共角定理介紹及其應(yīng)用

許潤(rùn)芝

【摘要】幾何是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，目前初中數(shù)學(xué)教材中的幾何體系主要圍繞幾何圖形的邊、角關(guān)系進(jìn)行推理與解題，學(xué)生普遍存在“定理易懂解題難”的問(wèn)題，對(duì)幾何問(wèn)題難以把握實(shí)質(zhì)，張景中院士在《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》中打造了圍繞面積法的幾何知識(shí)新體系，致力于通過(guò)再創(chuàng)造改造數(shù)學(xué)，通過(guò)數(shù)學(xué)化的方法還原幾何本質(zhì)，本文針對(duì)書(shū)中的共角定理進(jìn)行展開(kāi)，著重介紹其在解題方面的應(yīng)用及定理推廣.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);共角定理;解題方法

1 共角定理

共角定理建立在共角三角形的基礎(chǔ)上，它是指，一對(duì)含有相等角（或互補(bǔ)角）的三角形的面積比等于該夾角兩邊的乘積之比.

定理 如圖1 ，若∠ABC和∠DEF相等或互補(bǔ)，則有S△ABCS△DEF=AB·BCDE·EF.

這個(gè)定理的證明有兩種基本方法：

第一種運(yùn)用三角形的面積計(jì)算公式，

證明

S△ABC=12ah=12absinC（其中h表示邊a上的高，C表示a、b兩邊的夾角）.

在△ABC和△DEF中，若角相等或互補(bǔ)，則很容易得到如下結(jié)論：S△ABCS△DEF=12BA·BC·sinB12BD·BF·sinE=AB·BCDE·EF，由此得證.

第二種證明基于一個(gè)基本的事實(shí)：共高三角形的面積比等于底的比，

證明

S△ABCS△DEC=ABDE，S△DECS△EFD=BCEF，

故可以得到S△ABCS△DEF=AB·BCDE·EF，由此得證.

共角定理在實(shí)際應(yīng)用中，因其應(yīng)用條件簡(jiǎn)單，僅需要找到相等或互補(bǔ)的角，是解決幾何問(wèn)題十分有效的工具.解題過(guò)程中，如何選擇兩個(gè)合適的共角三角形，是運(yùn)用共角定理解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

共角定理是張景中院士面積法體系中重要的一個(gè)定理，是對(duì)同底等高三角形面積相等這一基本性質(zhì)的推廣，它的用途覆蓋非常廣泛.在一些復(fù)雜幾何圖形，尤其是初中競(jìng)賽中的幾何試題中，運(yùn)用共角定理時(shí)常能得到意想不到的效果.

2 共角定理的應(yīng)用

2.1 有關(guān)線段的問(wèn)題

例1 如圖2，在凸四邊形ABCD中，已知AB=CD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn).延長(zhǎng)BA、CD，分別交EF的延長(zhǎng)線于P、Q.求證：PA=QD.

分析 該題目的敘述和圖形相比例1更為復(fù)雜一些，解題的關(guān)鍵同樣是抓住圖形中的共角三角形，將面積比轉(zhuǎn)化為線段比.

本題另一個(gè)難點(diǎn)在于得到（5）之后，需要利用題目中已給出的AB=CD的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.這一步也可以利用共邊定理一步到位，得到證明，感興趣的讀者可以嘗試.

證明 由共角定理：

S△EPAS△EQD=EP·EAEQ·ED=EPEQ，（1）

S△FQCS△FPB=FQ·FCFP·FB=FQFP，（2）

S△QEDS△QFC=EQ·DQFQ·CQ，（3）

S△PFBS△PEA=FP·BPEP·AP，（4）

（1）×（2）×（3）×（4）得

1=DQCQ·BPAP.（5）

不妨設(shè)AB=CD=l，代入（5）可得

DQ+lDQ=AP+lAP，

最終化簡(jiǎn)得PA=QD.

2.2 有關(guān)面積的問(wèn)題

例2 如圖3，將四邊形ABCD各邊延長(zhǎng)原長(zhǎng)度的2倍，得到一個(gè)新的四邊形EFGH，如果ABCD的面積是5，那四邊形EFGH的面積是多少？

分析 在這個(gè)題目中沒(méi)有特別明顯的共角定理的模型，需要添加輔助線，通過(guò)連接AC或者BD進(jìn)行構(gòu)造，通過(guò)明確邊之比確定面積比，最后四邊形EFGH的面積由3個(gè)部分構(gòu)成.

解 連接AC，由共角定理：

S△ABCS△EBF=BA·BCEB·FB=16

S△ADCS△GDH=AD·CDGD·HD=16

同理可得，連接BD，

S△BDAS△HEA=BA·DAEA·HA=16，

S△BCDS△FCG=BC·DCFC·GC=16，

故SABCD：S△DGH+△BEF=1：6

S△DGH+△BEF=30

故SEFGH=30+30+5=65

通過(guò)共角比例定理，就可以自如的將線段比、面積比進(jìn)行轉(zhuǎn)換，把幾何面積比的問(wèn)題劃歸為線段比問(wèn)題，使解題更為簡(jiǎn)捷、高效.

與現(xiàn)在中學(xué)階段，教材上通常講解的全等三角形，相似三角形相比，推廣共角定理有以下三個(gè)個(gè)優(yōu)點(diǎn)：更具普適性、更具簡(jiǎn)明性、更具延展性.

全等三角形是幾何學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)，對(duì)于中學(xué)教師而言，不僅需要幫助學(xué)生掌握傳統(tǒng)方法，更需要在此基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展與創(chuàng)新，將教育數(shù)學(xué)融入數(shù)學(xué)教育，從各個(gè)方面滲透數(shù)學(xué)思想，把握數(shù)學(xué)本質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]張景中，彭翕成.共角定理[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級(jí)數(shù)學(xué)）（華師版），2008（Z2）：7-9.

[2]黃誠(chéng).“共角比例定理”在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2006（04）：27-28.

[3]陳鳳兒. 共邊共角定理及其在教學(xué)中的應(yīng)用[D].廣州大學(xué)，2019.