波前函數(shù)法在光波干涉教學(xué)中的應(yīng)用

王義全，陳 笑，吳泓元，鄒 斌，蔡園園

(中央民族大學(xué) 理學(xué)院，北京 100081 )

干涉、衍射和偏振是波動(dòng)的基本特征.光的干涉、衍射和偏振現(xiàn)象是光具有波動(dòng)性的有力證據(jù)，是波動(dòng)光學(xué)研究的主要內(nèi)容，也是光學(xué)這個(gè)古老學(xué)科在信息技術(shù)領(lǐng)域中煥發(fā)創(chuàng)新活力的物理基礎(chǔ).光的干涉現(xiàn)象是指兩個(gè)或者多個(gè)光波在某區(qū)域疊加時(shí)，在疊加區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的強(qiáng)度穩(wěn)定的強(qiáng)弱分布現(xiàn)象[1-3].

目前，在光波干涉和衍射理論教學(xué)中(如楊氏雙縫干涉、薄膜干涉等)，以及相關(guān)光學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中(如菲涅耳雙棱鏡干涉、牛頓環(huán)、邁克耳孫干涉、馬赫-曾德干涉和F-P干涉等)，多數(shù)都是通過(guò)計(jì)算兩束光到達(dá)觀(guān)測(cè)點(diǎn)的光程差來(lái)判定光波疊加區(qū)域的光場(chǎng)分布.若光程差為波長(zhǎng)整數(shù)倍，則空間該處為亮點(diǎn)(明紋)；若光程差為半波長(zhǎng)奇數(shù)倍，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)為暗點(diǎn)(暗紋).

兩列波的干涉比較簡(jiǎn)單，因?yàn)閮闪胁ㄍㄟ^(guò)分析光束傳輸?shù)膶?shí)際幾何路徑，從而得到兩列波的光程差，由光程差確定光場(chǎng)的分布，簡(jiǎn)單直觀(guān).但在教學(xué)中教師和學(xué)生的注意力都集中在光程差的計(jì)算，往往容易淡化光的波動(dòng)特性，在學(xué)生的腦海中較難構(gòu)建出波動(dòng)的物理圖像.另外，光程法雖然能比較容易確定空間亮點(diǎn)和暗點(diǎn)，但是即使在入射場(chǎng)完全確定的情況下，干涉場(chǎng)中每一點(diǎn)的光強(qiáng)大小也無(wú)法提供可參考的量化關(guān)系，不能為利用測(cè)量干涉條紋進(jìn)行線(xiàn)度或角度的分析應(yīng)用提供數(shù)值判斷依據(jù).其次，在討論多光束干涉時(shí)，任意兩束光的光程差可以確定，但干涉場(chǎng)的分布是由這些光的光程差的分布決定，而光程差的分布比較復(fù)雜，利用光程差的分布確定光場(chǎng)分布比較困難.第四，薄膜干涉中，干涉場(chǎng)的分布是由與觀(guān)察屏上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的薄膜位置的兩反射點(diǎn)之間的光程差確定，分析中關(guān)注的是薄膜表面點(diǎn)上的反射，容易讓學(xué)生造成干涉是薄膜表面與觀(guān)察屏上點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的行為，更不利于學(xué)生波動(dòng)思維的建立.作為光程法在光的干涉和衍射教學(xué)中的有益補(bǔ)充，我們嘗試在大學(xué)物理課程中利用波前函數(shù)法分析光波的干涉現(xiàn)象，幫助學(xué)生構(gòu)建清晰的波動(dòng)概念和物理圖像，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)信息光學(xué)等相關(guān)課程奠定扎實(shí)的物理基礎(chǔ).

1 波前函數(shù)法

平面簡(jiǎn)諧波

(1)

球面簡(jiǎn)諧波

(2)

柱面簡(jiǎn)諧波

(3)

為方便起見(jiàn)，我們只討論其空間分布，則3種波對(duì)應(yīng)的復(fù)振幅表示分別為：

平面簡(jiǎn)諧波

(4)

球面簡(jiǎn)諧波

(5)

柱面簡(jiǎn)諧波

(6)

這3種波在傳播過(guò)程中的等相面分別為平面、球面和柱面.

雖然不同形式的電磁波傳輸過(guò)程各不相同，但在實(shí)際應(yīng)用中，我們并不直接關(guān)注它們?cè)趥鞑ミ^(guò)程中波陣面的形狀，而是關(guān)注在光信號(hào)接收區(qū)里光的振幅和相位的分布，這個(gè)區(qū)域一般是一定大小的曲面或平面.在干涉或衍射實(shí)驗(yàn)中，這個(gè)區(qū)域就是我們觀(guān)察干涉條紋或衍射圖樣的觀(guān)察屏.在大多情況下，這個(gè)特定曲面或平面和波陣面是不重合的，因此找到相互疊加的兩列波在這個(gè)特定面上的振幅和相位分布是研究光束干涉結(jié)果的關(guān)鍵.光在該面上的振幅和相位分布函數(shù)，稱(chēng)為該波在這一特定面上的波前函數(shù).

如圖1所示，xOy平面是接收平面，平面波或球面波傳播到該平面上的振幅和相位分布就稱(chēng)為該光波在xOy面上的波前函數(shù).

(a)平面波及其共軛波前 (b)球面波及其共軛波前

如圖1(a)所示，波矢在xOz平面，沿與水平方向夾角為θ方向傳播的平面波，在空間任一點(diǎn)r處的復(fù)振幅為

Aeik(x sin θ+z cos θ)

(7)

其中kx=ksinθ,ky=0,kz=kcosθ.當(dāng)z=0時(shí)，該平面波在xOy平面上的波前函數(shù)為

(8)

其對(duì)應(yīng)共軛平面波的波前函數(shù)表示為

(9)

同理，若入射的是發(fā)散球面波:

(10)

(11)

發(fā)散球面波的共軛球面波為會(huì)聚球面波，會(huì)聚中心為Q(0,0,R)，它在xOy平面上的波前函數(shù)為

(12)

2 雙孔干涉的波前函數(shù)分析法

我們所討論的干涉實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示，是由位于左側(cè)的單孔屏、位于右側(cè)的觀(guān)察屏xOy，以及位于單孔屏和觀(guān)察屏之間的雙孔屏組成，三屏彼此平行，雙孔屏上兩小孔的間距為d，雙孔屏與觀(guān)察屏之間的距離為D. 單孔屏的孔位于光軸上，雙孔屏上的兩孔S1、S2對(duì)稱(chēng)分布于光軸上下兩側(cè).

圖2 楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)示意圖

根據(jù)幾何關(guān)系，從S1、S2兩小孔發(fā)出的光到觀(guān)察屏上P點(diǎn)的光程差為

(13)

因此對(duì)應(yīng)亮條紋的位置為

(14)

暗條紋的位置為

(15)

條紋間隔為

(16)

在上述明暗條紋分析中，雖然用到了光程差和波長(zhǎng)概念，但我們是通過(guò)討論兩條幾何路徑中距離的差來(lái)確定光場(chǎng)的分布，并沒(méi)有體現(xiàn)從S1、S2發(fā)出的球面波在觀(guān)察屏上的疊加，學(xué)生認(rèn)為觀(guān)察屏上不同點(diǎn)的差別就是由距離的不同造成的，沒(méi)有形成兩列波疊加的概念.下面我們采用波前函數(shù)法分析屏上干涉場(chǎng)分布，這一過(guò)程可以幫助學(xué)生在求解過(guò)程中建立起光波的傳輸圖像，而且很自然的形成兩列波疊加產(chǎn)生干涉的思想.

下面我們利用波前函數(shù)法討論雙孔干涉.由雙孔對(duì)于位于光軸上的單孔是對(duì)稱(chēng)的，從觀(guān)察屏xOy平面上看，位于雙孔屏上的兩個(gè)孔，相當(dāng)于兩個(gè)初相相同、振幅A相同的點(diǎn)光源，它們分別發(fā)出球面波向xOy平面?zhèn)鞑?，兩點(diǎn)光源的坐標(biāo)分別記為(2/d，0，-D)和(-2/d,0,-D).根據(jù)波前函數(shù)的定義，在傍軸條件下，兩球面波在xOy平面上的波前函數(shù)為

(17)

(18)

(19)

因此，在xOy平面的光強(qiáng)分布I(x,y)為

(20)

由此可見(jiàn)，由波前函數(shù)法所求得的條紋分布與利用光程法求得的條紋分布相同，但利用波前函數(shù)法求條紋的分布過(guò)程中，一方面刻畫(huà)出了光束波動(dòng)傳播的物理圖像，同時(shí)凸顯了光的干涉是兩列波疊加的概念，在波的干涉教學(xué)中更好地體現(xiàn)出波動(dòng)的思想.另外，當(dāng)入射光確定的情況下，波前函數(shù)法還能精確給出干涉場(chǎng)中任何一點(diǎn)的光強(qiáng)，更為重要的是，通過(guò)波前函數(shù)法求兩束光的干涉，給學(xué)生提供了討論多光束干涉思路和方法，因此，波前函數(shù)法可以更為全面地描繪出干涉場(chǎng)分布.

3 薄膜干涉的波前函數(shù)分析法

下面我們?cè)倮貌ㄇ昂瘮?shù)法分析另一種干涉——分振幅干涉.分振幅干涉的典型代表為薄膜干涉，我們以等傾干涉為例，利用波前函數(shù)法分析薄膜干涉的光場(chǎng)分布. 如圖3所示為等傾干涉實(shí)驗(yàn)示意圖.圖中A為置于均勻薄膜右側(cè)、距離a的點(diǎn)光源，薄膜厚度為d，折射率為n，光源A右側(cè)為一焦距為f的凸透鏡，薄膜和觀(guān)察屏分別置于凸透鏡的物方焦平面和像方焦平面上.位于A(yíng)點(diǎn)的光源發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)左側(cè)薄膜兩表面的反射，經(jīng)過(guò)透鏡后，在透鏡的焦平面上會(huì)聚而發(fā)生干涉.干涉條紋為以光軸和屏的交點(diǎn)為中心的一系列同心圓環(huán).根據(jù)光程法，入射光在薄膜兩表面反射造成的光程差為Δ=2ndcosγ±λ/2.當(dāng)光程差為波長(zhǎng)整數(shù)倍是亮環(huán)，當(dāng)光程差為半波長(zhǎng)奇數(shù)倍時(shí)為暗環(huán).

在利用光程法討論薄膜干涉時(shí)，教師和學(xué)生的注意力幾乎全部集中在利用幾何關(guān)系計(jì)算一定傾角入射的光在薄膜兩表面反射所造成的光程差，由光程差的數(shù)值決定觀(guān)察屏上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的光強(qiáng)分布，并沒(méi)有體現(xiàn)兩個(gè)反射光在觀(guān)察屏上疊加而發(fā)生干涉，致使學(xué)生把薄膜作為討論干涉的主題，而忽略了干涉是兩列波的疊加.為在薄膜干涉的教學(xué)中充分體現(xiàn)波動(dòng)及波的疊加，我們利用波前法構(gòu)建波的疊加的薄膜干涉圖像.在圖3中，光源A通過(guò)左側(cè)薄膜的兩表面分別成像B和C，從兩表面反射的光，可以分別看作從B點(diǎn)和C點(diǎn)發(fā)出的發(fā)散球面波，兩發(fā)散的球面波經(jīng)透鏡后，轉(zhuǎn)化為會(huì)聚點(diǎn)位于光軸B′、C′處的兩會(huì)聚球面波，兩球面波在焦平面上疊加形成干涉條紋.

圖3 薄膜等傾干涉裝置示意圖

設(shè)會(huì)聚中心B′、C′到觀(guān)察屏的距離分別是z1、z2. 根據(jù)幾何光學(xué)的高斯公式，可以推導(dǎo)出B、C經(jīng)過(guò)透鏡后的位置z1、z2分別為：

(21)

(22)

為使討論簡(jiǎn)化，且不失一般性，在薄膜表面對(duì)光的反射率較低的情況下，從薄膜的兩表面反射光強(qiáng)基本相等.兩束會(huì)聚球面波在位于像方焦平面的觀(guān)察屏上的波前函數(shù)分別為：

(23)

(24)

(25)

因此觀(guān)察屏上的光強(qiáng)為

(26)

將式(23)和(24)代入式(26)，可得

(27)

將式(21)和(22)代入(27)，得

(28)

為驗(yàn)證基于波前函數(shù)分析法的干涉結(jié)果，我們數(shù)值模擬了觀(guān)察屏上的光強(qiáng)分布，計(jì)算結(jié)果如圖4所示. 圖4(a)—(c)所設(shè)定的薄膜厚度分別為25 μm、50 μm和100 μm，光源A設(shè)定為He-Ne激光發(fā)出的波長(zhǎng)632.8 nm的光束，透鏡焦距為400 mm，點(diǎn)光源距離透鏡200 mm，薄膜的折射率為2. 根據(jù)式(28)，仿真結(jié)果和利用光程法求得的光場(chǎng)分布完全相同.當(dāng)薄膜厚度減小，圓環(huán)向中心收縮并中心吞沒(méi)，當(dāng)薄膜厚度增加，條紋從中心涌出并向四周擴(kuò)散.

(a) d=25 μm (b) d=50μm (c) d=100 μm

4 結(jié)論

在教學(xué)中，為加強(qiáng)學(xué)生對(duì)光學(xué)波動(dòng)圖像的理解，以及光場(chǎng)疊加產(chǎn)生干涉的物理思想的滲入，在加強(qiáng)光程法討論光的干涉的基礎(chǔ)上，借助于信息光學(xué)的波前函數(shù)法，提出利用波前函數(shù)疊加的方法，分析楊氏干涉和薄膜干涉的光場(chǎng)分布.波前函數(shù)分析法不僅能使學(xué)生正確理解光波疊加干涉的現(xiàn)象，而且也能讓學(xué)生真正從波動(dòng)學(xué)的角度，動(dòng)態(tài)理解波的干涉過(guò)程，對(duì)深層次理解波動(dòng)圖像具有一定的意義.