求解體制轉(zhuǎn)換模型下美式期權(quán)定價問題的投影收縮算法

高子涵, 黃存昕, 宋海明, 周搏成

(吉林大學 數(shù)學學院, 長春 130012)

0 引 言

由于標準的美式期權(quán)無法準確解釋由短期政治或經(jīng)濟不確定性而引起的周期性變化, 因此關(guān)于體制轉(zhuǎn)換下的期權(quán)定價模型研究得到廣泛關(guān)注. 假設(shè)標的資產(chǎn)S在ρ種體制下滿足隨機微分方程

(1)

(2)

(3)

與傳統(tǒng)美式期權(quán)定價問題類似, 體制轉(zhuǎn)換模型(2)在每種體制下都存在一條最佳實施邊界, 記為Bi(t).由于最佳實施邊界的存在以及不同體制下期權(quán)價格的耦合關(guān)系, 使變分不等方程(2)成為高度非線性變系數(shù)問題, 又因為該問題的求解區(qū)域無界, 因此很難給出高精度的數(shù)值算法.針對上述問題, 本文先利用相應的變量替換和遠場截斷技巧將原問題簡化為有界區(qū)域上的非線性問題, 再針對得到的非線性問題設(shè)計去除非線性影響的半隱式差分格式, 最后采用投影收縮算法(簡稱PCM算法)對離散系統(tǒng)進行快速求解.

1 模型簡化

下面以兩種體制下的美式看跌期權(quán)為例進行討論.首先通過變量替換[2]

t=T-τ,S=exp{x}，

(4)

將變系數(shù)方程(2)轉(zhuǎn)化為常系數(shù)形式:

(5)

進一步, 令V(x,τ,i)=W(x,τ,i)exp{αiτ+βix}[3], 其中

則方程(5)可簡化為

(6)

其中g(shù)(x,τ,i)=exp{-αiτ-βix}(K-exp{x})+,ξ=α2-α1,η=β2-β1.

由于簡化模型(6)是定義在無窮區(qū)域上的拋物型變分問題, 直接截斷求解區(qū)域會導致數(shù)值解不穩(wěn)定或不精確, 因此本文將給出合理的截斷策略.

引理1[4]當σ1≥σ2,r1=r2時, 有

KX≤Bi(τ)≤K,Bi(0)=K，

其中X=min{X1,X2}.

引理3[5]給定ε∈(0,1), 則有

其中

進一步, 若r1=r2, 則有

Vi(x,τ)≤ε, ?x≥L0, 0<τ≤T,

根據(jù)引理1中關(guān)于期權(quán)價格和最佳實施邊界的估計式, 當r1=r2時, 可將變分不等問題(6)的求解區(qū)域進行截斷， 并給出合理的邊界條件.由標準看跌期權(quán)的性質(zhì)可知, 當S≤Bi(t)時,Vi(x,t)=(K-S)+.因此, 對于左邊界, 根據(jù)引理2, 只要滿足截斷位置小于等于KX, 即可給出變分不等問題(2)的精確邊界條件, 進而在x≤ln(KX)處截斷, 便能給出變分不等問題(6)在左邊界處的精確邊界條件.根據(jù)引理3, 當給定足夠小的誤差限ε后, 變分不等問題(6)便可在x≥L0處截斷并設(shè)置0邊值條件.為敘述方便, 本文取L=max{-ln(KX),L0}作為截斷長度, 截斷后的求解區(qū)域用[-L,L]表示.因此， 有如下命題.

命題1給定ε∈ (0,1), 令L= max{-ln(KX),L0}.在滿足引理1的條件下, 取截斷長度為L, 則變分不等問題(6)左邊界條件精確成立, 右邊界估值合理.

基于上述討論, 問題(6)可化為如下有界規(guī)則區(qū)域上的線性互補問題:

(7)

至此, 已將無界區(qū)域上非線性問題(2)轉(zhuǎn)化為有界區(qū)域問題(7).

2 數(shù)值解法

首先考慮對線性互補問題(7)進行半隱式差分離散, 然后設(shè)計求解離散系統(tǒng)的PCM算法.在進行數(shù)值離散前, 先給出一些符號.假設(shè)時間剖分和空間剖分分別為

此時可將方程(7)轉(zhuǎn)化為如下離散形式：

(8)

(9)

其中

Ci=-Δτaildiag(exp{(-1)l(ξτn+ηxj)}), 1≤j≤Nx-1,

記

則式(9)可改寫為

(MΦ+F,Φ-G)=0.

(10)

同理式(8)中的約束條件可簡寫為

MΦ+F≥0,Φ-G≥0.

(11)

定理1約束條件(11)中的矩陣M對稱正定.

證明: 對稱性顯然, 下證正定性.由矩陣M的定義可知,M為嚴格對角占優(yōu)矩陣.設(shè)λ為矩陣M的任一特征值, (mij)為矩陣元素, 根據(jù)Gerschgorin定理[6]有

λ≥mi,i- |mi,i-1|-|mi,i+1|>0.

(12)

由對稱性及特征值全部為正數(shù)可知, 矩陣M是一個對稱正定矩陣.

由文獻[7]可知, 若矩陣M對稱正定, 則線性互補問題(10),(11)解存在唯一, 進而可得本文離散系統(tǒng)解的存在唯一性.

定理2離散格式(8)穩(wěn)定, 即‖Φn+1‖∞≤C‖Φ0‖∞.

從而有

‖Φn+1‖∞≤(1+Δτailexp{(-1)l(ξτn+ηxj)})‖Φn‖∞.

(13)

‖Φn+1‖∞≤(1+Δτa)‖Φn‖∞.

因為max{exp{-αiΔτ},1+aΔτ}n+1=max{exp{-αiΔτ(n+1)},(1+aΔτ)n+1}, 所以有

令C=max{exp{-αiT},exp{aT}}, 則可得結(jié)論.證畢.

3 PCM收斂性分析

考慮線性變分不等問題(LVI):

(V-Φ)T(MΦ+F)≥0,Φ∈Ω, ?V∈Ω.

(14)

當Ω={Φ∈n|Φ≥0}時, 線性互補問題(LCP)是一個特殊的(LVI)問題, 其中(LCP)問題為

Φ≥0, (MΦ+F)≥0,ΦT(MΦ+F)=0.

(15)

故可借助(LVI)問題的性質(zhì)研究(LCP)問題的性質(zhì). 下面針對(LVI)問題的PCM算法給出收斂性分析.

(LVI)問題等價于下列線性投影問題[8]：

e(Φ)=Φ-PΩ[Φ-(MΦ+F)].

(16)

對給定的Φ0∈n, 如果Φk?Ω*, 則定義迭代Φk+1=Φk-ρ(Φk)d(Φk), 上行方向

d(Φk)=(MT+I)e(Φk),

設(shè)問題(14)的解集為Ω*, 由PCM算法的定義, 可得如下引理.

引理4[8]任取Φ*∈Ω*, 則(Φ-Φ*)T(I+MT)e(Φ)≥‖e(Φ)‖2, ?Φ∈n.

引理5[8]由PCM算法產(chǎn)生的序列{Φk}滿足

‖Φk+1-Φ*‖2≤‖Φk-Φ*‖2-ρ(Φk)‖e(Φk)‖2, ?Φ*∈Ω*.

‖Φk+1-Φ*‖2≤‖Φk-Φ*‖2-c‖e(Φk)‖2, ?Φ*∈Ω*.

(17)

式(17)表明‖e(Φ)‖是測量Φ與Ω*之間距離的函數(shù), 如果‖e(Φ)‖較大, 則每次迭代可以向解集近一步, 如果‖e(Φ)‖較小, 則表明Φk能很好地近似Ω*中的一個解Φ*.根據(jù)文獻[8]中的收斂性理論可給出如下定理.

定理3由PCM算法產(chǎn)生的序列{Φk}收斂于解集Ω*中的某個解Φ*, 且當Ω={Φ|Φ≥0}時, {Φk}全局線性收斂于Φ*∈Ω*.

則序列{Φk}有界.此外, 由式(17)可得

且有

令Φ*是{Φk}的一個聚點且有子列{Φkj}收斂于Φ*.因為e(Φ)連續(xù), 故有

即Φ*是(LVI)問題的一個解.因為Φ*∈Ω*, 且

‖Φk+1-Φ*‖≤‖Φk-Φ*‖,

(18)

(20)

式(19)和式(20)相加, 則有

(Φ-w)(I+MT)e(Φ)≥‖e(Φ)‖2.

令Φ=w, 則有e(w)=0, 即w∈Ω*, 故Ω*是一個閉凸集.因為{Φk}收斂到一個解Φ*, 且

{Φk}?{Φ∈n|‖Φ-Φ*‖≤‖Φ0-Φ*‖},

由式(17),(18)可知

(21)

其中0<1-cη2<1, 即滿足全局線性收斂.

4 數(shù)值實例

考慮對一年期(T=1)美式看跌期權(quán)定價問題(2)進行數(shù)值模擬, 對于方程(2), 選取文獻[2]中的參數(shù)：

(22)

圖1 不同體制模型下PCM算法與TT算法求得的期權(quán)價格二維圖像對比Fig.1 Comparison of two-dimensional images of option prices obtained by PCM algorithm and TT algorithm under different regime models

雖然文獻[2]指出式(22)中r1≠r2, 但本文截斷技巧仍然有效.在命題1中, 取ε=10-6, 可得截斷邊界L=7.494 8.在差分離散中, 取時間分劃份數(shù)Nt=800, 空間分劃份數(shù)Nx=600.在PCM中, 取ν=0.9,μ=0.1,ρ=1.9.則在上述參數(shù)設(shè)定下, PCM算法求得的期權(quán)價格與三叉樹算法(簡稱TT算法)求得的期權(quán)價格對比結(jié)果如圖1所示. 由圖1可見, PCM算法求解的期權(quán)價格與TT算法求解結(jié)果非常接近, 表明了本文算法的正確性. 當Nt=500,Nx=300時, TT算法的運算時間約是PCM算法的15倍, 證明了PCM算法的有效性. PCM算法求得期權(quán)價格的三維圖像如圖2所示.

圖2 不同體制模型下PCM算法求得期權(quán)價格的三維圖像Fig.2 Three-dimensional images of option prices obtained by PCM algorithm under different regime models

綜上, 本文研究了體制轉(zhuǎn)換下美式期權(quán)定價問題的數(shù)值解法. 首先通過分析體制轉(zhuǎn)換美式期權(quán)與傳統(tǒng)美式期權(quán)在價格和最佳實施邊界上的關(guān)系, 給出合理的區(qū)域截斷策略和邊界條件, 將其轉(zhuǎn)化為有界區(qū)域上的線性互補問題; 然后針對線性互補問題的結(jié)構(gòu), 采用半隱式差分格式進行數(shù)值離散, 并給出差分格式的穩(wěn)定性證明; 最后根據(jù)離散系統(tǒng)的特點, 采用PCM算法進行求解, 給出了該算法的收斂性分析, 并通過數(shù)值模擬驗證了PCM算法的有效性.