巧作輔助線解決與梯形相關(guān)的幾何問題

劉敏

【摘要】梯形包括一般梯形、直角梯形、等腰梯形，與它們相關(guān)的性質(zhì)與判定是蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)的重要內(nèi)容.由于梯形的特殊性，一般都可以將梯形分割成一個(gè)平行四邊形與一個(gè)三角形的形式，因此在證明與梯形相關(guān)的題目時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生巧作輔助線，以讓問題轉(zhuǎn)化到與三角形或者平行四邊形相關(guān)的認(rèn)知中.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);巧作輔助線;梯形問題

作輔助線是解決幾何問題常用的一種方式，通過輔助線能將原先的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而促成問題的解決.輔助線可將圖形轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的圖形，以讓問題變得簡(jiǎn)單;輔助線能讓問題中的條件進(jìn)一步地往問題的結(jié)論靠攏，以讓問題的解決變得簡(jiǎn)單.但是作輔助線卻是部分學(xué)生做題的難點(diǎn)，他們想不到要在題目與結(jié)論之間架設(shè)這樣的“橋梁”.

因此教師要引導(dǎo)學(xué)生將同一主題的題目進(jìn)行分類，即，將輔助線分為不同的同類.學(xué)生看到類似的題目，就知道如何作輔助線，進(jìn)而提升解題能力.

1 作與梯形的一個(gè)腰相平行的輔助線

在平常的做題中會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，如果教師告訴學(xué)生這題要作一個(gè)怎樣的輔助線，他們就能將題目做出來.但是如果教師不給他們提示，他們往往就解決不了問題，可見輔助線對(duì)于學(xué)生解題的重要性.教師可讓學(xué)生將類似的梯形的問題進(jìn)行分類，將需要作相同輔助線的題目放在一起.將同一類題目聚在一起，學(xué)生很容易對(duì)其形成感性的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而促成問題的解決.同一類題目聚到一起，一道題目解決了，其他的題目也就能迎刃而解了.

比如當(dāng)教師看到直角梯形時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)直角三角形與一個(gè)平行四邊形，即，作一個(gè)與梯形腰相平行的輔助線.

例1 如圖1所示，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AB∥DC，AD=15，AB=16，BC=17. 求CD的長(zhǎng).

教師先是引導(dǎo)學(xué)生將出現(xiàn)的數(shù)據(jù)在圖形上標(biāo)注出來.他們?cè)跇?biāo)注的時(shí)候發(fā)現(xiàn)AD與CB的長(zhǎng)是知道的，∠A是直角也是知道的，如果作一條平行于CB的輔助線，就能構(gòu)成一個(gè)直角三角形，就能將要求結(jié)論轉(zhuǎn)化到直角三角中求解.

過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，

因?yàn)锳B∥CD，

所以四邊形BCDE是平行四邊形，

進(jìn)而推得DE=BC=17，CD=BE.

同時(shí)在在Rt△DAE中，由勾股定理，

得AE2=DE2-AD2，

即AE2=172-152=64，

進(jìn)而求得AE=8.

因?yàn)锽E=AB-AE=16-8=8，

所以CD=8.

學(xué)生對(duì)著結(jié)論發(fā)現(xiàn)解決這類問題時(shí)，其實(shí)就是將要求的線段通過作平行線轉(zhuǎn)化到另外一條中，進(jìn)而求解.

教師可設(shè)這樣的題目以深化，在梯形ABCD中，如圖2所示，AB∥DC， DB平分∠ADC，過點(diǎn)A作AE∥BD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠C=2∠E.求證梯形ABCD是等腰梯形;若∠BDC=30°，AD=5，求CD的長(zhǎng).

對(duì)于第1問，學(xué)生從條件AE∥BD出發(fā)，就能證明∠BDC=∠E.

因?yàn)镈B平分∠ADC，

進(jìn)而得出∠ADC=2∠BDC.

同時(shí)因?yàn)椤螩=2∠E，

得出∠ADC=∠C，

因此梯形ABCD是等腰梯形.

對(duì)于第1問的證明學(xué)生需要進(jìn)行角與角之間的轉(zhuǎn)化.

對(duì)于第2問，學(xué)生就可以作BF∥AD交DC于F，則四邊形ADFB為平行四邊形，將相關(guān)的線段通過平行進(jìn)行幻化.

學(xué)生由四邊形ABCD是等腰梯形，

得出AD=BC.BF=BC，

進(jìn)而推斷出△BFC是等腰三角形，

CF=BF=AD.

再由DB平分∠ADC，

得出∠BDA=∠BDC.

同時(shí)因?yàn)锳B∥DC，

所以∠ABD=∠BDC.∠ABD

=∠BDA.AD=AB=DF.

最后學(xué)生從AD=5，

得出DF=FC=5，

進(jìn)而推出DC=10.

2 分別作與梯形的兩個(gè)腰相平行的兩條輔助線

作輔助線的方式是多樣的，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析，以讓他們找到合適的輔助線.

對(duì)于梯形中的輔助線最主要的功能就是將其轉(zhuǎn)化，如果出現(xiàn)兩個(gè)底邊中點(diǎn)的情況，可以沿著上底的中線分別作兩條與腰相平行的輔助線，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)入到一個(gè)新的三角形中.

例2 如圖3所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng).

學(xué)生拿到題目第一個(gè)想到的就是與梯形相關(guān)的問題要作輔助線.學(xué)生想到的第二個(gè)問題就是這題是不是要將所求的結(jié)論轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中.學(xué)生想到第三個(gè)問題是∠B+∠C=90°，是不是暗示如果將這兩個(gè)角放到一個(gè)三角形中，那么另外一個(gè)角是不是就是直角，那么是不是運(yùn)用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)就能解決剩下的問題.

過點(diǎn)E作AB、CD的平行線，與BC分別交于G，H，

由∠B+∠C=90°，得出∠EGH=∠B，∠EHG=∠C，

進(jìn)而推斷∠EGH+∠EHG=90°，

所以四邊形ABGE和四邊形CDEH都是平行四邊形，△EGH為直角三角形.

因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，

所以BG=CH=0.5，GH=2.

直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半，

因此EF為GH的一半，EF=1.

同樣地對(duì)著這題教師也可以對(duì)結(jié)論進(jìn)行深化，讓學(xué)生再次體驗(yàn)這類題目的作輔助線的方法.

教師問學(xué)生假如將題目改成，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C=90°， E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，那么能不能用BC與AD的關(guān)系表示EF.換言之，教師將題目改得更抽象化了.

學(xué)生還是按照原先作輔助線的方式解題，

由E、F分別為上、下底的中點(diǎn)，

得出AE=DE，BF=CF，

進(jìn)而他們得出FG=FH.

因此EF=12GH=12 （BC-BG-CH）=

12 （BC-AD）.

3 作與梯形的一條對(duì)角線相平行的輔助線

作與對(duì)角線相平行的輔助線也是為了將梯形進(jìn)行分割，能讓要求的線段或者角能進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

例3如圖4，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，過點(diǎn)A作AE∥BD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且∠C=2∠E.（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形;（2）若∠BDC=30°，AD=5，求CD的長(zhǎng).

對(duì)于第1問，學(xué)生可先從AE∥BD出發(fā)，得出∠BDC=∠E;再?gòu)腄B平分∠ADC這一條件得出∠ADC=2∠BDC;

又因?yàn)椤螩=2∠E，

所以∠ADC=∠C，即梯形ABCD是等腰梯形.

對(duì)于第2問，作BF∥AD交DC于F，就能利用角與線段等條件將CD的長(zhǎng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

作完輔助線，學(xué)生發(fā)現(xiàn)四邊形ADFB為平行四邊形，進(jìn)而得出AD=BF，AB=DF.

同時(shí)因?yàn)椤螧DC=30°，DB平分∠ADC，

所以∠ADC=60°.

加上BF∥AD，

學(xué)生推斷出∠BFC=∠ADC=60°;

進(jìn)而得出四邊形ABCD是等腰梯形，

AD=BC，BF=BC，

△BFC是等腰三角形.

由等腰三角形這一結(jié)論，

學(xué)生又推斷出CF=BF=AD.

由DB平分∠ADC，

得出∠BDA=∠BDC;

由AB∥DC，

得出∠ABD=∠BDC，∠ABD

=∠BDA，AD=AB=DF;

由AD=5，

得出DF=FC=5，即DC=10.

從這題可以看出來，學(xué)生做出與對(duì)角線相平行的輔助線能將角平分線這一條件運(yùn)用起來.同樣地教師可以創(chuàng)設(shè)這樣的題目深化學(xué)生對(duì)于作一個(gè)與對(duì)角線平行的輔助線的解法方法.

例4 如圖5所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積.

依據(jù)題目，學(xué)生通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，解題的路徑就一目了然了.

4 結(jié)語

初中階段有關(guān)梯形的公式和定理都不是很難，但事實(shí)上學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用時(shí)卻是有一定困難的，主要是因?yàn)橛嘘P(guān)梯形的應(yīng)用題型大多比較寬泛，條件給得少、圖形看上去簡(jiǎn)單.看上去簡(jiǎn)單，真正解題時(shí)就不一定了.

因此教師要指導(dǎo)學(xué)生靈活掌握輔助線的使用技巧，讓他們將現(xiàn)有的圖形轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌膱D形，進(jìn)而構(gòu)成新的關(guān)系.換言之，學(xué)生通過輔助線將分散的條件集中起來，使得教師設(shè)置的題目得以解決.

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