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    對2022年高考乙卷理科數(shù)學(xué)第20題的多角度探析

    2022-08-30 06:40:22
    數(shù)理化解題研究 2022年22期
    關(guān)鍵詞:共線切點(diǎn)調(diào)和

    金 毅

    (內(nèi)蒙古呼和浩特市第二中學(xué) 010000)

    1 試題呈現(xiàn)

    (1)求E的方程;

    2 試題探析

    圖1

    探析1 (常規(guī)解法)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),其方程可設(shè)為y=k(x-1)-2.

    (3k2+4)x2-(6k2+12k)x+3k2+12k=0.

    所以直線NH方程為

    當(dāng)x=0時(shí),可得

    由上可知,直線過點(diǎn)(0,-2).

    點(diǎn)評常規(guī)解法的關(guān)鍵是以點(diǎn)M的坐標(biāo)為主,用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示點(diǎn)T,H的坐標(biāo),進(jìn)而表示NH的直線方程.故常規(guī)解法的根本是要依托幾何關(guān)系找到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示方程,進(jìn)而完成解答.

    因?yàn)辄c(diǎn)P(1,-2)在此直線上,可得恒等式

    可得直線NH的方程為

    根據(jù)①,事實(shí)上

    所以直線方程可以寫為

    當(dāng)x=0時(shí),根據(jù)②,

    所以直線過定點(diǎn)(0,-2).

    點(diǎn)評本解法從橢圓的參數(shù)方程入手,首先用參數(shù)方程表示直線MN,因?yàn)辄c(diǎn)P在此直線上,所以可得到兩個(gè)恒等式,之后寫出直線NH方程,借助剛才得到的兩個(gè)恒等式,化簡了直線NH的斜率和縱截距的表達(dá)式,最后算出定值.

    比較系數(shù),可得

    所以點(diǎn)H,A,N共線,直線NH過定點(diǎn)A(0,-2).

    點(diǎn)評這個(gè)方法較好地發(fā)揮了直線參數(shù)方程的優(yōu)勢,用帶有直線參數(shù)的坐標(biāo)來表示向量.之后,通過對向量的運(yùn)算以及比較系數(shù),證明了向量線性表達(dá)式中系數(shù)和為1,進(jìn)而證明三點(diǎn)共線.

    (4m2+3)y2+(8m-12)y+4=0.

    可得直線NH的方程為(y1-y2)x-(3y1-x1-x2)y-(x1y2+x2y1-3y1y2)=0.又x1y2+x2y1-3y1y2=(2m-3)y1y2+(y1+y2)=0.

    所以可得NH通過點(diǎn)A(0,-2).

    點(diǎn)評本解法的優(yōu)點(diǎn)在于平移之后簡化了直線方程,這直接簡化了后續(xù)的計(jì)算量,比常規(guī)解法更加省時(shí)省力,解題時(shí)不妨一試.

    探析5 (仿射變換)在用此方法解題之前,先給出幾個(gè)引理.為方便證明題目,引理中所涉及點(diǎn)與題目中的點(diǎn)對應(yīng)一致.

    引理1 過圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一點(diǎn)P′(x0,y0)引圓的切線,切點(diǎn)為A′,B′,則直線A′B′的方程(切點(diǎn)弦方程)為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

    引理2 給定一組調(diào)和點(diǎn)列N′,C,M′,P′,過這條直線外取一點(diǎn)A′,則稱射線A′N′,A′C,A′M′,A′P′為一組調(diào)和線束.

    引理3給定一個(gè)圓,以及圓外一點(diǎn)P′,過點(diǎn)P′作這個(gè)圓的切線P′A′,P′B′(A′,B′為切點(diǎn))以及割線P′M′N′,那么A′N′,A′C,A′M′,A′P′是調(diào)和線束,從而N′,C,M′,P′是調(diào)和點(diǎn)列.

    引理4 給定一組調(diào)和線束A′N′,A′C,A′M′,A′P′,過點(diǎn)M′作M′K∥A′P′,且M′K交A′C于點(diǎn)T′,則KT′=T′M′.(作任一調(diào)和線束的平行線,該線被其它線束平分)

    其中,引理1來自于文獻(xiàn)[1],引理2,3,4均來自于文獻(xiàn)[2]中定義4、性質(zhì)4、性質(zhì)7,限于篇幅,本文不再證明.

    圖2

    又因?yàn)镠′T′=T′M′,所以點(diǎn)H′與點(diǎn)K重合.故得到N′,H′,A′三點(diǎn)共線,則根據(jù)仿射變換的性質(zhì),直線在仿射后仍然為直線,所以N,H,A三點(diǎn)共線.

    點(diǎn)評探析5揭示了本題的背景之一:調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束.如果在解決此題之前對這部分知識有相關(guān)的了解,那么解決本題時(shí)即可提前預(yù)知結(jié)論.

    3 試題推廣與探析

    根據(jù)探析5,我們可以看到,本題與調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束有關(guān),我們將從探析5出發(fā),研究調(diào)和線束的一些解析幾何性質(zhì).

    探析6(初步推廣,探析斜率關(guān)系)

    證明命題1可用探析1至4的思路來研究,限于篇幅,我們使用探析4的思路.

    由韋達(dá)定理,可得

    探析7(深入推廣,探析一般情形)

    圖3

    因?yàn)檎{(diào)和點(diǎn)列均在同一直線上,

    當(dāng)斜率不存在時(shí)易知結(jié)論成立,過程略.

    點(diǎn)評命題3,4為命題5奠定了基礎(chǔ),命題5將調(diào)和點(diǎn)列這種線段的比例數(shù)量關(guān)系逐漸轉(zhuǎn)化為斜率表達(dá)式,斜率本質(zhì)是用來刻畫幾何中的位置關(guān)系的關(guān)鍵量.

    分別設(shè)調(diào)和線束AN,AQ,AM,AP的傾斜角為θ1,θ2,θ3,θ4,其斜率分別為k1,k2,k3,k4,根據(jù)三角形外角關(guān)系,

    所以(k2-k1)(k4-k3)=(k3-k2)(k4-k1)成立.

    我們還可以得到以下類似結(jié)論,作為背景知識,以供大家參考.

    4 進(jìn)一步思考與總結(jié)

    全國乙卷這道圓錐曲線問題以深刻的背景,清晰的表達(dá),向我們呈現(xiàn)了一個(gè)圖形鮮明,解法多樣,層次多樣的數(shù)學(xué)問題.本題深刻地、綜合地考查了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),有較強(qiáng)的區(qū)分度.在平常的學(xué)習(xí)中,要特別注意對于背景結(jié)論的挖掘與反思,不能只停留在表面階段.從幾何到代數(shù),再到算理,橫向縱向多維比較才能真正做到通一類、會一類,研究透徹一類數(shù)學(xué)問題.今后的教學(xué)應(yīng)以數(shù)學(xué)問題為導(dǎo)向,深入挖掘,多面剖析,才能達(dá)到真正理解數(shù)學(xué)問題,提高數(shù)學(xué)能力的目的.

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