本節(jié)將給出w*-模理論的一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用。為此,先定義w*-有限生成模的概念。

定義5.1設(shè)M是R-模。若存在M的有限生成子模N,使得M/N是GV*-撓模,則M稱為w*-有限生成模。

顯然GV*-撓模和有限生成模一定是w*-有限生成的。

命題5.2對(duì)GV*-無(wú)撓模M,以下各條等價(jià)

(1)M是w*-有限生成的。

(2)Mw*是w*-有限生成的。

(3) 存在M的有限生成子模B,使得Mw*=Bw*。

證明(1)?(2)由假設(shè)條件,存在M的有限生成子模B,使得M/B是GV*-撓模。由于

0→M/B→Mw*/B→Mw*/M→0

是正合列,由定理4.3(6)得到Mw*/B也是GV*-撓模。因此,Mw*是w*-有限生成的。

(2)?(3)由于Mw*是w*-有限生成的,則存在Mw*的有限生成子模A,使得Mw*/A是GV*-撓模。由于A是有限生成的,故有J∈GV*(R),使得JA?M。由定理4.3和推論4.6,(JA)w*=Aw*=Mw*。取B=JA即得所求。

(3)?(1)由假設(shè)條件與定理4.11,Mw*/B是GV*-撓模,從而M/B是GV*-撓模,因此有M是w*-有限生成的。

(1) 若B是w*-有限生成的,則C是w*-有限生成的。

(2) 若A和C是w*-有限生成的,則B是w*-有限生成的。

(2) 取有限生成子模A1=(a1,…,am)?A,C1=(c1,…,cn)?C,使得A/A1與C/C1都是GV*-撓模。取b1,…,bn∈B,使得g(bi)=ci,i=1,…,n。令B1是B的由b1,…,bn生成的子模。若x∈B,則存在J1∈GV*(R),使得J1g(x)?C1。于是有J1x?f(A)+B1。由于J1x是有限生成的,以及A/A1是GV*-撓模,故存在J2∈GV*(R),使得J2J1x?f(A1)+B1。因此有B/(f(A1)+B1)是GV*-撓模。于是得到B是w*-有限生成的。

證明由數(shù)學(xué)歸納法,只需對(duì)n=2的情形證明即可。記M=M1⊕M2,則有正合列

0→M1→M→M2→0

與正合列

0→M2→M→M1→0。

設(shè)M是w*-有限生成的,由命題5.3(1),M1和M2是w*-有限生成的。反之,設(shè)M1,M2是w*-有限生成的,則由命題5.3(2),得到M是w*-有限生成的。

定義5.5設(shè)M是R-模。若M的每個(gè)子模是w*-有限生成的,則M稱為w*-Noether模。

命題5.6(1) Noether模和GV*-撓模是w*-Noether模。

證明(1) 顯然。

(2) 不妨設(shè)A?B,C=B/A。先設(shè)B是w*-Noether模。由于A的子模也是B的子模,故A的所有子模皆為w*-有限生成的,因此A是w*-Noether模,且A自身是w*-有限生成的。又由于B/A的每個(gè)子模均可以表示為N/A,其中N是B包含A的子模。由于N是w*-有限生成的,故由命題5.3(1),N/A也是w*-有限生成的,因此B/A是w*-Noether模。

反之,設(shè)A,C是w*-Noether模。設(shè)B1是B的子模,A1=A∩B1,

C1=(B1+A)/A?B1/(A∩B1)。

則

0→A1→B1→C1→0

是正合列。由條件,A1與C1是w*-有限生成的,由命題5.3(2),B1是w*-有限生成的。于是有B是w*-Noether模。

(3) 由(2)推論即得。

推論5.7設(shè)M是GV*-無(wú)撓模,則M是w*-Noether模當(dāng)且僅當(dāng)Mw*是w*-Noether模。

證明由正合列

0→M→Mw*→Mw*/M→0

與引用命題5.6即得。

設(shè)M是R-模,記

L*(M)=(M/torGV*(M))w*。

命題5.8對(duì)R-模M,以下各條等價(jià):

(1)M是w*-Noether模。

(2)M/torGV*(M)是w*-Noether模。

(3)L*(M)是w*-Noether模。

證明(1)?(2)由正合列

0→torGV*(M)→M→M/torGV*(M)→0

和引用命題5.6即得。

(2)?(3)由推論5.7即得。

命題5.9對(duì)w*-模M,以下各條等價(jià):

(1)M是w*-Noether模。

(2)M的每個(gè)w*-子模是w*-有限生成的。

(3)M有關(guān)于w*-子模的極大條件,即M的任何w*-子模的非空集合有極大元。

(4)M有w*-子模的升鏈條件,即M的任何w*-子模的升鏈

N1?N2?…?Nn?…

都是穩(wěn)定的。

證明(1)?(2)顯然。

(2)?(1)由命題5.2即得。

(3)?(4)設(shè)

N1?N2?…?Nn?…

是M的w*-子模升鏈,令Γ={Ni|i=1,2,…}。由假設(shè)條件,Γ有極大元,設(shè)為Nk。則當(dāng)n≥k時(shí),有Nn=Nk。故該鏈?zhǔn)欠€(wěn)定的。

(4)?(2)設(shè)N是M的w*-子模,取x1∈N,及當(dāng)n>1時(shí),

xn∈N-(Rx1+Rx2+…+Rxn-1)w*,

于是

(Rx1)w*?(Rx1+Rx2)w*?…?

(Rx1+Rx2+…+Rxn)w*?…

是M的w*-子模升鏈,故此鏈只能有有限項(xiàng),即存在n,使得

N=(Rx1+Rx2+…+Rxn)w*,

則N是w*-有限生成的。

回顧模M稱為w-Noether模,是指若B是M的子模,則存在B的有限生成子模B1,使得B/B1是GV-撓模。若環(huán)R作為R-模是w-Noether模,則稱R為w-Noether環(huán)。由于GV*-撓模是GV-撓模,故w*-Noether模是w-Noether模。

例5.10w-Noether模未必是w*-Noether模。設(shè)J∈GV(R),但JGV*(R)。設(shè)M是可數(shù)無(wú)限個(gè)R/J的直和,則M是GV-撓模,從而是w-Noether模。由于R/J不是GV*-撓模,故L*(R/J)≠0,由命題5.9(4),L*(M)=⊕L*(R/J)不是w*-Noether模。從而M不是w*-Noether模。

引理5.11若環(huán)R滿足GV*(R)=GV(R),即任何GV-理想都是正則理想,則有:

(1) GV-撓模是GV*-撓模,且GV*-無(wú)撓模是GV無(wú)撓模。

(2) 模M是w*-模當(dāng)且僅當(dāng)M是w-模。

證明由這些模類的定義即知。

命題5.12對(duì)環(huán)R,以下各條等價(jià):

(1)R是w-Noether環(huán)。

(2)R作為R-模是w*-Noether模。

(3)R的每個(gè)w*-理想是w*-有限生成的。

(4)R有關(guān)于w*-理想的極大條件,即M的任何w*-理想的非空集合有極大元。

(5)R有關(guān)于w*-理想的升鏈條件,即R的任何w*-理想的升鏈都是穩(wěn)定的。

證明(1)?(2)當(dāng)R是w-Noether環(huán)時(shí),由推論1.5知,R的半正則理想是正則理想,則有GV*(R)=GV(R)。由引理5.11,w*-理想都是w-理想,因此,R是w*-Noether模。

(2)?(1)顯然。

(2)?(3)?(4)?(5)由命題5.9可得。

命題5.12說(shuō)明了這樣一個(gè)事實(shí):盡管w-Noether模未必是w*-Noether模,但我們無(wú)須定義所謂的w*-Noether環(huán)。

回顧模E稱為Σ-內(nèi)射模,是指E是內(nèi)射模,且E的任意直和還是內(nèi)射模。眾所周知,Noether環(huán)有所謂的Cartan-Eilenberg-Bass定理,即R是Noether環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任意多個(gè)內(nèi)射模的直和是內(nèi)射模;當(dāng)且僅當(dāng)任何內(nèi)射模是Σ-內(nèi)射模。2008年Kim-Kim-Park等人[11]證明了在SM整環(huán)上也有w-版本的Cartan-Eilenberg-Bass定理,即整環(huán)R是SM整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任意多個(gè)GV-無(wú)撓的內(nèi)射模的直和是內(nèi)射模;當(dāng)且僅當(dāng)任何GV-無(wú)撓的內(nèi)射模是Σ-內(nèi)射模。2010年王芳貴和張俊[12]把Kim-Kim-Park的結(jié)果推廣到更一般的w-Noether環(huán)上。與這些結(jié)果對(duì)應(yīng),我們有w-Noether環(huán)的另一表述形式的Cartan-Eilenberg-Bass定理:

定理5.13(Cartan-Eilenberg-Bass)對(duì)環(huán)R,以下各條等價(jià):

(1)R是w-Noether環(huán)。

(2) 任意多個(gè)GV*-無(wú)撓的內(nèi)射模的直和是內(nèi)射模。

(3) 可數(shù)無(wú)限個(gè)GV*-無(wú)撓的內(nèi)射模的直和是內(nèi)射模。

(4) 每個(gè)GV*-無(wú)撓的內(nèi)射模是Σ-內(nèi)射模。

證明(1)?(2)R是w-Noether環(huán)時(shí),由引理5.11,GV-無(wú)撓模與GV*無(wú)撓模等價(jià),故由定理1.6即得。

(2)?(3)顯然。

(3)?(1)反設(shè)R不是w-Noether環(huán),則R有非穩(wěn)定的w-理想升鏈

I1?I2?…?In?…。

f(a)=(π1(a),π2(a),…,πn(a),…),

于是f(a)∈E,因而f可以擴(kuò)張為同態(tài)g:R→E。記

g(1)=(x1,x2,…,xn,…),xi∈Ei,

且設(shè)n≥m時(shí),xn=0。取t>m,a∈I-It。于是πt(a)≠0。又因

f(a)=(π1(a),π2(a),…,πt(a),…)=

g(a)=(ax1,ax2,…,axm,0,0,…),

故有πt(a)=0,矛盾。從而R是w-Noether環(huán)。

(2)?(4)顯然。

(4)?(1)由于GV-無(wú)撓模是GV*-無(wú)撓模,故由假設(shè)條件得到每個(gè)GV-無(wú)撓的內(nèi)射模是Σ-內(nèi)射模。由定理1.6,R是w-Noether環(huán)。

文獻(xiàn)[13]中定義了若R有正則w-理想的升鏈條件,則稱R為SM環(huán)。我們也可以用正則w*-理想的升鏈條件來(lái)刻畫SM環(huán)。

定理5.14對(duì)環(huán)R,以下各條等價(jià):

(1)R是SM環(huán).

(2)R有正則w*-理想的升鏈條件。

(3)R的每個(gè)正則w*-理想是w*-有限生成的。

(4)R的任何正則w*-理想的非空集合有極大元。

(5)R的每個(gè)正則理想是w*-有限生成的。

證明(1)?(2)由命題4.8即得。

(2)?(3)設(shè)I是R的正則w*-理想,若I不是w*-有限生成的,取正則元素x1∈I,及當(dāng)n>1時(shí),

xn∈I-(Rx1+Rx2+…+Rxn-1)w*,

于是

(Rx1)w*?(Rx1+Rx2)w*?…?

(Rx1+Rx2+…+Rxn)w*?…

是R的正則w*-理想升鏈,但不是穩(wěn)定的,矛盾。故I是w*-有限生成的。

(4)?(2)設(shè)

I1?I2?…?In?…

是R的正則w*-理想升鏈。記

Γ={Ii|i=1,2,…},

由條件Γ有極大元In,故當(dāng)m≥n時(shí),Im=In,因此該鏈?zhǔn)欠€(wěn)定的。

(3)?(5)由命題5.2即得。

推論5.15設(shè)R是完全商環(huán),即滿足T(R)=R,則R是SM環(huán)。

設(shè)M是任何R-模,則對(duì)任何模簇{Ai},有自然同態(tài)

其中

θ([fi])(x)=[fi(x)],x∈M,

fi∈HomR(M,Ai)。

引理5.16(1)θ是單同態(tài),且M是有限生成模時(shí),θ是同構(gòu)。

(2) 若M是w*-有限生成模,且每個(gè)Ai是w*-模,則亦有θ是同構(gòu)。

證明(1) 參見(jiàn)定理1.7。

引理5.17設(shè){Ai}是一簇w*-模,F是有限生成的自由模,B是F的w*-有限生成子模,記M=F/B,則

證明由于0→B→F→M→0是正合列,則有下面的交換圖:

其中θ1,θ2,δ都是自然同態(tài)。由引理5.16知θ1,θ2同構(gòu),因此δ同構(gòu)。

命題5.17對(duì)環(huán)R,以下各條等價(jià):

(1)R是SM環(huán)。

(2) 任意多個(gè)GV*-無(wú)撓的正則性內(nèi)射模的直和是正則性內(nèi)射模。

(3) 可數(shù)無(wú)限個(gè)GV*-無(wú)撓的正則性內(nèi)射模的直和是正則性內(nèi)射模。

(4) 每個(gè)GV*-無(wú)撓的正則性內(nèi)射模是Σ-正則性內(nèi)射模。

故E是正則性內(nèi)射模。

(2)?(3)顯然。

(3)?(4)設(shè)E是GV*-無(wú)撓的正則性內(nèi)射模。由假設(shè)條件,可數(shù)無(wú)限直和E(∞)是正則性內(nèi)射模。由定理1.8,E是Σ-正則性內(nèi)射模。

(4)?(1)由于GV-無(wú)撓模是GV*-無(wú)撓模,故由假設(shè)條件得到每個(gè)GV-無(wú)撓的正則性內(nèi)射模是Σ-正則性內(nèi)射模。由定理1.8,R是SM環(huán)。