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    均質(zhì)Reuleaux多邊形平板轉(zhuǎn)動慣量的求解

    2022-06-10 06:07:58張會均蔣逢春王世卓
    大學物理 2022年6期
    關鍵詞:邊形弓形正三角形

    張會均,陳 靖,蔣逢春,王世卓

    ( 鄭州輕工業(yè)大學 物理與電子工程學院,河南 鄭州 450001 )

    Reuleaux三角形是德國機械工程Franz Reuleaux提出來的. Reuleaux三角形是以正三角形的三個頂點為圓心,以其邊長為半徑作圓,在三個圓的交匯處,由三段圓弧組成的一種特殊圖形. 當它在地面滾動時,其高度始終不變,為正三角形的邊長,因此也稱此類曲線為等寬曲線. 高度相同的等寬曲線具有相同的周長,其中圓的面積最大,Reuleaux三角形的面積最小. 等寬曲線的應用比較廣泛,例如,Reuleaux三角形鉆頭可鉆出正方形的孔洞,Reuleaux五邊形鉆頭則能給出正六邊形的鉆孔,這能滿足一些特殊的工業(yè)設計需求;馬自達Renesis轉(zhuǎn)子發(fā)動機的轉(zhuǎn)子截面是Reuleaux三角形[1],相對于傳統(tǒng)活塞式發(fā)動機,轉(zhuǎn)子發(fā)動機體積小,質(zhì)量輕,運行平穩(wěn),噪聲小,相同排量的轉(zhuǎn)子發(fā)動機的輸出功率和扭矩更大.

    轉(zhuǎn)動慣量用來衡量剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動時慣性的大小,剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算是大學物理教學的一類典型題目. 本文以勻質(zhì)的Reuleaux多邊形剛性平板為研究對象,求解繞過質(zhì)心并垂直于平板轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量.

    1 Reuleaux三角形板

    1.1 方法1:扇形+弓形

    圖1 Reuleaux三角形

    轉(zhuǎn)軸命名的規(guī)則如下,第1個字母代表轉(zhuǎn)軸通過的點,第2個字母P代表垂直于平板的軸,例如OP指過質(zhì)心O并垂直于平板的轉(zhuǎn)軸. 求解Reuleaux三角形板繞質(zhì)心軸OP的轉(zhuǎn)動慣量IReu-3,可先求繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量IA. 如圖1(a)所示,將Reuleaux三角板分成3個區(qū)域,則有IA=IAI+IAII+IAIII=IAII+2IAI. 扇形區(qū)域II的轉(zhuǎn)動慣量IAII以A為圓心,半徑L3圓盤的1/6,有

    (1)

    設平板的面質(zhì)量密度為σm,求解弓形區(qū)域I的轉(zhuǎn)動慣量,可建立如圖1(b)所示的極坐標系,圓心角為dθ的陰影區(qū)域是以A為圓心,半徑為2L3cosθ圓盤的一部分,其轉(zhuǎn)動慣量為

    (2)

    (3)

    因此

    (4)

    根據(jù)平行軸定理,Reuleaux三角形板繞OP軸的轉(zhuǎn)動慣量:

    (5)

    其中

    (6)

    是Reuleaux三角形的面積. 半徑為R的圓盤繞OP軸的轉(zhuǎn)動慣量:

    (7)

    由式(5)可得

    (8)

    即Reuleaux三角形板的轉(zhuǎn)動慣量約為外接圓盤的47.1%.

    1.2 方法2:正三角形+弓形

    將Reuleaux三角形分為一個正三角形和三個弓形. 勻質(zhì)正三角形平板繞OP軸的轉(zhuǎn)動慣量[3]為

    (9)

    圖2 弓形質(zhì)心C

    IOC=IC+mCOC2,

    IAC=IC+mCAC2,

    IA△=IO△+m△R2,

    (10)

    上式中IOC、IAC和IC分別是弓形繞OP、AP和其質(zhì)心軸CP的轉(zhuǎn)動慣量,IA△是正三角形繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量,IAL3是以A為圓心,半徑為L3的圓盤繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量,mC是弓形的質(zhì)量.

    弓形質(zhì)心的y坐標為

    (11)

    聯(lián)立式(9)—(11),并考慮

    IReu-3=IO△+3IOC

    (12)

    可得到與式(8)相同的結(jié)果.

    上述2種方法的區(qū)別主要在于對Reuleaux三角形板的分區(qū)方式. 方法1是分區(qū)積分的,由于A點不僅在扇形II的圓心處,也在弓形I、III的圓弧上,因此可以用積分的方法求解IA;方法2則是將其分為正三角形和弓形,需要確定出弓形的質(zhì)心位置,并根據(jù)平行軸定理求解IOC,優(yōu)點是此過程用到了IC但不涉及具體求解.

    2 Reuleaux多邊形板

    Reuleaux多邊形板轉(zhuǎn)動慣量采用方法1直接積分求解有一定的困難,以圖3(a)中Reuleaux五邊形為例,由于A點與區(qū)域I和III有直接關系,可直接積分求解繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量,而對于區(qū)域II來講,A點既不是圓弧的圓心,也不在圓弧的圓周上,直接積分求解區(qū)域II繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量有一定的困難.

    圖3 Reuleaux五邊形

    邊數(shù)為N的ReuleauxN邊形可看作由內(nèi)接正N邊形和N個弓形組成,則ReuleauxN邊形繞OP的轉(zhuǎn)動慣量:

    IReu-N=ION+NIOC

    (13)

    ION和IOC分別是正N邊形[3]和弓形繞OP軸的轉(zhuǎn)動慣量

    (14)

    其中

    分別是正N邊形的質(zhì)量、邊長和內(nèi)切圓半徑. 設點C是ReuleauxN邊形其中一弓形[圖3(b)陰影區(qū)]的質(zhì)心,根據(jù)平行軸定理,有

    (18)

    上式中IOC、IAC和IC分別是弓形繞OP、AP和CP軸的轉(zhuǎn)動慣量.IALN是以A為圓心,半徑為LN的圓繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量.IA△是三角形AEF[如圖3(b)所示]繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量.IA-2N是以A點為中心,正2N邊形繞AP軸的轉(zhuǎn)動慣量,其中心點A到其頂點E、F的距離是LN,LN同時也是ReuleauxN邊形圓弧的半徑.IA-2N的計算需要用到式(14),但要注意相關參數(shù)需要對應變化.

    弓形的質(zhì)心坐標:

    (19)

    其中弓形的質(zhì)量為

    (20)

    聯(lián)立式(13)—(20)可得到IReu-N,具體將在第3節(jié)與數(shù)值積分結(jié)果對比討論.

    3 數(shù)值積分

    勻質(zhì)剛體繞轉(zhuǎn)軸OP的轉(zhuǎn)動慣量定義如下

    (21)

    其中r是質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的距離. ReuleauxN邊形繞OP軸轉(zhuǎn)動時具有N重旋轉(zhuǎn)對稱性,所以只需要求其1/N(如圖4中的陰影區(qū)域)的轉(zhuǎn)動慣量即可.

    圖4 坐標系

    圖4(a)中Reuleaux三角形的陰影區(qū)域分布在一、二象限,當邊數(shù)N>3時,多邊形的1/N[以圖4(b)陰影區(qū)為例]僅分布在第1象限. 圖4中OE=OF=R是外接圓半徑. 圖4(a)中陰影區(qū)坐標(x,y)的約束條件是

    (22)

    圖4(b)中ReuleauxN邊形陰影區(qū)的圓心角θ=2π/N,陰影區(qū)坐標(x,y)的約束條件是

    0≤x≤R, 0≤y≤xtanθ

    (23)

    (24)

    則基于式(21),Reuleaux N邊形的轉(zhuǎn)動慣量可寫為

    (25)

    實現(xiàn)式(25)所使用的編程語言是Fortran95,計算相關的物理量均設置為雙精度. 取面元ds=dxdy為正方形,dx=dy是兩個方向的積分步長,并取R=1(SI),σm=1(SI). 數(shù)值求解IReu-N的精度取決于面元ds的大小,所以需要先進行面元ds的大小的收斂測試,令

    (26)

    為ReuleauxN邊形板轉(zhuǎn)動慣量與其外界圓盤的比值,顯然當N→∞時有ηN→1,式(8)給出了解析結(jié)果η3=0.470 556 583 4(保留10位有效數(shù)字).

    表1列出了面元ds的大小對η3的影響及相對誤差,隨著ds的減小,η3的結(jié)果趨向解析結(jié)果,相對誤差也隨之降低. 數(shù)值積分的誤差一方面是因為當考慮面元到轉(zhuǎn)軸的距離時,忽略了面元本身的大小,另一方面是當面元恰好在陰影區(qū)邊界處時,面元的一部分是在陰影區(qū)之外的,注意,這兩種誤差來源均可通過減小面元來降低. 但考慮數(shù)值結(jié)果的精度和計算效率,在后續(xù)的計算中均取ds=4.00E-10(SI).

    表1 η3數(shù)值解的收斂測試

    計算ηN時,IReu-N分別使用解析式(13)和數(shù)值積分式(25)就得到了表2中ηN的解析與數(shù)值結(jié)果,表2中的下劃線是數(shù)值解與解析解不同的部分,數(shù)值解的相對誤差隨著N的增大而增大,這是因為相同的ds所帶來的誤差在1/N的ReuleauxN邊形中的占比更大,表2中的結(jié)果也表明了Reuleaux多邊形板的轉(zhuǎn)動慣量隨著N的增大也愈趨近于其外接圓盤.

    表2 ηN的解析解與數(shù)值積分結(jié)果

    需要注意的是,ReuleauxN邊形的邊數(shù)N只能取奇數(shù)[4]. 圖5中列出了ReuleauxN邊形板與正N邊形板的轉(zhuǎn)動慣量相對于外界圓盤的比例. 當N較小時,兩者相差較大,例如IReu-3是其外接圓盤的47.06%,而I△僅為其外接圓盤的20.67%;隨著邊數(shù)N的增大,ηN→1,此時正多邊形板、Reuleaux多邊形板的結(jié)果都向其外接圓盤趨近,例如,IReu-27可達外接圓盤的99.1%,正27邊形板的轉(zhuǎn)動慣量是其外接圓盤的98.2%.

    圖5 轉(zhuǎn)動慣量相對于外接圓盤的比例

    4 結(jié)語

    勻質(zhì)Reuleaux多邊形平板轉(zhuǎn)動慣量的解析解與數(shù)值解的相互吻合,印證了求解方法的正確性,并定量地給出了一些符合理論變化趨勢的結(jié)論. Reuleaux多邊形是一類特殊的等寬曲線,每個圓弧邊所對的圓心角相同,內(nèi)嵌的是正多邊形,其實只要對角線相等而邊長不一定相等的奇數(shù)多邊形都可形成等寬曲線. 等寬曲線型平板轉(zhuǎn)動時的高度雖然不變,但其質(zhì)心高度卻是時刻變化的,因此并沒有廣泛應用在車輪上. Reuleaux多邊形等寬曲線在互關聯(lián)干涉成像儀的設計上也有相關應用[5].

    根據(jù)等寬曲線的特征,Reuleaux多邊形平板容易推廣到沿各個方向滾動高度都不變的Reuleaux多面體,但與Reuleaux多邊形平板不同的是,Reuleaux多邊體的類型是有限個數(shù)的,其轉(zhuǎn)動慣量可通過內(nèi)接正多面體[6]和若干球冠的結(jié)果疊加得到.

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