立足經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng) 實(shí)現(xiàn)解答自然
——以一道解析幾何定值問題的教學(xué)為例

管良梁

(安徽省合肥市第四中學(xué) 233000)

解析幾何為每年高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，解析幾何的大題基本上以準(zhǔn)壓軸題的形式出現(xiàn)，常與其他知識(shí)交匯命題，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.由于解析幾何大題涉及的知識(shí)面廣、數(shù)學(xué)運(yùn)算復(fù)雜等原因，導(dǎo)致學(xué)生在解答這類題時(shí)不知道從哪里下手.因此教師在講解這類問題時(shí)一定要立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，使得問題的解答流暢、自然，易于學(xué)生理解.

1 例題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A，與直線x=3相交于點(diǎn)B，求證：∠AFB的大小為定值.

①

②

又因?yàn)閍2=b2+c2,

③

所以由①②③,得a2=3，b2=2，c2=1.

(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0.

由Δ=24(3k2-m2+2)=0,得m2=3k2+2.

因?yàn)橛医裹c(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，

所以∠AFB=90°.

即∠AFB的大小為定值.

2 途徑嘗試

2.1 從特殊情況出發(fā)

根據(jù)題意從特殊情況出發(fā)得出一個(gè)值(此值一般就是定值)，然后證明定值，即將問題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)(某些變量)無關(guān).

圖1

由勾股定理，得

所以|AF|2+|BF|2=|AB|2.

由勾股定理逆定理可得∠AFB=90°.

②當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，直線x=3與x軸交于點(diǎn)E，如圖2所示.以下同資料提供的解答.

圖2

綜上，∠AFB的大小為定值.

圖3

2.2 從問題結(jié)論出發(fā)

將要證明的結(jié)論用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對(duì)值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值.

|FB|2=4+9k2+6km+m2，

因?yàn)閙2=3k2+2，

所以|FA|2+|FB|2-|AB|2

因?yàn)椤螦FB∈(0°，180°)，所以∠AFB=90°.

點(diǎn)評(píng)解法2的思維非常簡(jiǎn)單，因?yàn)橐C明∠AFB的大小為定值，所以只需要根據(jù)已知條件計(jì)算出cos∠AFB的值為定值即可.

3 結(jié)論拓展

4 總結(jié)反思

4.1 夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)

平時(shí)的教學(xué)要立足于課本，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí).教師應(yīng)從教材的例題和習(xí)題中尋找試題的“根”，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，要列出具有典型性和代表性的題目進(jìn)行講解分析和訓(xùn)練，而且還要進(jìn)行一題多變的訓(xùn)練.通過對(duì)題目的式子、圖形、條件、結(jié)論、表達(dá)方式等的變化轉(zhuǎn)換，促進(jìn)學(xué)生觸類旁通，鞏固基礎(chǔ)知識(shí).

4.2 強(qiáng)化通性通法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視通性通法的使用和理解，通過通性通法揭示問題的本質(zhì).只有真正重視通性通法教學(xué)，才能使得學(xué)生抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，學(xué)生的核心素養(yǎng)才能得到提高.如解法1中，從直線l的斜率為0時(shí)開始研究，這樣便于學(xué)生理解.

4.3 反思解題過程

在日常的教學(xué)中教師要指導(dǎo)學(xué)生如何進(jìn)行反思，幫助學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣.教師可以和學(xué)生一起回憶問題的解答過程，找出問題所在，幫助學(xué)生分析不能順利答題的原因，提出改進(jìn)方法.教師要帶領(lǐng)學(xué)生立足已有的經(jīng)驗(yàn)，從他們的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，思考有沒有更簡(jiǎn)潔、更佳的解決問題的途徑.學(xué)生在教師的帶領(lǐng)反思中領(lǐng)悟方法，學(xué)會(huì)真正的反思，養(yǎng)成反思的好習(xí)慣.在反思中提升自我，提高解題效率.