圓形或扇形薄板的橫向振動(dòng)問題(一) 圓心處的邊界條件

吳崇試

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100871)

《大學(xué)物理》等刊物上發(fā)表的一系列文章(見文獻(xiàn)[1-5])，討論了各種形狀薄板的橫振動(dòng)固有頻率問題.大約3年前，針對(duì)扇形薄板的問題，筆者曾經(jīng)提出了質(zhì)疑[6]，基本觀點(diǎn)有兩個(gè)方面：第一方面是關(guān)于邊界條件，在扇形的情況下周期條件不適用，同時(shí)圓心處的邊界條件似乎也存在問題.前者應(yīng)該是基本的共識(shí)，無(wú)需進(jìn)一步闡述，本文將對(duì)后者作比較仔細(xì)的分析，并提出圓心處邊界條件的正確提法.第二方面是四階偏微分方程的分離變量問題，這方面的內(nèi)容，留待下一篇文章闡述.

1 圓形薄板圓心處原有邊界條件的分析

本文之所以選擇圓形薄板加以討論，原因是這時(shí)可以應(yīng)用周期條件，而且，為了簡(jiǎn)單起見，本文還只討論邊界固定情形下的圓形薄板橫向振動(dòng)問題，這樣，我們可以專注于圓心處邊界條件的正確選取.

在上述條件下，對(duì)于薄板的固有振動(dòng)模式，本征值問題就是[7]:

(Δ2-k4)w=0

(1)

周期條件w(r,θ)=w(r,θ+2π)

(2)

w(r,θ)在圓心r=0處的(自然)邊界條件

w(r,θ)在圓周r=a上的邊界條件

因?yàn)閳A周固定，w(r,θ)在圓周r=a上邊界條件的表述形式就是[7]

w|r=a=0

(3)

(4)

對(duì)于圓心處的邊界條件，筆者搜索過相關(guān)文章，發(fā)現(xiàn)大體有兩種形式，一種是像文獻(xiàn)[7]那樣，沒有明確列出，實(shí)際上只是要求

w|r=0有界

(5)

還有像文章[1-5]中那樣，除了上式之外，還要求

(6)

但這兩種情況下都沒有給出嚴(yán)格的推導(dǎo)，下面我們將嚴(yán)格論證，這樣的邊界條件，并不能得出文章[1-5]或文章[7]中的結(jié)論.

考慮到周期條件(2)的要求，振動(dòng)模式應(yīng)該是

w(r,θ)=Rm(r)cosmθ

(7)

或

w(r,θ)=Rm(r)sinmθ

(8)

于是R(r)所滿足的方程就是

(9)

如果采用邊界條件(3)—(6)，它們也可以分離變量，從而得到

R(0)有界

(10)

R′(0)有界

(11)

R(a)=0

(12)

R′(a)=0

(13)

當(dāng)k≠0時(shí)，式(9)的通解是

Rm(r)=AmJm(kr)+BmNm(kr)+CmIm(kr)+DmKm(kr)

(14)

代入邊界條件，原則上就應(yīng)當(dāng)可以求出k，從而進(jìn)一步定出固有振動(dòng)頻率.

現(xiàn)在仔細(xì)地分析一下解式(14)在r=0處的行為.因?yàn)镴m(kr)和Im(kr)在全平面解析，所以只需討論一下Nm(kr)和Km(kr)在r=0處的行為.

1) 當(dāng)m=0時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是

因此，將它們適當(dāng)組合起來，有

由于在r=0附近，

R0(r)=A0J0(kr)+B0V0(kr)+C0I0(kr)

(15)

而且邊界條件(11)自然成立.再進(jìn)一步利用邊界條件(12)和(13)，我們就得到

A0J0(ka)+B0V0(ka)+C0I0(ka)=0，

給定任意k，通過這兩個(gè)方程，總可以求得非零解A0，B0，C0.換言之，此方程組對(duì)任意k均成立.這意味著，當(dāng)m=0時(shí)為連續(xù)譜！甚至還可以是復(fù)數(shù)！

2) 當(dāng)m=1時(shí)，可以類似地將N1(kr)和K1(kr)作適當(dāng)?shù)木€性組合，從而得到

顯然，在r=0附近，有

我們看到，當(dāng)m=1時(shí)，只要求滿足邊界條件(10)或是要求同時(shí)滿足條件(10)、(11)，會(huì)導(dǎo)致截然不同的結(jié)果：如果只是要求滿足邊界條件(10)，則式(14)中的D=2B/π，而B任意，因此會(huì)得到與m=0時(shí)相同的結(jié)論；如果再加上式(11)的要求，則有B=D=0，再利用邊界條件(12)和(13)，我們就得到

AJ1(ka)+CI1(ka)=0

此方程組有非零解的充分必要條件是

由此即可定出本征值k1i,i=1,2,3,…,相應(yīng)的非零解(固有振動(dòng)模式)為

R1(r)=I1(k1ia)J1(k1ir)-J1(k1ia)I1(k1ir)

3) 當(dāng)m=2時(shí)，同樣可以將N2(kr)和K2(kr)作線性組合：

因?yàn)樵趓=0附近：

A2J2(ka)+B2V2(ka)+C2N2(ka)=0,

定出本征值為連續(xù)譜！

4) 當(dāng)m≥3時(shí)，可以作類似的分析.這時(shí)，無(wú)論將Nm(kr)與Km(kr)作何種組合，均不可能滿足邊界條件(10)[即R(0)有界]的要求，必須有B=D=0，因此式(14)變?yōu)?/p>

Rm(r)=AJm(kr)+CIm(kr),m=3,4,5,…

(16)

的正零點(diǎn)，相應(yīng)的固有振動(dòng)模式為

Rm(r)=Im(kmia)Jm(kmir)-Jm(kmia)Im(kmir)

綜上所述，在承認(rèn)本征值問題(1)—(5)或(1)—(6)的前提條件下，可以得出下列結(jié)論：

1) 單獨(dú)的Nm(kr)、Km(kr)在r=0的確無(wú)界，但是它們的線性組合仍然可能有界.

2) 當(dāng)m=0，2時(shí)，只要求R(0)有界，則自動(dòng)導(dǎo)出R′(0)有界.因此定出的k為連續(xù)譜，甚至可以是任意復(fù)數(shù)值.此結(jié)果令人費(fèi)解，而且可能與實(shí)驗(yàn)事實(shí)不符！

3) 當(dāng)m=1時(shí)，要求R(0)有界或是要求R(0)、R′(0)均有界，將得到不同結(jié)果.前者可以得到離散譜，后者則是連續(xù)譜.

4) 當(dāng)m≥3時(shí)又出現(xiàn)另外一種現(xiàn)象，即只要R(0)有界一個(gè)條件就足以定出B=D=0，R′(0)有界或R″(0)有界都變成是多余的？

2 圓心處邊界條件的正確提法

基于上面的分析，筆者認(rèn)為，根本原因是上面的本征值問題中r=0處邊界條件(6)不正確！

不妨回憶一下在圓形區(qū)域內(nèi)二維拉普拉斯方程的本征值問題中，也是采用平面極坐標(biāo)系，并且將坐標(biāo)原點(diǎn)置于圓心，這時(shí)在圓心r=0處，應(yīng)該加上有界條件u|r=0有界.受這一事實(shí)的啟發(fā)，如果把方程(1)改寫為方程組：

自然會(huì)得想到在r=0處，取代原有的邊界條件(6)，正確的邊界條件應(yīng)該是要求

u|r=0有界

即

(17)

這樣，Rm(r)所滿足的本征值問題就是

(18)

Rm(0)有界

(19)

(20)

Rm(a)=0

(21)

(22)

而且k≠0(證明從略).式(18)的通解仍為式(14).因?yàn)镴m(kr)及Im(kr)在全平面解析，這兩個(gè)函數(shù)以及它們的任意階導(dǎo)數(shù)在r=0均有界，所以在討論解式(14)在r=0點(diǎn)是否滿足邊界條件(19)、(20)時(shí)，就只需考慮函數(shù)Nm(kr)和Km(kr)，注意有

所以，將解式(14)代入邊界條件(19)、(20)時(shí)，就得到

[BmNm(kr)+DmKm(kr)]r=0有界，

[BmNm(kr)-DmKm(kr)]r=0有界

這樣就導(dǎo)致

從而定出Bm=Dm=0.因此就只需要將

Rm(r)=AmJm(kr)+CmIm(kr)

代入邊界條件(21)、(22)，給出

AmJm(ka)+CmIm(ka)=0,

此方程組有非零解的充分必要條件是

Rm(r)=Im(kmia)Jm(kmir)-Jm(kmia)Im(kmir)

以下從略.

3 討論

上面分析了圓形薄板橫振動(dòng)的固有振動(dòng)頻率問題，發(fā)現(xiàn)圓心r=0處邊界條件的現(xiàn)有提法，會(huì)導(dǎo)致固有振動(dòng)頻率為連續(xù)譜，甚至固有振動(dòng)頻率還可以取復(fù)數(shù)值.這和既有實(shí)驗(yàn)事實(shí)不相符合.筆者之所以給出了比較詳細(xì)的計(jì)算，無(wú)非是因?yàn)楝F(xiàn)有文獻(xiàn)中對(duì)此問題并未曾作認(rèn)真而仔細(xì)的分析，甚至以為只要R(0)有界一個(gè)條件就足以排除掉Nm(kr)和Km(kr)兩個(gè)特解.

針對(duì)圓形薄板橫振動(dòng)問題中有關(guān)圓心處邊界條件提法的欠缺，筆者提出了在圓心r=0處邊界條件的新提法，即式(5)和式(17).這樣的邊界條件，比較完滿地解決了求解圓形薄板橫振動(dòng)固有振動(dòng)頻率的問題.當(dāng)然，這一提法是否正確，還有待實(shí)驗(yàn)事實(shí)的檢驗(yàn).但是，至少?gòu)睦碚撋险f，這一新提法，也可以從變分計(jì)算的角度得到支持.因?yàn)闆Q定固有頻率的本征值問題，從變分法的角度來看，它來自勢(shì)能項(xiàng)在給定邊界條件以及約束條件(本征函數(shù)可歸一化)下的條件極值問題，即[7]

其中D0是薄板的抗彎剛度，ρ和h則是薄板的密度和厚度，而由拉格朗日乘子ω2即可定出固有振動(dòng)頻率ω.根據(jù)上式，經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算，就能導(dǎo)出偏微分方程:

以及相應(yīng)的邊界條件.計(jì)算中需要用到格林公式，如果采用平面極坐標(biāo)系，還應(yīng)該額外增加一項(xiàng)在原點(diǎn)處的邊界條件：

因此，最簡(jiǎn)單的情形，便應(yīng)當(dāng)要求在原點(diǎn)處

和

表面上看來，似乎可以組成4種不同的邊界條件.但第2節(jié)的分析表明

是不正確的組合，應(yīng)當(dāng)排除.而正確的邊界條件可能只有兩種，即

或

本文之所以討論圓形薄板，原因是在這種情形下，可以應(yīng)用周期條件，在圓周上的邊界條件給定的情況下，本征值問題是否有合乎物理預(yù)期的解，就只取決于圓心處邊界條件的提法是否正確.在扇形情況下，就還涉及θ=常數(shù)的兩條半徑上的邊界條件.下一篇文章將討論這種情形.我們將看到，它還與4階偏微分方程的分離變量問題密切相關(guān).

最后，需要說明，筆者只是從事物理專業(yè)的教學(xué)和科研工作，對(duì)于彈性力學(xué)的知識(shí)欠缺.以上有關(guān)圓心處邊界條件的提法，純粹是從數(shù)理方程的角度進(jìn)行的，是否合理，這樣的邊界條件相當(dāng)于薄板的何種物理狀態(tài)，還需要從彈性力學(xué)專業(yè)的角度考察.歡迎批評(píng)指正.

致謝：作者感謝與楊孔慶教授、宣本金教授及白在橋教授進(jìn)行的有益討論，他們的建議豐富了本文的內(nèi)容.