課程思政元素融入線性代數(shù)的教學(xué)研究

張林麗 張晶晶 劉德兵 原乃冬

【摘要】逆矩陣是線性代數(shù)中一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，本文基于加密電文的破解問題，運(yùn)用問題驅(qū)動法和類比法構(gòu)造出逆矩陣概念，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力;利用研究式、類比式和啟發(fā)式的教學(xué)方法推導(dǎo)出矩陣可逆的充要條件和可逆矩陣的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的人生觀，提高學(xué)生提出、分析、解決問題的能力以及在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和總結(jié)規(guī)律的能力;運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)，探討逆矩陣在求解矩陣方程和在保密通信中的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生行事做人要遵紀(jì)守法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和應(yīng)用知識解決實(shí)際問題的能力.本案例將課程思政元素與線性代數(shù)知識相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了在教學(xué)中立德樹人的任務(wù).

【關(guān)鍵詞】 線性代數(shù);逆矩陣;課程思政元素

【基金項(xiàng)目】本文系海南大學(xué)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號：hdjy2150，hdjy2074，hdjy2106）;海南省高等學(xué)校教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號：Hnjg2021ZD-7）;海南大學(xué)應(yīng)用科技學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號：HDYKJG202001，HDYKJG202005）.

線性代數(shù)是非數(shù)學(xué)類專業(yè)本科生學(xué)習(xí)的一門公共基礎(chǔ)課程，具有內(nèi)容抽象、知識點(diǎn)多和邏輯嚴(yán)密等特點(diǎn).為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，許多學(xué)者圍繞線性代數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究[1-4].2016 年，習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會議上提出了“各類課程與思想政治理論課要同向同行，形成育才育人協(xié)同效應(yīng)”之后，各高校紛紛開展關(guān)于課程思政的研究.教師在線性代數(shù)課程教學(xué)中恰到好處地增加一些思政元素，通過課程教學(xué)的精心組織和實(shí)施，既可以向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)概念、公式、定理的形成和發(fā)展脈絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的認(rèn)識論和科學(xué)觀，又可以從知識點(diǎn)中發(fā)掘哲學(xué)思想與元素，將一些理論內(nèi)容與折射出的科學(xué)精神相融合，幫助學(xué)生樹立正確的人生觀、價(jià)值觀和世界觀，成為全面發(fā)展的高素質(zhì)應(yīng)用型人才.目前，一些研究者在這一領(lǐng)域進(jìn)行了部分探究，指出了課程思政元素融入線性代數(shù)的必要性和重要意義[5-7].但是目前對課程思政元素融入線性代數(shù)的研究大都著眼于理論研究層面，如何將課程思政元素融入線性代數(shù)課堂教學(xué)中，如何將課程思政落到實(shí)處仍需要進(jìn)一步探索[8].以學(xué)生為中心的教學(xué)設(shè)計(jì)，強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生的主體地位，將以“教”為中心變以“學(xué)”為中心，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和課堂學(xué)習(xí)效果.本文以逆矩陣這一節(jié)教學(xué)內(nèi)容的講授為例，以學(xué)生為中心進(jìn)行教學(xué)模型的合理設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了線性代數(shù)教學(xué)中思政元素的融入，達(dá)到了于潤物無聲中立德樹人的教學(xué)目標(biāo).

一、課題引入

播放電視劇《永不消失的電波》中解密電文的一個(gè)片段，視頻播放完后，教師講解到：

為了保密起見，我們在發(fā)送電文時(shí)需要對電文加密，接收方再對其解密就能知道原電文的意思.以密碼學(xué)中的希爾密碼為例，其加密方式為：26個(gè)英文字母“A-Z”一一對應(yīng)于自然數(shù)“1-26”.比如：我們要發(fā)送一份內(nèi)容為“A B C”的明文電文，一般先使用列矩陣X=（1，2，3）T來表示它，X稱為明文矩陣;加密的方法是在X的左側(cè)乘以矩陣A，A稱為加密矩陣.設(shè)加密矩陣A=111011101，則B=AX=6，5，4T就是收到的密文矩陣.很顯然，已知加密矩陣A和密文矩陣B，要解密得到明文矩陣X就是求解矩陣方程AX=B.今天，老師也給同學(xué)們發(fā)來一封密信：B=988565775580160119145，秘鑰是：ABC BBA CDC，請猜猜老師想對同學(xué)們說什么呢？想成為密碼大師嗎？就讓我們一起來學(xué)習(xí)如何利用逆矩陣破解加密電文.

設(shè)計(jì)意圖：教師采用問題驅(qū)動法，將如何破解加密電文的問題作為引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.《永不消逝的電波》是一部戰(zhàn)爭題材的影視劇，電視劇片段的播放能激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，我們現(xiàn)在的幸福生活是無數(shù)烈士用生命和鮮血換來的，從而勉勵(lì)學(xué)生“不忘初心，牢記使命”，為祖國的繁榮昌盛而努力奮斗.

二、逆矩陣的定義

上一節(jié)的知識內(nèi)容利用待定系數(shù)法求矩陣方程AX=B的解時(shí)很麻煩，我們是否可以借鑒一下代數(shù)方程ax=b求解的思想方法呢？在代數(shù)方程ax=b中，當(dāng)a≠0時(shí)，因?yàn)閍·a-1=a-1·a=1，其解為x=a-1b.在矩陣的運(yùn)算中，單位矩陣E相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中的1，因此，為了求解矩陣方程AX=B和XA=B，希望能找到一個(gè)矩陣A-1，滿足AA-1=A-1A=E，使得AX=B的解為X=A-1B，以及XA=B的解為X=BA-1.所以有如下定義：

定義 [9]對于n階矩陣A，如果存在一個(gè)n階矩陣B，使得AB=BA=E，則稱A為可逆矩陣，簡稱矩陣A可逆;并稱矩陣B為A的逆矩陣，記作：A-1，即B=A-1，于是有AA-1=A-1A=E.

說明：（1）可逆矩陣是方陣;

（2）A，B互為逆矩陣，即A-1=B，B-1=A;

（3）A的逆矩陣記為：A-1，不能寫成1A;

（4）A可逆，則|A|≠0;

（5）A的逆矩陣是唯一的;

（6）E-1=E;On不可逆.

設(shè)計(jì)意圖：破解密碼即求解矩陣方程，教師帶領(lǐng)學(xué)生類比代數(shù)方程構(gòu)建出逆矩陣的定義，讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)概念是由求解實(shí)際問題的需要而構(gòu)建出來，而不是憑空產(chǎn)生的，幫助學(xué)生弄清逆矩陣概念的來龍去脈，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、務(wù)實(shí)的認(rèn)識論和科學(xué)觀.為了強(qiáng)化學(xué)生對逆矩陣概念的理解，我們給出六點(diǎn)說明，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度.

三、矩陣可逆的充要條件

由E-1=E;On不可逆，說明并不是每一個(gè)方陣都可逆.教師提問：

（1）方陣可逆的充要條件是什么呢？我們知道方陣A的行列式是一個(gè)數(shù)，類比在代數(shù)論中，數(shù)a“可逆”a≠0，是否有方陣A可逆|A|≠0？

（2）當(dāng)方陣A可逆時(shí)，如何來求方陣A的逆矩陣呢？

教師帶領(lǐng)學(xué)生回憶上節(jié)課所講的伴隨矩陣A*的一個(gè)基本性質(zhì)：AA*=A*A=|A|E，它離我們所求的AA-1=A-1A=E只有一步之遙，這一步是需要條件的，請同學(xué)們想一想應(yīng)該是什么呢？進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生由AA*=A*A=|A|E推導(dǎo)出：A可逆的必要條件是|A|≠0;又因?yàn)锳可逆時(shí)，一定有|A|≠0，于是得到教材中的定理1：

定理1（可逆矩陣的判別定理）[9]n 階方陣A可逆的充要條件是|A|≠0，且當(dāng)A可逆時(shí)，有A-1=1|A|A*，其中A*為A的伴隨矩陣.

注：利用定理1求逆矩陣的方法稱為伴隨矩陣法.

設(shè)計(jì)意圖：教師利用研究式和類比式的教學(xué)方法，有利于學(xué)生理解定理，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力.通過定理的充分條件和必要條件的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.由矩陣的可逆與不可逆，引出“對立和統(tǒng)一”的辯證關(guān)系，因?qū)α⒛苡纱思氨?，因統(tǒng)一能相互利用，構(gòu)成了線性代數(shù)豐富的知識體系.

例1 已知A=1958，求A-1.

總結(jié) 當(dāng)abcd≠0時(shí)，abcd-1=1ad-bcd-b-ca.

口訣 主對調(diào)、次添負(fù)、乘行列式分之一.

注意 此口訣只適合于二階方陣求逆矩陣.

例2 已知A=4-13-2123-10，求A-1.

總結(jié) 用伴隨矩陣法求逆矩陣的步驟：

（1）計(jì)算行列式|A|，當(dāng)|A|≠0時(shí)，方陣A的逆矩陣存在;

（2）求伴隨矩陣A*;

（3）利用公式A-1=1|A|A*，求出A-1.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生由一般方法總結(jié)出特殊矩陣的逆的求法公式，使計(jì)算簡潔的同時(shí)又培養(yǎng)了學(xué)生在學(xué)習(xí)知識過程中獲得的成就感.將全班分成4組，讓每個(gè)小組合的學(xué)生分別計(jì)算行列式|A|、伴隨矩陣A*的三行，最后教師帶領(lǐng)學(xué)生一起算出A-1，目的是減少課內(nèi)簡單計(jì)算所用的時(shí)間，充分突出教學(xué)重點(diǎn)，分散教學(xué)難點(diǎn)，還能讓學(xué)生獲得到團(tuán)隊(duì)合作的成就感.學(xué)生由例2的解題過程可以總結(jié)出用伴隨矩陣法求逆矩陣的三步驟，在第一章學(xué)過行列式的計(jì)算，在上節(jié)課學(xué)過伴隨矩陣的求法，這樣就達(dá)了用舊知識解決新問題的目的.對比例1 和例2的解題過程，可以看出：隨著矩陣階數(shù)的增加，用伴隨矩陣法求逆矩陣的計(jì)算量將會大大增加，于是在第三章我們會介紹求逆矩陣的新方法——初等變換法.

四、抽象矩陣可逆的判定

從前邊的研究中可知定義法和伴隨矩陣法各有其利弊，我們將其綜合起來可否找到一條捷徑呢？

帶領(lǐng)學(xué)生分析：AB=E|A||B|=1|A|≠0，|B|≠0方陣A，B都可逆，且B=EB=（A-1A）B=A-1（AB）=A-1E=A-1，所以只要滿足AB=E就能得出A，B互為逆矩陣的結(jié)論.于是得到如下推論：

推論 [9]：若同階方陣A，B滿足AB=E （或BA=E），則A-1=B，B-1=A.

此推論說明：如果要驗(yàn)證A是否可逆，且矩陣B是否為A的逆矩陣，那么只要驗(yàn)證AB=E或BA=E中的一個(gè)就行，該方法稱為驗(yàn)證法.

例3 設(shè)方陣A滿足A2-A-2E=0，證明A可逆，并求A-1.

設(shè)計(jì)意圖：教師采用啟發(fā)式教學(xué)，利用分析法從結(jié)論出發(fā)尋求每一步推導(dǎo)的思路，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，并將研究問題和解決問題貫穿教學(xué)的始終.

五、逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)

教師讓學(xué)生利用推論驗(yàn)證：若矩陣A，B可逆，常數(shù)k≠0，則A-1，kA，AB，AT是否可逆？并驗(yàn)證：（A-1）-1=A，（kA）1kA-1=E，（AB）-1（B-1A-1）=E，（AT）（A-1）T=E，|A-1||A|-1=1.進(jìn)而得出教材中逆矩陣的5條運(yùn)算性質(zhì)[9]：

（1）若矩陣A可逆，則A-1也可逆，且（A-1）-1=A;

（2）若矩陣A可逆，數(shù)k≠0，則（kA）-1=1kA-1;

（3）兩個(gè)同階可逆矩陣A，B的乘積是可逆矩陣，且（AB）-1=B-1A-1;

注：此性質(zhì)可推廣到任意有限個(gè)同階可逆矩陣的情形，即若A1，A2，…，An均是n階可逆矩陣，則A1A2…An也可逆，且（A1A2…An）-1=A-1n…A-12A-11.

（4）若矩陣A可逆，則AT也可逆，且有（AT）-1=（A-1）T;

（5）若矩陣A可逆，則|A-1|=|A|-1.

例4 若三階方陣A的伴隨矩陣為A*，已知|A|=12，求|（3A）-1-2A*|.

設(shè)計(jì)意圖：教師采用啟發(fā)式教學(xué)法，讓學(xué)生利用推論得出逆矩陣的5條性質(zhì)，提高學(xué)生在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和總結(jié)規(guī)律的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.設(shè)計(jì)例4的目的是鍛煉學(xué)生利用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算的能力.

六、逆矩陣的應(yīng)用

（一） 逆矩陣在解矩陣方程中的應(yīng)用

含有未知矩陣X的方程稱為矩陣方程，有如下三種標(biāo)準(zhǔn)形式的矩陣方程[9]：

（1）矩陣方程AX=B，其中A為n階可逆方陣，則AX=B有唯一解：X=A-1B;

（2）矩陣方程XA=B，其中A為n階可逆方陣，則XA=B有唯一解：X=BA-1;

（3）矩陣方程AXB=C，其中A為n階可逆方陣，B為m階可逆方陣，則AXB=C有唯一解：X=A-1CB-1.

例5 利用逆矩陣求解線性方程組4x1-x2+3x3=2-2x1-x2+3x3=03x1-x2=1.

設(shè)計(jì)意圖：與引入相呼應(yīng)，強(qiáng)調(diào)有了逆矩陣相當(dāng)于矩陣有了類似于數(shù)的除法運(yùn)算.解釋之所以有三種標(biāo)準(zhǔn)形式的矩陣方程，是因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律，即空間位置不能變，但時(shí)間次序可以變.教師可順勢引導(dǎo)學(xué)生行事做人要遵紀(jì)守法.例5的求解過程用到例2的結(jié)果，設(shè)計(jì)的目的是減少課堂上計(jì)算的時(shí)間，將授課重點(diǎn)放在掌握解決問題的方法和數(shù)學(xué)的思維方法上.例5講解完后，

教師提問：用逆矩陣求解矩陣方程的條件和Gramer法則的條件是否相同呢？條件是相同的，因?yàn)榉疥嘇可逆的充要條件是|A|≠0.教師繼續(xù)提問：矩陣的乘法一般不滿足消去律，兩個(gè)非零矩陣的乘積也可能是零矩陣，即A，B，C是同階方陣，由AB=AC不一定能推出B=C，由AB=O不一定能推出A=O或B=O.今天學(xué)習(xí)了逆矩陣之后，請同學(xué)們思考一下，要使得推導(dǎo)關(guān)系成立，需要加什么條件呢？當(dāng)方陣A可逆時(shí)，在等式AB=AC兩邊左乘逆矩陣A-1則可得到B=C.在等式AB=O兩邊左乘逆矩陣A-1則可得到B=O.該提問的設(shè)計(jì)有利于培養(yǎng)學(xué)生“立體、全面地學(xué)”的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及構(gòu)建前后知識的關(guān)聯(lián).

（二）逆矩陣在保密通信中的應(yīng)用

已知加密矩陣A和密文矩陣B，要解密得到明文矩陣X就是求解矩陣方程AX=B，而當(dāng)加密矩陣A是可逆矩陣時(shí)，可得明文矩陣X=A-1B.所以，雙方只需要事先約定好加密矩陣A，當(dāng)接收方收到加密電文時(shí)，利用逆矩陣A-1即可進(jìn)行解密.

還記得前文老師發(fā)來的密信嗎？它的答案是：I LOVE YOU.教師進(jìn)一步提問：是否有其他加密方式呢？因?yàn)榫仃嚪匠逃腥N標(biāo)準(zhǔn)形式，解密的過程就是求解矩陣方程的過程，所以還可以用加密矩陣A右乘明文矩陣X，也可以尋找兩個(gè)可逆矩陣A和A1，分別左乘和右乘加密AXA1.接著，教師布置今天的一道作業(yè)題：請同學(xué)們利用今天所學(xué)的知識，嘗試給老師或者同學(xué)發(fā)一封有趣的密信.

七、小結(jié)

思政元素的融入既要不失時(shí)機(jī)，又要潤物無聲.逆矩陣的定義、性質(zhì)和定理中，研究的主體都是互逆矩陣A和B，其實(shí)單位矩陣看似可有可無，但其可承載前所未有的重任，如AA-1=A-1A=E，承擔(dān)著連接兩個(gè)互逆矩陣的重要橋梁作用;在“已知A2-A-2E=0，證明A可逆，并求A-1”的解題過程中，等位矩陣E也是哪里需要哪里搬.教師也要引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的人生觀，我們要做那個(gè)“E”，低調(diào)做人，認(rèn)真做事，時(shí)刻準(zhǔn)備著，哪里需要哪里去;做一名有思想、有抱負(fù)的人才，在祖國和人民需要的時(shí)候，做出應(yīng)有的貢獻(xiàn).

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