二階非齊次線性微分方程解的增長(zhǎng)性

徐曉妍，肖麗鵬

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江西 南昌 330022)

1 引言和結(jié)果

在本文中將使用亞純函數(shù)值分布理論中的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào){1，2},使用σ(f)表示亞純函數(shù)f(z)的增長(zhǎng)級(jí),定義為

考慮微分方程

f''+e-zf'+Q(z)f=0

解的增長(zhǎng)級(jí)，其中Q(z)是一個(gè)有限級(jí)整函數(shù)。

Gundersen對(duì)于Q(z)是一個(gè)超越整函數(shù)的情況證明了

定理A[3]若Q(z)是一個(gè)超越整函數(shù)σ(Q)≠1， 那么方程f''+e-zf'+Q(z)f=0的所有非零解都是無(wú)窮級(jí)的。

那么在這種情況下就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題，方程f''+P(z)f'+Q(z)f=0的系數(shù)滿足什么條件時(shí)，方程解的增長(zhǎng)級(jí)才是無(wú)窮呢？陳宗煊研究了方程f''+A1(z)eazf'+A0(z)ebzf=0解的增長(zhǎng)性，得到了

定理B[4]設(shè)Aj(z)(?0)是整函數(shù)且σ(Aj)<1，(j=0，1)，a，b為復(fù)常數(shù)且滿足ab≠0和a=cb(c>1)，那么方程

f''+A1(z)eazf'+A0(z)ebzf=0

的所有非零解都是無(wú)窮級(jí)的。

同時(shí)他還提出

定理C[4]假設(shè)a，b是非零復(fù)常數(shù)且a≠b，Q(z)是非常數(shù)多項(xiàng)式或Q(z)=h(z)ebz，h(z)是非零多項(xiàng)式。那么方程f''+eazf'+Q(z)f=0的每個(gè)非零解f都是無(wú)窮級(jí)的且σ2(f)=1。

在得到了定理B的結(jié)果后，陳宗煊研究了方程f''+(A1(z)eaz+D1)f'+(A0(z)ebz+D0)f=0解的增長(zhǎng)性，得到了

定理D[4]設(shè)Aj(z)(?0)，Dj(z)，(j=0，1)是整函數(shù)且σ(Aj)<1，σ(Dj)<1，a，b為復(fù)常數(shù)且滿足ab≠0且arga≠argb或a=cb(0

的所有非零解都是無(wú)窮級(jí)的。

以上結(jié)果都是針對(duì)一些齊次線性微分方程得到的，那么當(dāng)方程為非齊次線性微分方程時(shí)，在什么條件下方程的解均為無(wú)窮級(jí)呢?王珺在[5]中給出以下結(jié)果。

定理E[5]設(shè)Aj(z)(?0)，(j=0，1)，H是整函數(shù)且σ(Aj)<1，σ(H)<1，a，b為復(fù)常數(shù)且滿足ab≠0和a≠b，那么方程

f''+A1(z)eazf'+A0(z)ebzf=H(z)

的所有非零解都是無(wú)窮級(jí)的。

f''+(A1(z)eaz+D1)f'+(A0(z)ebz+D0)f=H(z)

的所有非零解都是無(wú)窮級(jí)的。

用多項(xiàng)式去替代定理E和定理F中的az和bz，方程系數(shù)滿足什么條件時(shí)，方程解的增長(zhǎng)級(jí)均為無(wú)窮呢?本文研究了這個(gè)問(wèn)題并得到了以下結(jié)果。

定理1設(shè)Ak(z)(?0)，(k=0，1)，H是整函數(shù)，m(≥1)為整數(shù)且σ(Ak)

f''+A1(z)eP(z)f'+A0(z)eQ(z)f=H(z)

(1.1)

的所有非零解都是無(wú)窮級(jí)的。

f''+(A1(z)eP(z)+D1)f'+(A0(z)eQ(z)+D0)f=H(z)

(1.2)

的所有非零解都是無(wú)窮級(jí)的。

2 證明定理所需引理

引理2.1[6]g(z)是有限級(jí)整函數(shù)，用νg(r)表示g的中心指標(biāo)，則有

引理2.2[7]設(shè)n≥2，fj(z)(j=1，…，n)是亞純函數(shù)，gj(z)(j=1，…，n)是整函數(shù)滿足

(ⅱ)當(dāng)1≤j≤k≤n時(shí)，gj(z)-gk(z)不是一個(gè)常數(shù);

(ⅲ)E?(1，∞)是對(duì)數(shù)測(cè)度為有限的集合，當(dāng)1≤j≤n，1≤h≤k≤n時(shí)，T(r，fj)=o(T(r，egh-gk))，(r→∞，r?E)，那么fj(z)≡0(j=1，…，n)。

(2.1)

e-5πM(r，f)1-C(σ，ζ)≤|f(reiθ)|

(2.2)

(2.3)

引理2.6[9]設(shè)P(z)=(α+iβ)zn+…(α，β是實(shí)數(shù)，|α|+|β|≠0)為多項(xiàng)式且次數(shù)n≥1。A(z)(≡0)為整函數(shù)且σ(A)0，存在一個(gè)集合H1?[0，2π)，其線測(cè)度為零，使得對(duì)任意θ∈[0，2π)(H1∪H2)，存在常數(shù)R>0，當(dāng)|z|=r>R時(shí)，有

(ⅰ)若δ(P，θ)>0， 則

exp{(1-ε)δ(P，θ)rn}<|g(reiθ)|

(2.4)

(ⅱ) 若δ(P，θ)<0， 則

exp{(1+ε)δ(P，θ)rn}<|g(reiθ)|

(2.5)

其中H2={θ:θ∈[0，2π)，δ(P，θ)=0}為有限集。

引理2.7[10]設(shè)f(z)是超越亞純函數(shù)且σ(f)=σ<∞，H={(k1，j1)，…，(kq，jq)}是由不同整數(shù)對(duì)組成的有限集，且滿足ki>ji≥0(i=1，2，…，q)，又設(shè)ε>0是任意給定的常數(shù)，則

(ⅰ)存在零測(cè)度集E1?[0，2π)，滿足若φ∈[0，2π)E1，則存在常數(shù)R0=R0(φ)>1滿足對(duì)所有的argz=φ和|z|≥R0的z及對(duì)所有(k，j)∈H都有

(2.6)

(ⅱ)存在對(duì)數(shù)測(cè)度為有限的集合E2?(1，∞)，使得對(duì)滿足|z|?E2∪[0，1]的所有z以及對(duì)所有(k，j)∈H仍有(2.6)成立。

(ⅲ)存在測(cè)度為有限的集合E3?[0，∞)使得對(duì)滿足|z|?E3的所有z以及對(duì)所有(k，j)∈H都有

(2.7)

成立。

3 定理1的證明

假設(shè)f(z)是方程(1.1)的非零解且σ(f)<∞，我們可以斷言σ(f)≥m。若σ(f)

(3.1)

(3.2)

成立。根據(jù)中心指標(biāo)的定義知，當(dāng)r→∞時(shí)，νf(r)→∞。由引理2.1知，當(dāng)r充分大時(shí)，有

νf(r)≤rσ(f)+1

(3.3)

由引理2.7中的(ⅱ)知，對(duì)所有z滿足|z|=r?E2∪[0，1]，其中E2是一個(gè)對(duì)數(shù)測(cè)度有限的集合，有

(3.4)

(3.5)

e-5πM(r，f)1-C≤|f(reiθ)|

(3.6)

下面我們將分3種情形討論。

情形1若δ(P，θ0)>0，由δ(P，θ)的連續(xù)性知，對(duì)充分大的n有

(3.7)

結(jié)合引理2.6中的(2.4)知，對(duì)充分大的n有

(3.8)

由(3.1)可以得到

(3.9)

下面把情形1分成3種子情形討論。

情形1.1設(shè)θ0滿足η=δ(Q-P，θ0)>0，由δ(Q-P，θ)連續(xù)性可知，對(duì)充分大的n有

同理由引理2.6對(duì)充分大的n有

(3.10)

把(3.2)，(3.3)和(3.5)代入(3.9)中，對(duì)充分大的n有

(3.11)

結(jié)合(3.8)得

(3.12)

由(3.3)，(3.10)和(3.11)有，

矛盾。

情形1.2設(shè)θ0滿足η=δ(Q-P，θ0)<0，由δ(Q-P，θ)連續(xù)性和引理2.6知，對(duì)充分大的n有

(3.13)

可以注意到此時(shí)仍有(3.11)和(3.12)成立，由(3.11)-(3.13)可知，當(dāng)n→∞時(shí)有

即有

這說(shuō)明當(dāng)n→∞時(shí)，vf(rn)→0，矛盾。

η=δ(Q-P，θ)>0，

η=δ(Q-P，θ)<0，

和

(3.14)

成立。由引理2.5的證明過(guò)程，易知M(rn，f)≥

(3.15)

取l0充分小，由δ(P，θ)的連續(xù)性有δ(P，θ0*)>0，那么就有

(3.16)

把(3.4)和(3.15)代入(3.9)中可得，

再結(jié)合(3.14)和(3.16)可以得到，

矛盾。

(3.17)

由(3.1)知當(dāng)n→∞時(shí)，

(3.18)

仍把情形2分成3種子情形說(shuō)明。

(3.19)

將(3.2)，(3.4)，(3.5)和(3.17)代入(3.18)中得

(3.20)

再由(3.4)和(3.19)知，

矛盾。

(3.21)

由(3.18)得，當(dāng)n→∞時(shí)，有

把(3.2)，(3.4)，(3.5)，(3.17)，(3.21)代入上式中，當(dāng)n→∞時(shí)，有

這說(shuō)明當(dāng)n→∞時(shí)，νf(rn)→0，矛盾。

對(duì)于充分大的n，

矛盾。

情形3若δ(P，θ0)=0， 此時(shí)再對(duì)δ(Q，θ0)的情況進(jìn)行討論。

矛盾。

情形3.2若δ(Q，θ0)<0，由引理2.6中δ(P，θ)的定義，當(dāng)P(z)=(α+iβ)zm+…時(shí)可以定義

由于am≠0，則δ'(P，θ0)≠0，取點(diǎn)列{zn'=rneiθn'}滿足0<|θn'-θn|0說(shuō)明對(duì)一個(gè)合適的l0有

(3.22)

由引理2.6即可知，對(duì)充分大的n有

(3.23)

(3.24)

由(3.4)，(3.15)，(3.22)-(3.24)知，

上是任意取的，對(duì)充分大的rn，由上式可以得到，

(3.25)

其中η1(θ)=(1-2ε)δ'(P，θ)，η2(θ)=(1-2ε)δ(P，θ)。

對(duì)所有的θ∈(θ0，θ0+l0)都有δ(P，θ)>0，因此有

(3.26)

用logf(rneiθ0)來(lái)表示對(duì)數(shù)函數(shù)logf(rneiθ)的主值即0≤arglogf(z)≤2π，由于

當(dāng)rn充分大時(shí)，由上式得

log|f(rneiθ)|+2π≥|logf(rneiθ)|≥

即有l(wèi)og|f(rneiθ)|≥log|f(rneiθ0)|-4π-ξ(rn，θ)

(3.27)

exp{-(1-2ε)δ(P，θn*)rn}

(3.28)

矛盾。

當(dāng)c<0時(shí)，取足夠小的l0使得當(dāng)θ∈(θ0，θ0+l0)或θ∈(θ0-l0，θ0)時(shí)，有δ(Q，θ)<0<δ(P，θ)類似于情形3.2，有(3.25)，(3.27)，(3.28)成立。Wiman-Valiron理論知，當(dāng)n→∞時(shí)，νf(rn)→0，矛盾。

當(dāng)00和δ(P，θ)>0，類似于情形1.3的方法，可得矛盾。

當(dāng)c>1時(shí)，取足夠小的l0使得當(dāng)θ∈(θ0，θ0+l0)或θ∈(θ0-l0，θ0)時(shí)，有δ(Q-P，θ)<0<δ(P，θ)成立，并且當(dāng)θn'∈(θ0，θ0+l0)或(θ0-l0，θ0)時(shí)，對(duì)點(diǎn)列{zn'=rneiθn'}有(3.15)成立。由(3.1)得

類似于情形3.2，有(3.25)，(3.27)成立。同樣當(dāng)n→∞時(shí)，νf(rn)→0，矛盾。

定理1證畢。

4 定理2的證明

假設(shè)f是方程(1.2)的非零解且σ(f)<∞，我們可以斷言σ(f)≥m。若σ(f)

(4.1)

令σ=max{σ(D0)，σ(D1)}

Dj(z)≤exp{rσ+ε}，(j=0，1)

(4.2)

情形1若δ(Q，θ0)<0<δ(P，θ0)由引理2.6和δ(P，θ)與δ(Q，θ)的連續(xù)性，當(dāng)n充分大時(shí)有

(4.3)

和

(4.4)

由(4.1)得

(4.5)

由(4.2)-(4.4)知，當(dāng)n充分大時(shí)有

和

將(3.2)，(3.4)，(3.5)代入(4.5)中，當(dāng)n充分大時(shí)，有

這說(shuō)明當(dāng)n→∞時(shí)，νf(rn)→0，矛盾。

情形2若δ(P，θ0)<0<δ(Q，θ0)，由引理2.6和δ(P，θ)與δ(Q，θ)的連續(xù)性，當(dāng)n充分大時(shí)，有

(4.6)

和

(4.7)

由(4.1)即有

(4.8)

結(jié)合(4.2)，(4.6)，(4.7)知當(dāng)n充分大時(shí)，有

和

定理2證畢。