由一道市質(zhì)檢試題引發(fā)的教學(xué)思考

吳雪萍

摘? ?要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)重視以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，面對高三專題的試題講評課，探討如何提高實(shí)效，試題講評應(yīng)關(guān)注那些問題，如何充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主觀能動性等，怎樣以問題引領(lǐng)突顯以生為本的教育教學(xué)理念.

關(guān)鍵詞：試題講評;一題多變;取值范圍

1? 問題提出

高三臨考的復(fù)習(xí)階段，如何提高課堂復(fù)習(xí)效率？不少教師利用市面上現(xiàn)有復(fù)習(xí)資料不加整合地進(jìn)行復(fù)習(xí)，習(xí)慣性就題論題，沒有注入太多“新鮮”內(nèi)容，“炒舊飯”，照本宣科，導(dǎo)致學(xué)生參與度不太高，復(fù)習(xí)效果不佳.

從第一次市質(zhì)檢的情況來看，解三角形模塊的一輪復(fù)習(xí)，效果還是不理想，如何提高高三課堂復(fù)習(xí)的教學(xué)效率？如何有效分析試卷中的典型試題？

2? 試題剖析

（2021年龍巖市3月份質(zhì)檢試題第17題）在csinβ=bcosC①，②2cosC-sin（-2C）=2cos2C，③SΔABC=CA·CB·sinC三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題.

在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足c=2.

（1）求角C;

（2）求ΔABC周長的取值范圍.

參考解答：

（1）C=，過程略;

（2）思路1：設(shè)ΔABC的外接圓的半徑R，由（1）及c=2知，2R==， ΔABC的周長L=2R（sinA+sinB）+2=〔sinA+sin（-A）〕+2=4sin（A+）+2，因?yàn)?<A<π，所以<A+<，<sin（A+）≤1， 所以L∈（4，6].

思路2：由（1）及余弦定理得c2=a2+b2-ab，

所以4=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-（a+b）2=（a+b）2，

所以（a+b）2≤16，即a+b≤4.

又a+b>c，所以2<a+b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號.

所以所以L∈（4，6].

評析：思路1是解三角形問題中求解取值范圍的通性通法，利用正弦定理進(jìn)行“邊化角”或“角化邊”的轉(zhuǎn)化思想解決問題;思路2是利用余弦定理結(jié)合基本不等式得到周長的取值范圍，過程相對簡潔，但學(xué)生比較容易忽略“兩邊之和大于第三邊”隱性條件.

3? 思考與變式

若題干中的條件加以限制，思路2是否仍適用？為探索更為有效的試題講評模式，筆者在任教的兩個物理類平行班進(jìn)行嘗試：一個班就題講完上述兩種解法即進(jìn)入下一道題的講解，另外一個班在分析總結(jié)后作了一題多變的嘗試.

變式1：條件改為“銳角三角形”，其余不變，如何求解？

思路1： 銳角ΔABC的周長L=2R（sinA+sinB）+2=4sin（A+）+2

因?yàn)?<A<，0<-A<，所以<A<，則<A+<，得<sin（A+）≤1，從而L∈（2+2，6].

思路2：由（1）及余弦定理得c2=a2+b2-ab，4=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-（a+b）2=（a+b）2，所以（a+b）2≤16，a+b≤4.

利用運(yùn)動的觀點(diǎn)，滿足題意的點(diǎn)C落在圓弧DCE上（不含D，E兩點(diǎn)），點(diǎn)C在D點(diǎn)，E位置時（此時為直角三角形）為臨界情況（如圖1），從而求得a+b+c=2+2.

綜上，L∈（2+2，6].

變式2：條件不變，問題改為“求ΔABC面積的取值范圍.”

思路：依題意得面積S=ab，由余弦定理得4=a2+b2-ab≥ab，從而S=ab≤.

另一方面，從運(yùn)動的觀點(diǎn)可知點(diǎn)C落在優(yōu)弧AB上（不含A，B兩點(diǎn)），且點(diǎn)C落在以AB為中垂線的直線與優(yōu)弧AB相交處時（如圖2），三角形面積取得最大值，當(dāng)點(diǎn)C無限逼近A（或）B點(diǎn)時，面積趨近于0，從而ΔABC面積的取值范圍為（0，）.

評析：利用基本不等式比較快速地求得面積的最大值，但如何求最小值以及是否有最小值，對于學(xué)生來說是一個難點(diǎn).當(dāng)然，也可以利用正弦定理，將面積表示為S=ab=sinAsinB，進(jìn)一步利用二倍角、輔助角公式等化簡為S=+sin（2A-），再根據(jù)角A的范圍求解.

變式3：條件不變，問題改為“求sinAsinB的取值范圍.”

思路：利用正弦定理===2R得sinAsinB=ab，從而問題轉(zhuǎn)化為變式2來處理.

變式4：條件不變，問題改為“求a2+b2的取值范圍.”

思路：由正弦定理可得a2+b2=（sin2A+sin2B）=-〔cos2A+cos（2A+）〕=-sin（2A-），再結(jié)合角A的范圍求解.

同樣地，也可以利用基本不等式ab≤求解.

變式5：條件不變，問題改為“求cosA+cosB+cosC的取值范圍.”

思路：cosA+cosB+cosC=cosA+cos（-A）+=+sin（A+），結(jié)合A的范圍求解ab.

變式6：條件改為“C=，b=2”，其余不變.

思路：由正弦定理得ΔABC的周長L=2+a+c=2++=2++=3+，由B（0，）可得tan（0，），從而周長L的取值范圍為（4+∞）.

為了測評以上講評方式的有效性，第二天選取了幾道類似高考真題進(jìn)行課堂小測，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，進(jìn)行變式教學(xué)的班級明顯好于另一個班級，達(dá)到了預(yù)期的目的，即充分調(diào)動學(xué)生的課堂積極性，逐步提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、研究并解決數(shù)學(xué)問題的能力.

題源1在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bcosA+acosB=ac.

（1）求a的值;

（2）若A=，求ΔABC的周長的最大值.

題源2（2019年全國新課標(biāo)卷Ⅲ·理18，文18）

ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin=bsinA.

（1）求B;

（2）若為ΔABC為銳角三角形，且c=1，求ΔABC面積的取值范圍.

題源3（2020年全國新課標(biāo)卷Ⅱ·理17）

ΔABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

（1）求A;

（2）若BC=3，，求ΔABC周長的最大值

研究歷年高考真題會發(fā)現(xiàn)，高考中曾多次考查有關(guān)這類解三角形中涉及取值范圍的問題，例如2004年浙江卷理科第17題（文科第18題）“求的最大值”、2007年全國卷Ⅱ理科第17題（文科第18題）“求ΔABC周長的最大值”、2013年新課標(biāo)卷Ⅱ理科第17題“求ΔABC面積的最大值”、2014年新課標(biāo)卷Ⅰ理科第16題“求ΔABC面積的最大值”等.

4? 教學(xué)建議

4.1? 數(shù)學(xué)試題講評應(yīng)注重歸納整合

復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)課重要的課型，如何開展復(fù)習(xí)專題試題講評是每位教師重點(diǎn)關(guān)注的.筆者認(rèn)為，講評后應(yīng)注重試題的歸納整合，把同類型題目整合在一起形成專題，針對學(xué)生的易錯點(diǎn)、重點(diǎn)難點(diǎn)進(jìn)行講評更為合理有效.

4.2? 數(shù)學(xué)試題講評應(yīng)注重一題多解、一題多變及多題歸一

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提到，高中數(shù)學(xué)課程面向全體學(xué)生，實(shí)現(xiàn)：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展[ 1 ].針對典例，教師應(yīng)深入剖析問題，再從不同角度引導(dǎo)學(xué)生獲得不同解法，既能拓寬學(xué)生的思維，又能鞏固應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決問題，同時讓不同層次學(xué)生均有不同收獲.進(jìn)一步地，教師可以嘗試對典型試題加以變式，使得學(xué)生對試題有更深入的認(rèn)識、理解與掌握，從而獲取并積累一定的解題經(jīng)驗(yàn).

4.3? 數(shù)學(xué)試題講評應(yīng)注重拓展延伸

在一題多解、一題多變的基礎(chǔ)上，教師需要通過對試題的深入思考，挖掘出一些隱性知識從而對問題進(jìn)行拓展延伸，讓學(xué)生真正感受到觸類旁通、多題歸一，促進(jìn)學(xué)生試題講評過程中思想品質(zhì)得到提升.

4.4? 數(shù)學(xué)試題講評應(yīng)發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性

對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式.教師講評試題時，應(yīng)積極發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，獲知學(xué)生的解題思路，暴露學(xué)生的思維過程，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生積極參與，獨(dú)立思考，交流中獲得自然、合理的解題方法，而不是把自己的思路硬拋給學(xué)生.課堂教學(xué)只有堅持“以人為本，以生為本”，重視教學(xué)中學(xué)生思維發(fā)展的過程，才能較好地發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價值，促進(jìn)學(xué)生的思維理性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.