纖維叢、規(guī)范場和楊-米爾斯方程之間的類比
——學(xué)科融合研究的一條途徑

趙松年,路 博,陳 肯，黃 旭

(1. 中國科學(xué)院 大氣物理研究所，北京 100029：2. 北京郵電大學(xué) 理學(xué)院，北京 100876)

(1)

其實，對于場量，施加某種變換，并使其場方程保持不變，這個附加的變換必須滿足一定條件，也就是符合規(guī)范：變換后能使原系統(tǒng)的數(shù)學(xué)形式不變.可見，規(guī)范是借助適當?shù)囊?guī)范函數(shù)研究場論整體特性的一種方法，另一種方法便是通過場與粒子的相互作用來研究其動力學(xué)特性.

這里使人們不禁想起，愛因斯坦1905年提出：物理方程的數(shù)學(xué)形式，在所有慣性參照系中應(yīng)保持不變(相對性原理).就是說，在笛卡兒空間，低速運動的物體，牛頓第二定律符合伽利略變換；高速運動的物體，在閔科夫斯基時空中，與洛倫茲變換相適應(yīng)；進一步(1915年)，愛因斯坦又根據(jù)慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量相等提出的等效原理，也就是他的廣義協(xié)變思想，在黎曼彎曲空間里，將引力場方程(也包括狹義相對論)用張量表示，數(shù)學(xué)表示式已經(jīng)脫離了坐標系，顯示了完全的協(xié)變形式.

類似地，在這里，規(guī)范不變性就是指，不同的場有不同的規(guī)范函數(shù)，在規(guī)范函數(shù)作用下，場變量按規(guī)范函數(shù)變換，但其數(shù)學(xué)表示應(yīng)當不變，由于不變性等價于對稱性，而對稱性支配粒子間的相互作用，因此，從宏觀系統(tǒng)的時空變換(即對于洛倫茲群變換，物理方程在時空平移之下的數(shù)學(xué)形式應(yīng)保持不變)到微觀系統(tǒng)的規(guī)范變換(也就是說，電磁場與粒子相互作用的耦合形式——協(xié)變導(dǎo)數(shù)及其相應(yīng)的拉格朗日密度，在轉(zhuǎn)動群的變換即空間轉(zhuǎn)動下具有不變性)，物理思想是繼承和發(fā)展的，并不是突如其來的.

雖然對于規(guī)范場、纖維叢、楊-米爾斯方程之間關(guān)聯(lián)的探討，始于1975年，但仍然局限于很小的范圍.纖維叢對于許多物理學(xué)者，規(guī)范場、特別是楊-米爾斯方程對于許多數(shù)學(xué)研究人員，都是不常涉及的基礎(chǔ)領(lǐng)域，可能并不很熟悉.因此，為了使更多的非專業(yè)化讀者關(guān)注甚至參與這一新領(lǐng)域，除了我們初步的研究結(jié)果之外，以下的論述著重討論了這幾個概念的形成、發(fā)展和彼此之間的關(guān)聯(lián)，特別強調(diào)了基礎(chǔ)概念的清晰，數(shù)學(xué)表示的物理含義的明確，盡量使本文具有可讀性，閱讀之后對讀者有啟發(fā)價值.

2 研究規(guī)范場的意義

若矢勢A和標勢φ以如下形式引入電磁場：

(2)

(3)

這就是矢勢A和標勢φ的來源，它的引入，的確會使電磁場方程的計算簡化，顯然，用一個方程代替麥克斯韋的4個方程，對理論研究更加有利.可以構(gòu)成拉格朗日函數(shù)，還可以說，這樣引入的變換，就是規(guī)范變換，它形成規(guī)范場，不僅與原來的電磁場方程等價，而且，在量子場論的研究中具有極為重要的意義.

不過，這里要說明的是，規(guī)范不變性是針對式(2)而言，設(shè)φ是坐標與時間的任意函數(shù)φ(x,t)，作如下變換：

(3)

代入式(2)，得

規(guī)范不變性體現(xiàn)出自然界的基本規(guī)律應(yīng)該具有普適性，因為，大自然饋贈給人類的規(guī)律，一是普適性；二是不變性，它包含的物理意義是能量、動量、角動量、電荷等等的守恒；三是對稱性，在進行某種變換之后，要求對稱性不變，這正是研究規(guī)范場的意義所在，它的另一個重要意義是：薛定諤方程在U(1)群作用下的相位規(guī)范不變性，顯示電荷守恒，可以重新建立電磁場理論，表明電磁場是U(1)規(guī)范場，在本文的后面將會闡明，這種不變性包含了深刻的空間屬性和微分幾何結(jié)構(gòu)，自然地與纖維叢理論聯(lián)系起來，成為學(xué)科融合研究基礎(chǔ).

3 纖維叢、聯(lián)絡(luò)和對稱性之間的關(guān)聯(lián)與類比

前面曾經(jīng)提到，“楊振寧先生在紐約大學(xué)石溪分校一次廣義相對論的授課之后，無意間將楊-米爾斯方程和引力場方程的曲率張量的數(shù)學(xué)表達式進行了比較，驚奇地發(fā)現(xiàn)它們有許多相似之處”，這就說明，當時的比較，是兩種不同的物理概念和數(shù)學(xué)描述的比較.現(xiàn)在，當進一步介紹和論述這種類比時，自然需要首先給出對張量場、纖維和聯(lián)絡(luò)的物理概念和微分幾何涵義的準確、清晰的說明，下面將在盡量少用數(shù)學(xué)公式的情況下，使論述保持一定的深刻性.

(4)

我們已經(jīng)說明了“叢”的幾何涵義，如果在無限小概念的基礎(chǔ)上更深層次地思考，那么，彎曲空間中在一點的曲面與過該點的切平面，在極限過程中可以看成等同，在該點可以設(shè)置一個笛卡兒坐標系(標架)，不同的點有不同的笛卡兒坐標系，稱之為活動標架，這是“叢”的另一個涵義.可是，這種方法還很復(fù)雜，不便于理解和應(yīng)用，正如微分幾何大師陳省身先生指出的，數(shù)學(xué)家“干”了一件重要的事，就是將切空間豎起來[5]，這是什么意思？就是過這些點作切平面的垂線，過一點的切平面上有無數(shù)條切線通過該點，而垂線只有一條，是不是更簡單了呢？這些垂線的集合就是“纖維叢”，在無限小的意義下，微分運算使彼此聯(lián)系起來，形成所謂的“聯(lián)絡(luò)”.實際上，一個無限小的閉合曲線的線積分與它所包圍的面積分按如下的斯托克斯定理計算：

(5)

讀者自然會有疑問，這里在無限小意義下得出的結(jié)果，與大尺度的引力場方程有什么關(guān)系？同樣，又和楊-米爾斯方程有何聯(lián)系？如果從幾何學(xué)的觀點來看，數(shù)學(xué)處理是在微分流形的框架中進行的，是對每一點的曲率進行描述，和尺度無關(guān).正是這一點，纖維叢才能成為規(guī)范場、引力場和量子場論的理論基礎(chǔ)，我們在此處是分別介紹這些不同學(xué)科的概念，后面將把它們用楊-米爾斯方程連接起來，就能看出它們之間的共同點.

4 同位旋和楊-米爾斯方程

在宏觀尺度的力學(xué)中，地球繞太陽旋轉(zhuǎn)，用軌道角動量L=r×p描述；地球繞自身的極軸旋轉(zhuǎn)，用自旋角動量S=Iω描述，這是力學(xué)中的常識，二者并沒有本質(zhì)的區(qū)別.正因為如此，在量子力學(xué)初創(chuàng)時，從玻爾的氫原子軌道模型延伸到其它粒子的行為，就很自然地出現(xiàn)了與地球轉(zhuǎn)動類似的概念，1922年德國的施特恩和蓋拉赫進行了一個重要實驗(SG實驗)，實驗結(jié)果無法由已知的理論解釋，為此科隆尼克提出了電子有自旋的主張，不過，泡利和海森伯指出，電子是點粒子，沒有內(nèi)部結(jié)構(gòu)，如果具有自旋，其旋轉(zhuǎn)速度會超過光速(洛倫茲也得出同樣的計算結(jié)果)，進而強烈反對并否定了科隆尼克提出電子有自旋的主張.然而，3年后埃倫費斯特的研究生烏隆貝克、古茲米特也提出了電子具有自旋的觀點，論文由埃倫費斯特送交“Nature”雜志發(fā)表，自旋的概念迅速得到物理學(xué)界的承認，更奇特的是，粒子的自旋是成對出現(xiàn)的，一為上旋，一為下旋，即±?/2.自旋概念的進一步引申，產(chǎn)生了同位旋，就是把原子核的中子和質(zhì)子看成同一種粒子，即核子的兩個狀態(tài)(質(zhì)子的質(zhì)量是1.672×10-27kg，中子的質(zhì)量是1.674×10-27kg，二者的差值完全可以忽略)，是同位旋不變量，而且，總同位旋守恒，因而可以用電荷自旋來描述.當時，楊振寧和米爾斯以極大的興趣投入到對同位旋的研究中，試圖探討在局部同位旋轉(zhuǎn)動下具有不變性的可能性，這一研究最終導(dǎo)致同位旋規(guī)范不變性原理的建立.

(6)

為了對規(guī)范場的幾何圖形和相應(yīng)的物理含義有一個直觀的了解，圖1給出了矢量勢、纖維叢和聯(lián)絡(luò)之間的對比：圖1中，M是光滑流形，p是流形M上的點，p∈M；U是p的鄰域，映射π-1(UP)U×n使纖維垂直于過p點的切平面，q點與p點的情況相同，不再贅述.在粒子繞定軸沿閉合曲線的同位旋，與纖維叢上的聯(lián)絡(luò)沿閉合曲線的平行移動，形成環(huán)移群，二者都會產(chǎn)生相位的改變.這里為了能夠?qū)w維叢獲得一個直觀清晰的物理解釋，可以給出一個容易理解的實例：如果在一塊地面上豎立許多個有一定長度的直桿，當正午的陽光從上部垂直照下時，地面上會形成相應(yīng)的點狀投影，將地面上部的空間稱作全空間E，這塊地面稱作底空間M，陽光的垂直照射稱作(垂直)投影π，那么就有如下關(guān)系: 對于x∈M，π:E→M，π-1:M→E；π-1(x)即x的逆投影(從x點向上看)，相當于點x處的直桿，就是M上的纖維，而表示地面上所有點狀投影對應(yīng)的直桿，則稱作纖維叢.其中，復(fù)合投影s:ππ-1(x)=x，就稱為x點纖維的截面，相當于場的強度Fμν，數(shù)學(xué)上將(E,π,M)稱作纖維叢的拓撲.為了便于理解，還可以再舉一個直觀形象的例子，就是想象熟悉的灌木叢，根部生長在底流形上，眾多根部形成一個截面s，決定了纖維的狀態(tài)，明顯屬于底空間M,灌木從底流形向上生長，它可以看成是纖維，用F表示，即F=π-1(x)，它自然處于全空間E之中，而灌木之間的橫向交錯的枝杈就相當于纖維叢上的聯(lián)絡(luò)如圖1(c)所示，這種復(fù)合對象一般簡稱作(E,M,π,F).

規(guī)范場(矢量勢的同位旋)

由于纖維叢上的聯(lián)絡(luò)，主要是指主纖維叢(簡稱主叢)上的聯(lián)絡(luò)，因此，這里也就順便對什么是主叢做一簡單說明，以圖1(c)中的點q和它的鄰域V為例，映射π-1(Vq)→V×n使纖維垂直過q點的切平面；主叢的最簡單、直觀的定義就是對纖維[例如π-1(q)]附上(黏合上)一個光滑的結(jié)構(gòu)群G，其實就是李群，例如U(1)、O(3)、SU(2)、SO(n)群，等等.對纖維附上這樣一個結(jié)構(gòu)群，相當于同胚映射F=π-1(V)→V×G，其目的就是將該纖維成為可微流形，以便進行某些微分運算和變換.圖1(c)中還包括了流形(底空間、叢空間、全空間)、拓撲空間(豪斯道夫空間)；映射π-1(p)、π-1(q)；切空間Tp(M)、Tq(M)和聯(lián)絡(luò)之間的空間關(guān)系.此外，盡管圖1對纖維叢的截面已經(jīng)給出解釋，考慮到它的重要性，在這里仍需作一些補充說明：上面提到，復(fù)合投影s:ππ-1(x)=x就是纖維叢的截面，這里的意思暗含著點x與其鄰域的映射，V上的截面就等同于在V上定義了m個可微函數(shù)f1、f2、…、fm的集合，這樣得到的截面分為關(guān)聯(lián)截面、正則截面(標準截面)、可微截面、誘導(dǎo)截面和局部截面等，目前它們主要是對微分幾何本身的應(yīng)用，也在張量場的分析中有所應(yīng)用.值得提及的是，陳省身先生證明，在局部上即鄰域V上，聯(lián)絡(luò)是由一組一次微分式給定的，并形成一個局部標架場，利用可微截面構(gòu)成張量場的基底，從而證明了聯(lián)絡(luò)(方陣)在局部標架場改變時的變換公式[5]，它是現(xiàn)代微分幾何中的重要公式，也是量子場論論中的規(guī)范變換的重要公式，就是: ?！?dS·S-1+S?！-1，下面將會給出其他幾種推導(dǎo)方法.

(7)

方程乘以m，可得

顯然有

表1 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上的相似

那么，對于同位旋粒子(如質(zhì)子和中子)，楊-米爾斯方程有什么意義呢？雖然，量子力學(xué)擯棄了“力”的概念，仍然還可以用“相互作用”代替“力”的效果，比如，用質(zhì)子和中子的相互作用表示它們是如何形成“核”的，相互“吸引”或“排斥”是一種什么樣的物理過程？楊-米爾斯方程就是為了回答這個問題，當然是遵從由電磁場理論形成“場”的概念，不過電磁場是可交換的規(guī)范場，用對稱群U(1)表示(也稱作李群)；而楊-米爾斯場則是非交換的規(guī)范場(值得提及的是，在弱相互作用中，宇稱也不守恒)，用SU(2)群表示，在規(guī)范粒子的作用下，才能實現(xiàn)相位的變換即轉(zhuǎn)動，以及矢量勢的改變，二者互補的結(jié)果，維持了對稱性不變或規(guī)范不變性，其物理意義深遠.一是它揭示了“場”就是纖維叢上的聯(lián)絡(luò)，這樣“規(guī)范場”就有了統(tǒng)一的基礎(chǔ)；二是非交換群包含了相互作用的因素；三是“場”用對稱群表示，說明對稱性支配相互作用；四是量子力學(xué)中要求必須有場粒子傳遞相互作用， 1984年發(fā)現(xiàn)的帶正電的W+、帶負電的W-和中性的Z0粒子(1973年發(fā)現(xiàn))，恰好就是楊-米爾斯規(guī)范場所需要的3種場粒子,它們的質(zhì)量通過Higgs對稱破缺機制獲得，也是在規(guī)范場基礎(chǔ)上做出預(yù)言的粒子，楊-米爾斯1954的論文做出了這一預(yù)測，與其后格拉肖-溫貝格-薩拉姆的預(yù)測一致.

如何能寫出楊-米爾斯方程，除了必備的專業(yè)知識外，還需要有多次失敗積累的經(jīng)驗，從中尋找出新的途徑.在構(gòu)建場方程時，考慮到電磁場中的洛倫茲力對粒子的影響，應(yīng)當從自由粒子的動量p中扣除與洛倫茲力對應(yīng)的附加動量，替換過程如下式所示:

(8)

此處，Bμ替換Aμ表示非阿貝爾場， 就是楊-米爾斯場的矢量勢，相當于：Bμ=σ·Aμ,σ是簡單的泡利二階矩陣，由于σ的作用相當于旋轉(zhuǎn)群，正是它與群SU(2)聯(lián)系起來.為了方便起見，常采用自然單位，使得?=c=1.

通過協(xié)變導(dǎo)數(shù)或協(xié)變微分確定規(guī)范函數(shù)的方法是通用的，因協(xié)變微分的分量可寫成如下形式[6]：

(9)

假定所求的規(guī)范函數(shù)記為q(x)，它作用于變量ψ，即q(x)ψ(x)=φ(x)，若φ(x)與ψ(x)具有相同的數(shù)學(xué)表達式：

(10)

那么，就有如下的規(guī)范變換函數(shù)：

(11)

這個變換函數(shù)無論是在量子場論中還是在微分幾何、纖維叢、張量分析中都是非常重要的.

其實，對“聯(lián)絡(luò)”概念最直觀、最容易理解的詮釋就是回到克里斯托費的原初定義，即：曲線坐標系是局域的，基矢量gk或gi隨著坐標xj點位置的不同而變化，二者的增量有如下關(guān)系:

i,j=1,2,…,n;k=1,2,…,m

(12)

dg′=dS·g+S·dg=dS·g+S·Γg=

(13)

顯然，規(guī)范變換的規(guī)律即為下式所示:

Γ′=dS·S-1+S?！-1

(14)

與前面不同方法所得結(jié)果完全一樣[7].

這里不得不提及的一個科學(xué)史的插曲，就是泡利嚴苛的質(zhì)疑，1954年，當楊振寧和米爾斯提出他們的方程時，實驗已經(jīng)證實，只有電磁場是通過光量子傳遞長程作用，因為光量子無質(zhì)量，電磁場是規(guī)范不變的；天然放射性衰變、原子的核力，都是短程相互作用，如果楊-米爾斯方程合理地描述了短程相互作用，那傳遞該作用的量子一定具有質(zhì)量，使得按照量子場論(關(guān)于重整化、正則化、規(guī)范化的理論)的通用方法，對拉格朗日量進行對稱性檢驗的結(jié)果，該場將失去對稱性，場不再具有規(guī)范不變性.因此，泡利質(zhì)問當時在普林斯頓高等研究院作學(xué)術(shù)報告的楊振寧，傳遞相互作用的量子的質(zhì)量是多少？也就是式(8)中的Bμ場的規(guī)范粒子的質(zhì)量.根據(jù)上述，無質(zhì)量不對，有質(zhì)量也不對，使楊振寧處于兩難境地，但是，他與米爾斯經(jīng)過反復(fù)思考，認為整個研究合理，具有前瞻性和科學(xué)美，決定發(fā)表，將質(zhì)量問題放在論文最后一節(jié)作了詳細論述，成為此后研究的前沿課題.

在得出式(6)，即楊-米爾斯方程之后，還必須經(jīng)過拉格朗日作用量的檢驗，由此給出對應(yīng)的場量參數(shù)，將電磁場擴展到非阿貝爾規(guī)范場時，這一步非常重要，此處即使不宜深入討論，大致作一輪廓說明也實屬必要，就量子場論而言，主要涉及正則化、重整化和規(guī)范化，使用的數(shù)學(xué)工具就是拉格朗日量L，如下所示：

(15)

因為任何動力系統(tǒng)都有一個以L為積分的作用量S，它的變分δS取極小值或零，這是自然界的一個客觀事實，表示系統(tǒng)(包括各分系統(tǒng)及其相互作用)耗能具有最低值，將它用于粒子在電磁場中的情形，以狄拉克方程描述的粒子為例，在阿貝爾對稱性之下，則有

L=L粒子能量場+L電磁能量場+L相互作用能量場=

(16)

(17)

式中，楊-米爾斯場的協(xié)變導(dǎo)數(shù)：

i=1,2,3;μ=0,1,2,3

(18)

其中，Dμ共有12個分量，g=2是耦合強度，而泡利矩陣σ和置換算符εijk為描述同位旋的二分量狀態(tài)引入的，對應(yīng)的場張量是

(19)

楊-米爾斯場的LYang-Mills既滿足整體規(guī)范不變性，也滿足局域規(guī)范不變性，是電磁場、弱相互作用場與強相互作用場統(tǒng)一的基礎(chǔ)，因此，在量子場論中具有極端重要性，也就不言而喻了.

現(xiàn)在，可以看出拉格朗日量L的重要意義：規(guī)范變換是空間均勻性和各向同性的體現(xiàn)，也是能量守恒的體現(xiàn)，如果拉格朗日量L沒有局域?qū)ΨQ性(局域規(guī)范不變性)，即表示相應(yīng)的理論框架存在問題，需要改進，使其完善.

當前，規(guī)范場理論的研究非?；钴S，微分幾何由于研究纖維叢而備受數(shù)學(xué)家的青睞，二者的結(jié)合可能是物理數(shù)學(xué)的一個新方向.

從事后看問題，似乎建立規(guī)范場方程也并不是難題，熟悉麥克斯韋電磁場方程的人不在少數(shù)，為什么很少有科學(xué)家想到將它推廣到量子力學(xué)中去呢？這里自然涉及研究者的洞察力、眼光、目標和從事科研的動力，有時，復(fù)雜的問題，本質(zhì)上是很簡單的，比如，電磁場是對易的，用U(1)群表示，而原理上，量子力學(xué)的場不對易，用SU(2)群表示，既如此，為什么不試一試呢？在這里，有無創(chuàng)新的思路，就成為問題的關(guān)鍵之點.至于將規(guī)范場與纖維叢上的聯(lián)絡(luò)聯(lián)系起來，看出二者的相似，則帶有隨機的成分，就不在此細說了.

(20)

(21)

或

(22)

(23)

式中ei單位正交基矢量，而εijk是Levi-Civita替換算符:

(24)

式(14)的數(shù)學(xué)形式更加簡潔優(yōu)美，它的物理含義自然更加豐富，值得進一步探討.

6 結(jié)論

本文得出楊-米爾斯場的旋度表示式，為研究它的空間屬性提供了一種思路，也為探討粒子糾纏的空間特性提供了一條線索.

當前，規(guī)范場理論的研究非?；钴S，微分幾何由于研究纖維叢而備受數(shù)學(xué)家的青睞，二者的結(jié)合可能是物理數(shù)學(xué)的一個新方向[6].狄拉克方程和薛定諤方程，都是時空坐標系中能量的動態(tài)平衡，前者是哈密頓形式,后者是狹義相對論形式,正如式(4)和(5)所示，不能作類似的替代處理,它們之所以具有相位不變性，是因為粒子波函數(shù)包含e-iα項，用群U(1)表示；而楊-米爾斯方程是空間運算的關(guān)系，微觀粒子的轉(zhuǎn)動和自旋是在有心力場中的基本存在方式和運動模態(tài), 用群SU(2)表示；本文利用旋度運算給出了楊-米爾斯方程或規(guī)范場張量的,突出旋度模態(tài)的新表達式(23),對于從物理特性方面探討纖維叢與規(guī)范場之間的深層次關(guān)系,具有重要價值, 不同學(xué)科的整合存在很多困難，特別是前沿領(lǐng)域的規(guī)范場屬于量子場論,而纖維叢屬于微分幾何學(xué)的前沿主題；通常涉及不同學(xué)科中的基本概念,如微分幾何、拓撲、張量分析、量子場論和群論等等，如果能將這兩種學(xué)科進行交融研究，無疑會加深對規(guī)范場和纖維叢上的聯(lián)絡(luò)之間物理含義的發(fā)掘，因此，是值得進一步思索與研究的問題.