基于符號意識培養(yǎng)學(xué)生建模能力的有效路徑探尋

[摘? 要] 數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的基本語言，數(shù)學(xué)建模是核心素養(yǎng)重要維度. 基于符號意識培養(yǎng)建模能力對促進學(xué)生核心素養(yǎng)的生成具有重要作用. 解讀符號意識與數(shù)學(xué)建模的作用，以“用數(shù)學(xué)眼光看問題”的教學(xué)為例，探尋基于符號意識培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的有效路徑. 在不斷滲透符號意識的同時，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號進行數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵能力.

[關(guān)鍵詞] 符號意識;建模能力;初中數(shù)學(xué)

新課標指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)涵蓋數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算與數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要維度. 數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的基本語言，其包括數(shù)字、字母、關(guān)系式等，具有抽象性、明確性與簡略性特點. 在解決實際問題時，需要學(xué)生抽象出符合實際問題的數(shù)學(xué)模型，然后以數(shù)學(xué)符號為載體剖析數(shù)學(xué)問題，進而實現(xiàn)問題的解決. 基于此，在教學(xué)中教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以分析與解決.

解讀符號意識在建構(gòu)模型中的作用

數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)的抽象，是人們根據(jù)生活實踐，抽象生活實踐而形成的結(jié)果. 數(shù)學(xué)建模是解決實際問題的有效手段，其離不開數(shù)學(xué)符號進行表達、運算與邏輯推演[1]. 因此，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識與建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力對促進學(xué)生核心素養(yǎng)的生成具有重要作用.

（一）符號的表示：抽象數(shù)學(xué)對象

符號在抽象數(shù)學(xué)中的作用表現(xiàn)在三個方面：一是表示數(shù)，在不便于說出具體數(shù)值時，可以用字母代替. 如在失物的招領(lǐng)啟事中，可以寫張三同學(xué)撿到人民幣n元，意思是學(xué)生撿到了一定數(shù)量的人民幣;二是表達數(shù)量關(guān)系，通過字母表示數(shù)量關(guān)系可以更讓人通曉明白. 如一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿，兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿……那么n只青蛙n張嘴，2n只眼睛4n條腿;三是表示事物的發(fā)展規(guī)律，如函數(shù)的解析式表達、表格表達、圖像表達，呈現(xiàn)了事物的發(fā)展變化規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是由易到難、由淺入深，用符號去表達數(shù)、數(shù)量關(guān)系與描述變化規(guī)律時，也經(jīng)歷了由低級到高級，從具體到抽象的過程. 教學(xué)中向?qū)W生滲透符號表示數(shù)學(xué)對象作用，有利于為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型做好有效的鋪墊.

（二）符號的價值：邏輯運算與推理

數(shù)學(xué)活動的基本形式是數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)推理. 解決數(shù)學(xué)問題的第一步是用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系或者變化規(guī)律，第二步是數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)推理. 需要注意的是數(shù)學(xué)運算與推理必須以合乎邏輯的法則為遵循. 目前，在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生能夠自覺使用數(shù)學(xué)符號進行運算與推理的能力比較弱，教師應(yīng)以符號為媒介進行關(guān)系轉(zhuǎn)換，合情推理，在演繹推理與模型抽象中培養(yǎng)學(xué)生模型的構(gòu)建能力，只有這樣，才能使學(xué)生以合理的數(shù)學(xué)模型去解決實際問題[2].

（三）符號的運用：數(shù)學(xué)思考的重要特征

僅僅有符號意識還不夠，會用符號去進行數(shù)學(xué)思考與表達才是關(guān)鍵. 在解決實際問題時，離不開數(shù)學(xué)思考與表達，而只有借助符號的思考與表達才是最有效的，才能超越數(shù)學(xué)對象的具體屬性，從更一般的角度進行邏輯推演，使結(jié)果更為嚴謹，同時也保證了數(shù)學(xué)方法的操作性與通用性[3].

基于符號意識培養(yǎng)學(xué)生建模能力的教學(xué)實踐

新課標提出，數(shù)學(xué)教學(xué)就是概念、命題與公式的教學(xué)，要培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，在實際情境中引導(dǎo)學(xué)生理解符號，理解符號表達式的意義，從而讓學(xué)生學(xué)會根據(jù)實際情境抽象符號[4]. 實際上學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的過程就是符號的抽象與表達，然后是運用符號運算與推理的過程. 經(jīng)歷這一過程，有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，有利于提高學(xué)生的符號觀念，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的本領(lǐng). 基于此，筆者設(shè)計了“用數(shù)學(xué)眼光看問題”這一課，幫助學(xué)生如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識與建模能力.

教學(xué)目標? （1）理解用分式表示鹽水濃度;（2）能用分式表示鹽水濃度的變化;（3）體驗從生活中構(gòu)建模型的過程，培養(yǎng)學(xué)生運用符號建構(gòu)模型的能力.

教學(xué)難點? 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一：從數(shù)學(xué)的角度看待生活問題.

問題1：一杯鹽水，如果加的鹽比較多，鹽水就比較咸，即鹽水的濃度比較大;如果加的鹽比較少，鹽水就比較淡，即鹽水的濃度比較小. 那么，如何準確表示鹽水的咸淡程度呢？

讓學(xué)生先獨立思考再合作交流后，師生共同歸納出鹽水濃度可表示為：

問題2：如果繼續(xù)給杯中的鹽水加鹽，那么鹽水的咸度將發(fā)生怎樣的變化？你能用數(shù)學(xué)方法描述你的感覺嗎？

學(xué)生獨立完成，歸納：加鹽之后鹽水變咸的原因是鹽水的濃度變大.

設(shè)計思路? 從生活中的實際問題出發(fā)，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)鹽水的濃淡與鹽的質(zhì)量、與鹽水質(zhì)量的比值有關(guān)，用字母分別表示鹽的質(zhì)量與水的質(zhì)量，建立起分式數(shù)學(xué)模型. 在這一過程中，學(xué)生經(jīng)歷了符號的抽象與表達的過程，培養(yǎng)了符號意識.

問題3：對于分子與分母都是正數(shù)的分式，當它的分子與分母都加上一個正數(shù)，那么分式的值將作如何變化呢？

生：設(shè)原分式為（a>0，b>0，且a<b），分子與分母都加上一個正數(shù)之后，得，要比較大小，可以用作差法，即-==. 因為c>0，b>a，所以>0，所以->0，所以>.

問題4：試用數(shù)學(xué)的方法說明當鹽水加了水之后，鹽水就變淡了.（學(xué)生獨立完成，同伴互查）

設(shè)計思路? 學(xué)生經(jīng)歷了用符號表達鹽水變濃或變淡的過程，用符號進行了符合邏輯的運算與推理，把鹽水的濃度轉(zhuǎn)化為分式，把鹽水濃度變大或變小轉(zhuǎn)化分式的減法運算，強化了學(xué)生的符號意識，培養(yǎng)了學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的能力.

環(huán)節(jié)二：探究兩杯鹽水混合的問題.

問題1：現(xiàn)有兩杯濃度不同的鹽水，一杯比較濃，一杯比較淡，當它們進行混合后，你的口感如何？如何用數(shù)學(xué)的形式表示這種口感呢？

教師引導(dǎo)分析：比較濃的鹽水如何用分式表示？比較淡的鹽水如何用分式表示？混合后的鹽水濃度與什么有關(guān)呢？

問題2：在上面問題中，兩杯水混合所得鹽水的濃度是不是它們的平均濃度呢？

教師引導(dǎo)分析：讓學(xué)生用特殊值嘗試解決，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后用分式進行探究.

設(shè)計思路? 經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象，學(xué)生可以感受到：關(guān)于鹽水的濃度問題就是分式的值的問題，當比較兩杯鹽水的濃度時，就是要使用分式的加減運算進行推演.符號的運算過程超越了鹽水問題具體的屬性，用特殊值進行猜想計算，再使用符號運算推理，培養(yǎng)了學(xué)生用符號進行數(shù)學(xué)表達和思考的思維品質(zhì).

環(huán)節(jié)三：探究鹽水中一個結(jié)論.

問題1：將一大杯鹽水分別倒入三個小杯中，那么大杯中鹽水濃度與小杯中鹽水的濃度有何不同呢？

學(xué)生思考后，教師歸納得到比例的一個重要性質(zhì)，即等比性質(zhì)：如果===，那么=.

設(shè)計思路? 學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗，很容易理解大杯中的鹽水分別倒入小杯后，大杯與小杯的鹽水濃度是一樣的，但是教師要引導(dǎo)學(xué)生把生活經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為符號表達式.學(xué)生發(fā)現(xiàn)當分式的分子與分母以相同的比例變化時，分式的值也不變，這是分式的基本性質(zhì)，同時也推導(dǎo)出比例的一條重要性質(zhì)，即等比性質(zhì).這樣的教學(xué)使學(xué)生進一步感受到符號作為媒介的數(shù)學(xué)表達形式的價值所在.

環(huán)節(jié)四：整理與歸納.

刻畫鹽水的濃淡，我們使用了數(shù)學(xué)的方式，即從數(shù)學(xué)的視角觀察世界.其實在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不乏這些事例，如用來描述速度的快慢;用來描述電流的大小.同學(xué)們要逐漸養(yǎng)成用數(shù)學(xué)方法描述生活現(xiàn)象的意識.

總之，世界上的一切都是簡單的，用邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)表達，其為基于符號意識的建模能力培養(yǎng)提供了可靠的理論依據(jù).培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)背景下，教師應(yīng)基于符號意識，提高學(xué)生運用符號推演解決實際問題的能力，在不斷滲透符號意識的同時，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號進行數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵能力.

參考文獻：

[1]王光盛. 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)初中生符號意識[J]. 中學(xué)教學(xué)參考，2021（30）：33-34.

[2]孫凱. 初中數(shù)學(xué)建?；顒拥膬?nèi)容設(shè)計與組織原則[J]. 教學(xué)與管理，2021（22）：46-48.

[3]劉海霞. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生建模能力的培養(yǎng)策略[J]. 新課程評論，2021（06）：85-92.

[4]范連眾，孔凡哲. 對指向?qū)W科核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)教科書的理解——以“整式的加減”為例[J]. 遼寧教育，2017（19）：7-10.

基金項目：江蘇省教學(xué)研究課題“基于省監(jiān)測數(shù)據(jù)分析的初中生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力提升的策略研究”（課題編號：2019jyktzd-13）;泰州市中小學(xué)教學(xué)研究課題“基于監(jiān)測數(shù)據(jù)分析的初中生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)提升的策略研究”（課題編號：TZJYZD2019-058）.

作者簡介：蔣樂（1981—），碩士研究生，中學(xué)高級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究和教育教學(xué)管理工作.