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    數缺形時少直觀 形缺數時難入微
    ——2022屆高三八省聯考數學卷21題的深入探究

    2022-08-30 06:38:22王東海
    數理化解題研究 2022年22期
    關鍵詞:過點四邊形思路

    王東海

    (安徽省肥東縣城關中學 231600)

    2022年高三八省聯考試卷第21題是一道新穎的解析幾何大題,它采用開放性的二選一題型,給了學生很大的自由發(fā)揮空間.主要考查了圓錐曲線方程求解、四邊形面積最值、三等分點問題,試題穩(wěn)中求新,體現了考題的基礎性、綜合性、創(chuàng)新性,考查了學生數學運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)和關鍵能力,本文從該題的解法探究入手,然后再回到課本中追本溯源,最后對此題進行一般化推廣和變式探究,以期對教學、研究、學習提供幫助.

    1 試題呈現

    (1)求Γ的方程;

    (2)如圖1,過原點O作互相垂直的直線l1,l2,分別交雙曲線于A,B兩點和C,D兩點,點A,D在x軸同側,請從①②兩個問題中任選一個作答:①求四邊形ABCD面積的取值范圍;②設直線AD與兩漸近線分別交于M,N兩點,是否存在直線AD使M,N為線段AD的三等分點,若存在,求出直線AD方程;若不存在,說明理由.

    圖1

    2 解法探究

    探究思路1 (1)題難度不大,略.對于(2)題,選擇①,求四邊形ABCD面積的取值范圍時,其通解通法是使用函數法,考慮利用直線AB的斜率來表示四邊形的面積.

    直線l1與雙曲線Γ交于A,B兩點,故3-k2≠0,且Δ1=12(3-k2)>0.所以k2<3.

    根據對稱性可知四邊形ABCD為菱形,其面積

    所以SACBD∈[6,+∞).

    探求思路2 如果不建立面積關于直線斜率k的函數,也可以選擇用點的坐標來表示面積,即采用點驅動的方法,也可以處理此題.

    解析2 不妨設點A,D在x軸上方,設A(x1,y1),C(x2,y2),則x1>1,y2<0.

    所以四邊形ACBD面積

    所以S2=(2|x1y2-x2y1|)2

    所以S≥6.

    故四邊形ACBD面積的取值范圍為[6,+∞).

    探究思路3此題還可使用齊次化法,從而構造出兩條直線的斜率,利用垂直得到關鍵等式.

    (3m2-3)x2+(3n2+1)y2+6mnxy=0.

    易知A,D的坐標(x1,y1),(x2,y2)是方程①的解,將①式左右兩邊除以x2,得

    即SACBD∈[6,+∞).

    探究思路4此題兩條直線都經過原點這個定點,故考慮利用直線參數方程來求弦長.

    解析4設直線AB的參數方程為

    聯立雙曲線方程,可得

    因為AB⊥CD,故同理可得

    所以16sin2αcos2α=(2sin2α)2∈(3,4].

    所以SACBD∈[6,+∞).

    探究思路5題中直線AB和直線CD都經過原點,這里還可使用極坐標方程來求弦長.

    3 追本溯源

    這道八省八校解析幾何大題使用的方法多樣,其實課本早有鋪墊,它嚴格地貫徹了源于教材,高于教材的命題原則.它與人教版選修4-4中第15頁習題有著很大的相似性:

    已知橢圓的中心為O,長軸、短軸的長分別為2a,2b(a>b>0),A,B分別為橢圓上的兩點,且OA⊥OB.

    (2)求△AOB面積的最大值和最小值.

    由此啟發(fā)我們在教學中要回歸教材,一要讓教材和教輔資料各盡其責、物盡其用,防止本末倒置;二要重視教材中在知識發(fā)生和發(fā)展中呈現的那些經典的思維模式;三要注意挖掘教材中例題習題背后廣泛而深遠的意義,提煉更深層次的公式和結論,使學生深化相關知識.

    4 推廣探究

    經深入思考,通過縱向、橫向和逆向的方法進行探究,得到此試題有如下拓展推廣結論:

    故SACBD=4S△OAD=2ρ1ρ2

    證明由結論2證明知

    而在△OAD中由面積法知

    證明設直線AB的參數方程為

    (b2cos2θ+a2sin2θ)t2+2cb2cosθ·t-b2=0.

    因為0≤sin22θ≤1,

    5 鏈接高考

    題1 (2016年高考全國Ⅰ卷理數20題)設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過點B作AC的平行線交AD于點E,設點E軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過點B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

    綜上所述,解析幾何綜合題通?;趲缀涡再|或定理出發(fā),通過特殊化,變更條件和結論來命題,特別對橢圓和拋物線的對偶性質,教師要挖掘問題的本質和內涵思想方法,要研究習題的變式推廣,發(fā)展學生思維;要研究一題多解,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識.

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