一類數(shù)論函數(shù)的均值估計(jì)

郭 穎, 魯思彤, 馬 晶

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

0 引 言

Dirichlet證明了

文獻(xiàn)[4-5]分別改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]中關(guān)于一般數(shù)論函數(shù)的結(jié)果: 文獻(xiàn)[4]證明了若有α∈[0,1),θ≥0, 使得f(n)?nα(logn)θ, 則

文獻(xiàn)[5]證明了如果數(shù)論函數(shù)f滿足Ramanujan假設(shè)f(n)?nε(n≥1), 則

文獻(xiàn)[6]對(duì)Euler函數(shù)φ討論了類似的均值, 證明了

(1)

受文獻(xiàn)[6]研究工作的啟發(fā), 本文對(duì)滿足適當(dāng)條件的一般數(shù)論函數(shù)f給出Sf(x)的界, 得到如下主要結(jié)果:

(2)

則當(dāng)x→∞時(shí), 有

(3)

易見, 式(1)可作為定理1的直接推論.記f(x)=O(g(x))或f(x)?g(x)表示存在一個(gè)正的常數(shù)A(與x無關(guān)), 使得對(duì)所有充分大的x都有不等式|f(x)|≤Ag(x).函數(shù)[·]表示向下取整函數(shù), [1/4]=0.關(guān)于指數(shù)對(duì)理論可參見文獻(xiàn)[13].

1 預(yù)備命題

設(shè)ψ(t)∶=t-[t]-1/2,δ∈{0,1}, 對(duì)任意的x≥2和1≤D≤x, 定義

記e(x)=exp{x}=ex.

引理1[14]對(duì)x≥1,H≥1, 有

其中e(t)∶=e2πit,Φ(t)∶=πt(1-|t|)cot(πt)+|t|, 并且余項(xiàng)RH滿足

命題1

Sδ(x,D)?(xκD1+λ)1/(κ+1)+xκD1-2κ+λlogx+x-1D3,

(4)

其中(κ,λ)是指數(shù)對(duì).

記

由引理1可得

其中H≥1.記

(6)

其中

其中

因此, 對(duì)H≥1, 有

(8)

結(jié)合式(6)～(8)可得

Sδ(x,D,m,N)?NH-1+xκN-2κ+λHκ+x-1mN2.

(9)

最后, 利用引理2消去參數(shù)H.對(duì)H≥1,H的取值范圍為[1,N], 用引理2對(duì)式(9)進(jìn)行優(yōu)化, 得

將式(10)代入式(5), 可得

注意到對(duì)里層m求和時(shí), 應(yīng)用到

因此式(4)成立.證畢.

2 定理1的證明

令D∈[1,x1/2)為待定參變量,Sf(x)可分為兩部分:

Sf(x)∶=S1(x)+S2(x),

(12)

(13)

又由已知條件式(2)可得

(15)

且

(16)

此時(shí), 記

將式(15)～(17)代入式(14), 可得

S2(x)≤Axlog(x/N)+O(x4/3N-1+xN-1/2logx+x2N-3).

(18)

最后, 將式(13)，(18)代入式(12)可得

Sf(x)≤xlogN+Axlog(x/N)+O(x4/3N-1+xN-1/2logx+x2N-3+x).

取N=x1/3得

記

記Dk∶=D/2k,K為滿足DK+1<1≤DK的整數(shù).通過二分法分離變量和命題1代入指數(shù)對(duì)(κ,λ)=(1/2,1/2), 有

將式(20)代入式(19), 可得

S(x)≥AxlogD+O(x1/3D+x1/2D1/2logx+x-1D3).