一類二階泛函微分方程正解的存在性

劉 洋， 范虹霞

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

時(shí)滯微分方程[1]是具有時(shí)間滯后特點(diǎn)的微分方程，可以描述當(dāng)前的和過去一段時(shí)間的系統(tǒng)狀態(tài)。時(shí)滯微分方程的研究在近60年來被廣泛關(guān)注，其中最著名的一個(gè)例子是1960年代提出的電動(dòng)力學(xué)中的二體問題[2]。之后，時(shí)滯微分方程大量出現(xiàn)在物理學(xué)[3]、自動(dòng)控制[4]、種群增長模型[5]等諸多學(xué)科的研究之中。近年來，時(shí)滯微分方程解的存在性的研究也獲得較多關(guān)注，出現(xiàn)了許多關(guān)于時(shí)滯微分方程周期解的存在性及多解性的結(jié)果，在文獻(xiàn)[6-10]中都有提及。

Fan等[11]運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理研究了二階非線性常微分方程

(1)

解正性的缺失。與此同時(shí)，有關(guān)普通常微分方程邊值問題解的存在性研究[12-17]已經(jīng)日趨完善。而對于Banach空間中依賴于過去時(shí)間狀態(tài)的微分方程邊值問題的解的存在性研究較少。受到文獻(xiàn)[11]的啟發(fā)，本文研究帶有時(shí)滯的二階泛函微分方程四點(diǎn)邊值問題正解的存在性，其中f:[0,1]×Cr→R+是連續(xù)函數(shù)，對任意固定的r∈R+，Cr表示所有的連續(xù)函數(shù)

(2)

記Cr,0={ψ∈Cr|ψ(0)=0}，則ut在Cr中可定義為

其中φ∈Cr,0。

對固定的ω∈[-r,0]，邊值問題(2)的一個(gè)解u是指u∈C2[0,1]，且u滿足(2)中的邊界條件，并對給定的φ，有

u″(t)+f(t,ut(ω;φ))=0，t∈(0,1)。

本文運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理，在-1<ω≤0和-r<ω≤0兩種情形下，研究問題(2)正解的存在性。

1 主要假設(shè)和結(jié)論

下面給出本文要用的假設(shè)。

(A1) 1+βη>β；

(A2) 1-αξ>0；

(H2) 存在p1、p2，0≤-ω≤p1

(H3) 存在p1、p2，0≤p1

下面列出本文的主要結(jié)果。

對-1<ω≤0有以下存在性結(jié)果：

定理1 假設(shè)條件(A1)、(A2)及(H1)、(H2)成立，則對給定的φ∈Cr,0，‖φ‖J≤λ，邊值問題(2)至少有一個(gè)正解u，且滿足λ<‖u‖<μ。

對-r<ω≤0有以下存在性結(jié)果：

定理2 假設(shè)條件(A1)、(A2)及(H1)、(H3)成立，則對給定的φ∈Cr,0，‖φ‖J≤min{λ,μ}，邊值問題(2)至少有一個(gè)正解u，且滿足λ<‖u‖<μ。

2 預(yù)備知識

以下列出本文要用的主要工具。

(ⅰ) ‖Ax‖≤‖x‖，?x∈K∩?Ω1， ‖Ax‖≥‖x‖，?x∈K∩?Ω2；

(ⅱ) ‖Ax‖≤‖x‖，?x∈K∩?Ω2， ‖Ax‖≥‖x‖，?x∈K∩?Ω1；

引理1[12]設(shè)Δ=α(1+βη)+β(1-αξ)，則邊值問題(2)有唯一的解

其中

引理2 假設(shè)條件(A1)、(A2)成立，則對任意的p1、p2且0≤p1

證明由引理1及(A1)、(A2)容易證明

再由(A1)、(A2)可得

所以有

證畢。

為方便起見，記

3 主要結(jié)論的證明

顯然邊值問題(2)有一個(gè)解u=u(t)，當(dāng)且僅當(dāng)問題(2)的解u是算子Aφ的不動(dòng)點(diǎn)。

容易驗(yàn)證Aφ:K→K是全連續(xù)的。

下面驗(yàn)證算子Aφ滿足定理A中的(ⅰ)。

因此，‖Aφu‖≤‖u‖，u∈?Ω1∩K。

第二步設(shè)Ω2:={u∈K|‖u‖<μ}，對u∈?Ω2，有

從而mμ≤u(t)≤μ,t∈[p1,p2]。此外，對s∈[p1,p2],0≤-ω≤p1

對u∈?Ω2，這就有‖Aφu‖≥‖u‖。

定理2(證明)

第一步這個(gè)問題第一步的證明與定理1的證明類似。

第二步設(shè)Ω2:={u∈K|‖u‖<μ}，對u∈?Ω2，有

從而mμ≤u(t)≤μ,t∈[p1,p2]。此外，對s∈[p1,p2]，有

即‖us(ω;φ)‖≤μ，因此

對u∈?Ω2，這就有‖Aφu‖≥‖u‖。

4 應(yīng) 用

性質(zhì)P假設(shè)f(t,ψ)滿足下列條件：

給定p1、p2且0≤p1

(Ⅰ) 若maxf0:=C1∈[0,A)，取ε=A-C1，存在λ1>0(λ1可任意的小)，使得對任意ψ∈Cr,‖ψ‖J≤λ1，有

因此f(t,ψ)≤A‖ψ‖J≤Aλ1,t∈[0,1],ψ∈Cr,‖ψ‖J∈[0,λ1]，則假設(shè)條件(H1)成立。

(Ⅳ) 如果maxf∞:=C4∈[0,A)，取ε=A-C4>0，存在θ>0(θ可任意的大)，使得對任意ψ∈Cr,‖ψ‖J≥θ，有

(3)

現(xiàn)在有下面兩種情形。

f(t,ψ)≤L，t∈[0,1]，ψ∈Cr，

取λ2=L/A，因此f(t,ψ)≤L=Aλ2，t∈[0,1],ψ∈Cr,‖ψ‖J∈[0,λ2]。

蘊(yùn)含f(t,ψ)≤f(t0,φ)，t∈[0,1],ψ∈Cr,‖ψ‖J∈[0,λ2]。

由λ2≥θ和(3)式，得

f(t,ψ)≤f(t0,φ)≤A‖φ‖J=Aλ2，t∈[0,1],ψ∈Cr,‖ψ‖J∈[0,λ2]。

由情形1和情形2，可知假設(shè)條件(H1)成立。

推論1 假設(shè)f滿足性質(zhì)P且存在p1、p2,0≤-ω≤p1

可以有相應(yīng)的結(jié)果(ⅰ)和(ⅱ)成立：

(ⅰ) 對任意給定的φ∈Cr,0，且‖φ‖J足夠小，邊值問題(2)有一個(gè)正解；

(ⅱ) 對任意給定的φ∈Cr,0，邊值問題(2)有一個(gè)正解。

推論2 假設(shè)f滿足性質(zhì)P且存在p1、p2,0≤-ω≤p1

(H7) 存在λ*>0是得f(t,ψ)≤Aλ*，t∈[0,1],ψ∈Cr,‖ψ‖J∈[0,λ*]，

則對任意給定的φ∈Cr,0，且‖φ‖J≤λ*，邊值問題(2)至少有兩個(gè)正解u1、u2且0<‖u1‖<λ*<‖u2‖。

證明存在兩個(gè)實(shí)數(shù)μ1、μ2滿足0<μ2<λ*<μ1，

f(t,ψ)≥Bμ1，t∈[p1,p2],ψ∈Cr,‖ψ‖J∈[mμ1,μ1]，

f(t,ψ)≥Bμ2，t∈[p1,p2],ψ∈Cr,‖ψ‖J∈[mμ2,μ2]。

因此，由定理1對任意給定的φ∈Cr,0，有‖ψ‖J∈[0,λ*]，邊值問題(2)有兩個(gè)正解u1、u2使得μ2<‖u1‖<λ*<‖u2‖<μ1，運(yùn)用兩次定理A知算子有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。