二次函數(shù)常見中考題型及解題策略研究

云南昆明理工大學(xué)附屬中學(xué)（650000） 白 玫

在初中，二次函數(shù)的概念主要是用變量來定義的，而在高中，二次函數(shù)的概念是用映射來定義的，這樣安排符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。對(duì)初中生來說，僅記住二次函數(shù)的概念是不夠的，如果不能深刻理解，學(xué)習(xí)它的圖像和性質(zhì)就有困難。因此，我們要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知狀況選擇教學(xué)策略，幫助學(xué)生總結(jié)和解決問題，提高學(xué)生分析和解決問題的能力，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正向遷移。

一、二次函數(shù)壓軸題呈現(xiàn)

［例1］（2020年昆明市中考數(shù)學(xué)壓軸題）如圖1，兩條拋物線y1=-x2+4，y2=-+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，且為拋物線y2的最高點(diǎn)。（1）求拋物線y2的解析式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

圖1

（2）點(diǎn)C是拋物線y1上A，B之間的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交y2于點(diǎn)D，當(dāng)線段CD取最大值時(shí)，求S△BCD。

分析：（1）可先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)（-2，0），再求出y2的對(duì)稱軸-=-2，然后代入一元二次函數(shù)y2=+bx+c，求出y2的解析式，將y1與y2聯(lián)立，求出點(diǎn)B坐標(biāo)。（2）可以通過已知條件先將S△BCD表示出來，再通過點(diǎn)C和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)一樣，求出點(diǎn)C與點(diǎn)D間的距離d，過點(diǎn)B作CD的垂線，交點(diǎn)為E，求出BE的距離，由S△BCD=CD·BE即可求出S△BCD。

解答：（1）當(dāng)y1=0時(shí)，即-x2+4=0，解得x=±2，

∵點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，∴A（-2，0），

∵y2=-+bx+c的最高點(diǎn)為A（-2，0），

∴拋物線y2的解析式為y2=-

解得x1=3，x2=-2（舍去），∴當(dāng)x=3 時(shí)，y=-32+4=-5，

∴B(3,-5)。

（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)C(m,-m2+4)，則點(diǎn)

圖2

∵點(diǎn)C是拋物線y1上A，B之間的一點(diǎn)，

∴-2 ＜m＜3，

過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，

［例2］如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像交坐標(biāo)軸于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)。

圖3

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC面積最大，求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC的最大面積。

分析：（1）由題意可知三個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，分別設(shè)一次函數(shù)的解析式為y1=ax+b和二次函數(shù)的解析式為y2=ax2+bx+c，然后將坐標(biāo)點(diǎn)代入解析式中，即可得到二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式。（2）過P點(diǎn)作垂直于x軸的直線，交x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，S△PCB=S△PFC+S△PFB=PF·OB，所以只需要求出PF，就可以求得S△PCB，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t,t-4），PF等于一次函數(shù)和二次函數(shù)之間的距離，求出t的取值就可以求出面積和坐標(biāo)。

解答：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得解得可得拋物線的解析式為y=x2-3x-4。

（2）點(diǎn)P在拋物線上，可設(shè)P(t,t2-3t-4)，作PE∥y軸交x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，如圖4，B(4,0)，C(0,-4)，直線BC的解析式為y=x-4，F(xiàn)(t,t-4)，PF=(t-4)-(t2-3t-4)=-t2+4t，S△PBC=S△PFC+PF·(OE+BE)=(-t2+4t) × 4=-2(t-2)2+8，當(dāng)t=2 時(shí)，S△PBC的最大值為8，此時(shí)t2-3t-4=-6，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-6）時(shí)，△PBC的最大面積為8。

圖4

［例3］如圖5，已知拋物線y=ax2+c過點(diǎn)（-2，2），（4，5），過定點(diǎn)F(0,2)的直線l：y=kx+2 與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C。

圖5

（1）求拋物線的解析式；

（2）若k=1，在直線l下方的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QBF的面積最大？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及△QBF的最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由。

分析：（1）將（-2，2），（4，5）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+c，可求出拋物線的解析式。

（2）由條件k=1，可以知道一次函數(shù)的解析式，聯(lián)立二次函數(shù)解析式，可以知道點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)。為了求證在直線l下方的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△QBF的面積最大，我們要先設(shè)點(diǎn)Q和點(diǎn)E的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)（t,+1），過點(diǎn)Q作x軸的垂線，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)E和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)一樣,S△QFB=S△QFE+S△QEB=QE·OC，QE就是x=t時(shí)，一次函數(shù)和二次函數(shù)之間縱坐標(biāo)之間的距離，求出t的取值，即可求出坐標(biāo)和面積。

解答：（1）把點(diǎn)（-2，2），（4，5）代入y=ax2+c得

所以拋物線解析式為y=

圖6

［例4］已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=x2+bx的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(-1,4)，交x軸于點(diǎn)B(a,0)。

（1）求a與b的值；

（2）如圖7，點(diǎn)M為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AB下方，試求出△ABM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。

圖7

分析：（1）已知點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=x2+bx求出b的值，再將點(diǎn)B坐標(biāo)代入求出來的二次函數(shù)解析式中可求出a。

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,x2-3x)，作MG∥y軸交AB于點(diǎn)G，而點(diǎn)G的坐標(biāo)就是(x,-x+3)，又因?yàn)辄c(diǎn)M和點(diǎn)G的橫坐標(biāo)一樣，點(diǎn)M位于點(diǎn)G的下方，所以直線MG的距離可用點(diǎn)G的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，即(-x+3)-(x2-3x)，化簡(jiǎn)后便可以得到此函數(shù)為一個(gè)開口向上的二次函數(shù)，因此在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上值最大，那么A，B，M，G四點(diǎn)的坐標(biāo)便都可以得到，從而可根據(jù)S△ABM=S△AMG+S△BMG計(jì)算出S△ABM的面積。

解答：（1）把A(-1,4)代入y=x2+bx得 到4=1-b，b=-3，y=x2-3x；因?yàn)锽(a,0)在函數(shù)圖像上，所以將B(a,0)代入y=x2-3x得a2-3a=0，求得a=3或a=0（舍棄），即a=3。

（2）如圖8，作MG∥y軸交AB于點(diǎn)G。

圖8

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把(-1,4)，（3,0) 代入得解得由此可得y=-x+3。設(shè)M(x,x2-3x)，則G(x,-x+3)，S△ABM=S△AMG+S△BMG=× 4 ×[(-x+3)-(x2-3x)]=-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8，當(dāng)x=1 時(shí)，△ABM的面積最大，最大值為8，此時(shí)M(1,-2)。

二、二次函數(shù)壓軸題解答的一般過程

解決問題分為三步：認(rèn)真審視問題、探索解決問題的思路、正確解決問題。首先仔細(xì)閱讀題目的意思，其次在理解問題意思的基礎(chǔ)上，判斷給定的問題屬于哪一類型，最后利用常見的相關(guān)策略來解決問題。

（一）熟悉題目，理解問題情境

二次函數(shù)壓軸題一般由平面直角坐標(biāo)系下的文本和圖形組成。因此，熟悉問題，了解問題的含義是解決問題的第一步。要掌握問題中的關(guān)鍵信息，剔除問題給出的干擾信息，分析問題的有用條件，確定問題的本質(zhì)。

（二）確定問題類型，找出解題思路

根據(jù)問題的性質(zhì)，判斷該問題屬于哪種類型，判斷是否與某種類型一致，若一致，從中推導(dǎo)出共性問題的解決思路，為下一步解題提供明確的方向。

（三）將知識(shí)整合，求解答案

方向明確后，需要搜索出問題中涉及的所有知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)之前的解決思路，整合知識(shí)，逐步探索問題的答案，判斷答案的合理性，進(jìn)一步解決問題。

三、二次函數(shù)壓軸題教學(xué)的啟示

（一）培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力

初中學(xué)生的知識(shí)要靠實(shí)踐來鞏固，因此，可讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)相關(guān)的考試題，使學(xué)生能靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題。

（二）注重對(duì)知識(shí)的整理和歸納

教師要把解題過程中的知識(shí)點(diǎn)全部整理出來，總結(jié)所有知識(shí)點(diǎn)的共同點(diǎn)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握，以便他們能靈活應(yīng)用知識(shí)解決問題。

（三）注重學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在二次函數(shù)壓軸題的教學(xué)中，要重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。通過分析，發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生在解題過程中，雖然方法是正確的，但常因?yàn)橛?jì)算能力弱導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)而失分。因此，在教學(xué)中教師要加強(qiáng)計(jì)算訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，盡量讓學(xué)生正確、快速地計(jì)算，并形成檢查的習(xí)慣。

（四）注重滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想可以理解為對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)研究及其本質(zhì)規(guī)律的理解和認(rèn)識(shí)。在解題中，通常會(huì)應(yīng)用多種數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等。在教學(xué)中，教師應(yīng)有目的地滲透各種數(shù)學(xué)思想，通過反思和總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生厘清這些數(shù)學(xué)思想并學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用。

在新課標(biāo)理念下，研究二次函數(shù)壓軸題的解題策略可以改善學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維方式，在一定程度上有效地改變教學(xué)方法，真正實(shí)現(xiàn)課程的教學(xué)目標(biāo)。因此，中考前，教師要讓學(xué)生深入了解中考命題和數(shù)學(xué)課程改革的發(fā)展趨勢(shì)，使他們有足夠的信心去面對(duì)考試，同時(shí)要合理安排數(shù)學(xué)教學(xué)，鍛煉學(xué)生的實(shí)踐能力，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。