非線性中立型積分微分方程零解的全局漸近穩(wěn)定性

黃明輝， 劉 君

(廣州城建職業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室， 廣東 廣州 510925)

1 預(yù)備知識

文獻[3]利用不動點理論，研究了非線性中立型積分微分方程

(1)

零解的漸近穩(wěn)定性，其中c可微，τ二次可微且τ′(t)≠1，t∈[0,+∞)。

文獻[4]利用不動點理論，研究了時滯非線性中立型積分微分方程

(2)

零解的漸近穩(wěn)定性，其中c、τ1可微，τ2二次可微且τ2′(t)≠1，t∈[0,+∞)。

受此啟發(fā)，本文考慮以下非線性中立型積分微分方程零解的全局漸近穩(wěn)定性：

x′(t)=-a(t)x(t)+c(t)x′(t-τ1(t))+q(t,x(t-τ2(t)),x′(t-τ2(t)))+

(3)

為了給出本文結(jié)果，對方程(3)作出以下假設(shè)：

(H2) 對任意xi、yi∈R,存在li、hi∈C([0,+∞),R+)，i=1,2，都有

|q(t,x1,y1)-q(t,x2,y2)|≤l1(t)|x1-x2|+l2(t)|y1-y2|,

|f(t,x1,y1)-f(t,x2,y2)|≤h1(t)|x1-x2|+h2(t)|y1-y2|,

其中q(t,0,0)=f(t,0,0)=0,t≥0；

(H3) 存在常數(shù)α∈(0,1)，對t≥0，有

此外，對任意t0∈[0,+∞)，設(shè)方程(3)的初始函數(shù)空間為

2 主要結(jié)論

對任意(t0,φ)∈[0,+∞)×St0,若x∈C1([dt0,+∞))在[t0,+∞)上滿足方程(3)，且當(dāng)t∈[dt0,t0]時，x(t)=φ(t)，則稱x為方程(3)經(jīng)過(t0,φ)的解，記為x(t)=x(t,t0,φ) 。

定義2[5]若方程(3)的零解是穩(wěn)定的，且對任意t0≥0，φ∈St0，都有

則稱方程(3)的零解是全局漸近穩(wěn)定的。

證明對任意t0≥0，設(shè)

D={x∈X:x(t)=φ(t),t∈[dt0,t0]},

顯然，D為X的一個非空閉子集。定義算子P:D→C([dt0,+∞))如下:對任意x∈D，當(dāng)t∈[dt0,t0]時，(Px)(t)=φ(t)；當(dāng)t≥t0時，

q(s,x(s-τ2(s)),x′(s-τ2(s)))]ds+

(4)

首先證明P:D→D。對任意x∈D，當(dāng)t>t0時，

-a(t)(Px)(t)+c(t)x′(t-τ1(t))+q(t,x(t-τ2(t)),x′(t-τ2(t)))+

(5)

由St0的定義可知，

max{|x(t)|,|x′(t)|,|x(t-τi(t))|,|x′(t-τi(t))|}<ε,i=1,2,

(6)

對于(4)式，由(H1)—(H3)和(6)式可知，對任意t≥T以及x∈D，有

|(Px)(t)|≤

此外，存在T1>T，使得對任意t>T1，有

|(Px)′(t)|≤|a(t)(Px)(t)|+|c(t)x′(t-τ1(t))|+

|a(t)(Px)(t)|+|c(t)x′(t-τ1(t))|+l1(t)|x(t-τ2(t))|+

接著證明P:D→D是一個壓縮映射。對任意x,y∈D，當(dāng)t≥t0時，

|q(s,x(s-τ2(s)),x′(s-τ2(s))-q(s,y(s-τ2(s)),y′(s-τ2(s)))|ds]+

(7)

此外，由(5)式、(7)式以及(H3)可知，對任意x,y∈D，當(dāng)t≥t0時，

|(Px)′(t)-(Py)′(t)|≤|a(t)||(Px)(t)-(Py)(t)|+|c(t)||x′(t-τ1(t))-

y′(t-τ1(t))|+|q(t,x(t-τ2(t)),x′(t-τ2(t)))-q(t,y(t-τ2(t)),y′(t-τ2(t)))|+

(8)

由(7)式和(8)式可知，P:D→D是一個壓縮映射。由壓縮映射原理可知，P在D中有唯一不動點x。x是方程(3)經(jīng)過(t0,φ)的唯一解，且滿足

(9)

若x(t)=x(t,t0,φ)是方程(3)經(jīng)過(t0,φ)的一個解，其中|φ|t0<δ，則對任意t≥t0,x(t)=(Px)(t)?？梢宰C明‖x‖t0<ε。否則存在t*>t0,使得max{|x(t*)|,|x′(t*)|} =ε且t

這與t*的定義相矛盾。若|x′(t*)|=ε，則由(H2)、(H3)和(5)式可得

|x′(t*)|≤|a(t*)x(t*)|+c(t*)x′(t*-τ1(t*))+

l1(t*)|x(t*-τ2(t*))|+l2(t*)|x′(t*-τ2(t*))|+

這與t*的定義相矛盾。因此(3)式的零解是穩(wěn)定的。由(9)式可知，(3)式的零解是全局漸近穩(wěn)定的。故定理1得證。

3 實 例

為了說明定理1的有效性，下面給出了兩個實例。

例1 考慮以下非線性中立型積分微分方程

x′(t)=-a(t)x(t)+c(t)x′(t-τ1(t))+q(t,x(t-τ2(t)),x′(t-τ2(t)))+

(10)

令l1(t)=l2(t)=1/[20(1+t)],h1(t)=h2(t)=1/[10(1+t)],(H2)成立。

注2 文獻[3-4]給出的定理不能用于判別(10)式的零解全局漸近穩(wěn)定。

例2 考慮以下非線性中立型積分微分方程

x′(t)=-a(t)x(t)+c(t)x′(t-τ1(t))+q(t,x(t-τ2(t)),x′(t-τ2(t)))+

(11)

令l1(t)=l2(t)=1/[20(1+t2)],h1(t)=h2(t)=1/[10(1+t2)],(H2)成立。

注3 文獻[3-4]給出的定理不能用于判別(11)式的零解全局漸近穩(wěn)定。