數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的有效運用

【摘要】初中數(shù)學(xué)的知識點復(fù)雜且瑣碎，并需要學(xué)生具備一定的空間想象能力和抽象思維能力，才能真正地的對知識進(jìn)行構(gòu)建。而數(shù)形結(jié)合思想對于教師而言，是一種較為實用的教學(xué)方式，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合可以將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行量化、形象化，幫助學(xué)生建立知識點的聯(lián)系，能夠較快速地理解和掌握數(shù)學(xué)理論，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，完成對數(shù)學(xué)深層規(guī)律的探究。同時數(shù)形結(jié)合思想對于學(xué)生而言，也是一種較為靈活的解題技巧，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合可以提高初中生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的速度和質(zhì)量。所以，在初中數(shù)學(xué)中有效地運用數(shù)形結(jié)合教學(xué)，可以為學(xué)生提供新的學(xué)習(xí)思路和解題思路，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升。

【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)方法? 初中數(shù)學(xué)? 數(shù)形結(jié)合? 措施

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2022）07-0091-03

初中數(shù)學(xué)中有一些概念和定理對于學(xué)生而言是較為抽象的，學(xué)生在理解的過程中有一定的難度，教師運用數(shù)形結(jié)合可以化解這一難題，促使數(shù)學(xué)概念、定理等知識內(nèi)容的教學(xué)質(zhì)量提升，加之?dāng)?shù)學(xué)理論往往彼此聯(lián)系，在一些數(shù)學(xué)問題當(dāng)中，常常以數(shù)量、圖形結(jié)合的方式進(jìn)行呈現(xiàn)，學(xué)生需要高效率地解題，探索解題的思路和方法，也需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)形結(jié)合的模型，進(jìn)而解題。數(shù)形結(jié)合的運用讓初中生從直觀的思維轉(zhuǎn)向抽象思維，并逐漸在數(shù)形結(jié)合思想的影響下，對數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)行研究，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)終身學(xué)習(xí)意識，有利于學(xué)生之后學(xué)習(xí)更為復(fù)雜的知識和定理，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。基于此，文章對初中數(shù)學(xué)中如何有效地運用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析。

一、初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解能力

從小學(xué)步入初中，學(xué)生遇到的最大的問題不僅僅是學(xué)習(xí)的科目增多，而是課程內(nèi)容趨于復(fù)雜，數(shù)學(xué)作為重要科目，其內(nèi)容更是體現(xiàn)了這一點，初中數(shù)學(xué)知識點呈現(xiàn)了一定的難度，許多學(xué)生可能并不能快速地理解其含義，并將其與數(shù)學(xué)典型的案例聯(lián)系，因為這些概念的抽象性，學(xué)生無法充分地掌握運用，可能會導(dǎo)致學(xué)生之后基礎(chǔ)不牢固，影響到后期的數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)。而在初中數(shù)學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合可以較好地解決這一困境。通過數(shù)學(xué)結(jié)合，教師可以將復(fù)雜、抽象的概念以直觀的形式進(jìn)行展示，幫助學(xué)生轉(zhuǎn)化思維，能夠站在具象的思維層面理解概念，讓學(xué)生理解能力在數(shù)形結(jié)合運用中得到訓(xùn)練，而學(xué)生理解能力一旦得到提升，學(xué)生在運用概念解決問題時便會更加得心應(yīng)手。而具體的實踐中，教師不妨運用信息技術(shù)，如多媒體、學(xué)具展示等方式，來為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個學(xué)習(xí)情境，將數(shù)學(xué)概念知識融匯其中，讓學(xué)生對于抽象的數(shù)學(xué)概念的理解學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為視覺的直觀認(rèn)識，促使學(xué)生在理解概念的同時，對于數(shù)學(xué)概念中數(shù)位定義的數(shù)與形有具象化深度了解，不僅可以縮短學(xué)生理解學(xué)習(xí)的時間，還能引發(fā)學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念、定義規(guī)律的探索，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。

例如初中數(shù)學(xué)“有理數(shù)”的教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合，有理數(shù)教學(xué)的重點是讓學(xué)生理解有理數(shù)的意義，能夠根據(jù)有理數(shù)概念進(jìn)行分類，并且學(xué)會運用有理數(shù)的概念解決一些問題，但是有理數(shù)概念是一句話的定義：“是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱”，學(xué)生乍一看到和嘗試?yán)斫飧拍顣r，都會有一種“似懂非懂”的感覺，但一旦涉及概念問題的考查時，自己便會混淆。教師為了讓學(xué)生直觀地理解有理數(shù)，便可以直接通過“數(shù)軸”來展示有理數(shù)，如利用多媒體直接繪制數(shù)軸，并在數(shù)軸上直接展示-3、3，7、■、0、-8等有理數(shù)，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，能夠利用數(shù)軸圖形來理解有理數(shù)的概念問題，并能夠針對性利用數(shù)形結(jié)合的思想分類概括有理數(shù)具體分類。此外，教師也可以多方演示數(shù)軸，讓學(xué)生利用數(shù)軸圖形來理解有理數(shù)的含義，提升學(xué)生理解能力的同時，幫助學(xué)生逐漸構(gòu)建數(shù)形結(jié)合思想，促使學(xué)生之后遇到一些相關(guān)的問題也能運用相應(yīng)的方法解答，提高學(xué)生的思維能力。如數(shù)學(xué)相遇問題、相向問題等，都能夠運用數(shù)軸結(jié)合數(shù)量分析來解答，學(xué)生經(jīng)歷運用數(shù)軸理解有理數(shù)概念的學(xué)習(xí)，為之后知識遷移運用做準(zhǔn)備。

二、初中數(shù)學(xué)定理教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)律的探索學(xué)習(xí)

學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)、探索數(shù)學(xué)的能力的培養(yǎng)是初中數(shù)學(xué)教育的重點，初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容中有一些數(shù)學(xué)定理、規(guī)律、公式等，都是需要學(xué)生主動去推導(dǎo)學(xué)習(xí)的，而推導(dǎo)的過程往往困難重重，需要學(xué)生能夠具備敏捷的思維能力和知識遷移能力，能夠舉一反三，自主探索知識規(guī)律，而一旦學(xué)生能夠自主地完成定理的探索，在之后的學(xué)習(xí)過程中往往也能舉一反三地學(xué)習(xí)。運用數(shù)形結(jié)合可以打開學(xué)生的思維，促使學(xué)生學(xué)習(xí)利用圖形與數(shù)量的關(guān)系理解和研究一些數(shù)學(xué)定理，并進(jìn)行推論，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)研究精神。如初中數(shù)學(xué)中幾何知識的相關(guān)內(nèi)容較多，比如對圓形和正多邊形探究、對組合圖形的探究等，初中數(shù)學(xué)中幾何圖形與其他代數(shù)問題結(jié)合得更為密切，各類定理、推論、判定定理、數(shù)學(xué)規(guī)律不少，在碰到這類幾何圖形內(nèi)容定理的教學(xué)時，教師便可以直接運用數(shù)形結(jié)合方式，奠定學(xué)生在課堂上的主體地位，鍛煉學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

例如初中數(shù)學(xué)“圓切線的判定定理”內(nèi)容的教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)定理時，如果沒有結(jié)合定理相關(guān)圖形進(jìn)行理解，學(xué)生是無法展開具體想象的，當(dāng)教師運用數(shù)形結(jié)合將切線與圓的幾何圖形進(jìn)行展示，學(xué)生可以一目了然地理解這一定理，之后，教師便可以鼓勵學(xué)生自行畫圖，通過判定定理進(jìn)行研究推導(dǎo)，再驗證。如學(xué)生通過判定定理及結(jié)合自己所畫圖形，得出在滿足“①過圓心，②垂直于切線的直線兩點的條件”基礎(chǔ)上，可以得出“這條直線必經(jīng)過切點”這一推論，并通過推論研究出一般有關(guān)切線與圓關(guān)系的數(shù)學(xué)證明問題的解題思路，如碰到直線與圓有公共點時，運用數(shù)形結(jié)合的方式，連接圓心和公共點，作出輔助線，證明垂直即可，這樣學(xué)生通過將判定定理進(jìn)行推導(dǎo)、延伸到數(shù)學(xué)問題中進(jìn)行研究，并運用數(shù)形結(jié)合的方式探索數(shù)學(xué)知識規(guī)律及數(shù)學(xué)問題的相關(guān)解法，促進(jìn)學(xué)生高質(zhì)量地完成對數(shù)學(xué)定理的推理、拓展推論，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，幫助學(xué)生之后進(jìn)行知識的綜合運用。

三、初中數(shù)學(xué)問題教學(xué)中運用數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生數(shù)學(xué)分析、解題能力

數(shù)學(xué)問題在初中階段出現(xiàn)的方式，不再是直接考查某一知識點，而是側(cè)重于考查學(xué)生對知識運用的靈活性和多樣性的方法，而數(shù)形結(jié)合是其中較為突出、有效的解題方法，靈活地運用數(shù)形結(jié)合，可以訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)問題的分析、解答能力，讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想方法簡便解答，提升學(xué)生解題的效率。一方面，數(shù)形結(jié)合思想的運用能夠給學(xué)生帶來直觀的解題思路，教師在利用數(shù)形結(jié)合思想剖析數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生會對這類問題進(jìn)行歸納、總結(jié)，逐漸形成一定的直觀能力，促使學(xué)生自主地嘗試通過數(shù)形結(jié)合解決問題;另一方面，數(shù)形結(jié)合的思想在初中數(shù)學(xué)問題的運用，為學(xué)生分析問題、解題提供了更為簡單有效的思路方法，大大地縮短了學(xué)生處理分析數(shù)學(xué)問題的時間，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。而在具體的教學(xué)中，教師可以在每一課時運用數(shù)形結(jié)合授課結(jié)束之時，安排1～2個需要運用數(shù)形結(jié)合解決的問題，教師可以在課堂上導(dǎo)入例題，并親自演示利用數(shù)形結(jié)合解題的思路和過程，促使學(xué)生能夠?qū)W習(xí)數(shù)形結(jié)合思想解題的方法，掌握經(jīng)驗，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以便于學(xué)生在后期學(xué)習(xí)中能夠?qū)ν愋偷臄?shù)學(xué)問題進(jìn)行知識遷移，形成一定的數(shù)學(xué)直觀能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯及知識運用能力，進(jìn)一步提高學(xué)生數(shù)學(xué)問題的解決能力。

例如在初中數(shù)學(xué)“弧長和扇形面積”的教學(xué)中，本課時經(jīng)常會有扇形與其他幾何圖形組合出現(xiàn)的應(yīng)用問題，如“一個斜邊長為2且含有30°角的直角三角板ABC繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C，求掃過圖形的面積”，這道問題在學(xué)生未看到圖形運動的軌跡時，很難直接聯(lián)系到需要利用扇形面積知識求解，而教師可以直接利用數(shù)形結(jié)合，作一個多媒體動畫視頻，模擬三角形的運動軌跡，如圖1。幫助學(xué)生抓住問題中三角形運動形成的圖形是扇形，求掃過圖形的面積即等于求解兩個扇形的面積和，拓展學(xué)生的知識體驗，促使學(xué)生之后在遇到同類型的問題時，能夠在腦海中想象出實際的軌跡路線，找出求解某一圖形面積的關(guān)鍵信息，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力，讓學(xué)生學(xué)會借助圖形來找出數(shù)量之間的關(guān)系，促使學(xué)生能夠直觀地分析，提升學(xué)生數(shù)學(xué)分析、解題能力。隨后教師再結(jié)合歷年的經(jīng)典數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生自主地參與到幾何圖形組合出現(xiàn)的各個類型的探索學(xué)習(xí)中，促使學(xué)生能夠利用所學(xué)的數(shù)形結(jié)合的方法嘗試自己分析其他類型圖形組合問題，構(gòu)建解題的方法鏈，提高學(xué)生的解題能力。

又如在初中數(shù)學(xué)中有關(guān)“實際問題與二次函數(shù)”的教學(xué)中，二次函數(shù)在實際生活的運用常常伴隨著一些圖形面積問題，這部分問題的解決中常常運用到數(shù)形結(jié)合思想，如拋物線拱橋與水面的問題，而其中有關(guān)的二次函數(shù)中矩形面積最大值的問題是中考常出的數(shù)學(xué)問題，而為了訓(xùn)練學(xué)生的直觀思維，讓學(xué)生學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合簡化數(shù)學(xué)問題，教師便可以利用多媒體展示一道相關(guān)的數(shù)學(xué)問題：“施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道﹐其高度為6米﹐寬度OM為12米，現(xiàn)以O(shè)點為原點﹐OM所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)在在隧道門口搭建一個矩形的‘腳手架’DABC，使A、D點在拋物線上，B、C點在地面OM上，求‘腳手架’最大面積?！边@一問題的關(guān)鍵在于能否準(zhǔn)確地得出二次函數(shù)，由于題目中條件眾多，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想做題，先畫圖，如圖2，這樣便簡化了學(xué)生理解題目的難度，之后學(xué)會結(jié)合圖形求解二次函數(shù)公式會更加直觀，對于訓(xùn)練學(xué)生的幾何直觀能力也具有促進(jìn)作用，促使學(xué)生最后更快地通過計算得出答案。學(xué)生在學(xué)會利用輔助線、畫圖來形象化數(shù)學(xué)問題中的條件，有利于學(xué)生發(fā)展良好的直觀思維，逐漸構(gòu)建一類題型的直觀的解題方法模型，減少學(xué)生數(shù)學(xué)問題上由于應(yīng)用問題中數(shù)量條件眾多難以下手分析的問題。而學(xué)生在具備良好的數(shù)學(xué)數(shù)形的直觀能力之后，在后期的數(shù)學(xué)問題的練習(xí)中，便能更有效率地解決問題，提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力。

四、運用數(shù)形結(jié)合，輕松解決數(shù)學(xué)難題

從目前了解的情況來看，很多學(xué)生對初中數(shù)學(xué)解題的方法并沒有清楚的認(rèn)知，在缺乏正確解題模式的情況下會存在各種學(xué)習(xí)方面的錯誤。比如學(xué)生在學(xué)習(xí)不等式組這一章節(jié)的內(nèi)容，就很容易出現(xiàn)錯誤，若學(xué)生只是解單個不等式，很容易解對，但是如果是解不等式的交集，那么很有可能出現(xiàn)錯誤，其主要原因是學(xué)生對于不等式的內(nèi)容并沒有真正的理解。此時利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行解題就更加容易，學(xué)生可以將每一個不等式的解在數(shù)軸上表示出來，并且畫出這幾個解的交集部分，最終所得到的答案就是不等式的解，在掌握這種方法之后就可以快速地解出不等式的問題，并且獲得準(zhǔn)確的結(jié)果。例如，在一次函數(shù)學(xué)習(xí)中，一次函數(shù)的形式是y=kx+b，通過k和b的符號，就能判斷出一次函數(shù)圖像在坐標(biāo)系的位置。反過來，根據(jù)一次函數(shù)的圖像，就能判斷出k和b的正負(fù)性。還可以根據(jù)一次函數(shù)圖像和橫坐標(biāo)軸的交點，判斷出x在何范圍，y大于0，便和不等式結(jié)合。在針對該類型的二次函數(shù)進(jìn)行教學(xué)時，教師就可以使用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行教育，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)形結(jié)合解題思維，比如針對二次函數(shù)的圖像以及橫坐標(biāo)軸的交點進(jìn)行分析，交點的橫坐標(biāo)就是方程的解。整個過程利用圖像進(jìn)行分析，可以讓學(xué)生獲得最直觀的理解以及快速地獲得結(jié)果。其實在很多數(shù)學(xué)的實際問題當(dāng)中，就有求極值的問題，對這些問題進(jìn)行求解的過程，利用二次函數(shù)圖像解決，就可以將復(fù)雜的問題簡單化。

五、結(jié)論

數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)教學(xué)運用較多的一類教學(xué)思想、教學(xué)方法，對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力具有良好的作用，教師通過在概念教學(xué)、定理教學(xué)、問題教學(xué)方面運用數(shù)形結(jié)合，可以促使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生形成一定的解題直觀能力，能夠在后期的數(shù)學(xué)新知的學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)問題新類型中運用這種思維更快地分析、解題，促使學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的系統(tǒng)化模型，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)研究能力。

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作者簡介：

馮長壽（1976年12月-），男，漢族，福建莆田人，本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作。