初中數學教學中培養(yǎng)學生逆向思維的有效策略

馬新平

【摘要】逆向思維是創(chuàng)新思維的重要組成部分，能夠幫助學生打破思維定式，使學生在解決問題時能尋求到更加新穎、獨特的多樣方式，有助于促進學生創(chuàng)新思維的發(fā)展.因此，初中數學教師必須順應并創(chuàng)新教育理念，重視學生創(chuàng)新能力、創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維的發(fā)展.在教學中，教師要有意識地滲透并組織實施逆向思維訓練，不斷提高學生的數學思維能力、解題能力和創(chuàng)新能力，促進學生數學學科素養(yǎng)的發(fā)展.鑒于此，本文分析了初中數學教學中培養(yǎng)學生逆向思維的重要意義，并從概念與定義教學、公式與法則教學、定理教學以及解題教學四個方面入手，論述了培養(yǎng)學生逆向思維的有效策略.

【關鍵詞】初中數學;逆向思維;解題教學;定理教學

一、逆向思維在促進學生數學思維能力發(fā)展方面的重要價值

逆向思維是從已成定論的觀點反過來思考問題的一種思維方式.教師在初中數學教學中培養(yǎng)學生的逆向思維，對促進學生數學思維能力的發(fā)展有著重要意義，具體體現在以下三個方面.

（一）發(fā)展學生的數學思維品質

逆向思維是初中生必須具備的思維能力，教師在初中數學教學中滲透對學生逆向思維的培養(yǎng)，能夠提高學生數學思維的深刻性、廣闊性和批判性，提升學生的數學思維品質.從數學思維的深刻性來看，逆向思維能夠引導學生深入思考和洞察問題的本質，找出本質屬性的內在聯系，從題目的隱含條件出發(fā)尋求找到最佳的解題方法;從數學思維的廣闊性來看，逆向思維能夠促使學生另辟蹊徑處理問題，不再局限于單一的解題方式，讓學生享受到便捷解題的成功感;從數學思維的批判性來看，逆向思維能夠強化學生獨立思考問題，運用所學知識對問題進行辨析與對比，提出不同于其他人的見解.

（二）豐富學生的數學思維方式

從當前的初中數學教學現狀來看，大部分學生習慣于運用正向思維學習知識、解決數學問題，這就使得學生的學習方式單一、解題思維僵化，在遇到疑難問題時難以找到最便捷的解題方法.然而，教師在數學教學中培養(yǎng)學生的逆向思維，能夠提高學生思維的活躍性和開放性，讓學生打破常規(guī)的思維定式，從反方向來思考問題，拓展問題解決思路，使解題方法更具有靈活性，幫助學生掌握更多的解題策略，如反證法、逆推法、公式逆用法等，豐富學生的數學思維方式.

（三）增加學生數學思維的應用靈感

數學課程是初中生公認的學習難度較大的課程，許多學生都苦惱于復雜數學問題的解決，經常在詳細學習數學知識概念后仍然無法將之靈活地運用于實踐中，具體表現為多數學生在面對新題型時感到束手無策.這一問題的產生與學生數學應用思維的欠缺存在聯系.初中生對數學的認知還停留在表層，即便積累了一定的數學知識，也無法順利完成應用任務.逆向思維能力相當于為學生提供了看待問題的新視角，學生在逆推數學問題的過程中可以對問題的原理形成全新的認識，從而得到應用數學知識與思維的靈感，能夠更加靈活地應對各類題型的變形，從而在解決問題的過程中準確地抓住重點.

二、初中數學教學中培養(yǎng)學生逆向思維的有效策略

初中數學課程中涉及的概念、定義、定理、法則、運算等教學內容都是開展逆向思維培養(yǎng)的重要材料，教師應在各個教學環(huán)節(jié)有意識地滲透逆向思維訓練，促進學生逆向思維能力的發(fā)展.

（一）在概念、定義教學中培養(yǎng)逆向思維

新課程改革對初中數學課程的教學結構進行了調整，在規(guī)劃教學目標時提出要鞏固學生的基礎能力，避免教師在教學中故意使用偏、難、怪的題目增加學生學習數學的難度.在此背景下，數學教師需要嚴謹地對待課堂教學，采用學生能夠接受的方式進行逆向思維的培養(yǎng)，使學生在打牢基礎的同時發(fā)展數學思維.數學是一門邏輯嚴密的學科，其中大部分定理都可以進行逆推驗證.初中數學課程納入的知識點較為基礎，數學教師可以在講解的過程中就加入逆向思維能力方面的引導，讓學生嘗試從正、反兩個角度學習數學基礎知識.由于初中數學中的部分概念、定義具有互逆性，教師可以采用正逆結合的教學策略對概念、定義進行講解，使學生認識到概念、定義的互逆本質，深化對概念、定義的理解，從而減少概念、定義混淆情況的發(fā)生.

例如，在講解“方程的解”的概念時，教師既要讓學生從正向思維的角度理解“使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值叫作方程的解”，又要引導學生從逆向思維的角度理解“方程的解就是使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值”.又如，在講解“一元二次方程”的定義后，教師可以設計以下習題：當a為何值時，方程（a-1）xa2+3a-2+4x-7=0為一元二次方程？教師可以引導學生逆向思考一元二次方程的定義，即方程需要滿足“未知數的最高次數為2”的條件，從而得出a2+3a-2=2，求出a=-4.

（二）在公式、法則教學中培養(yǎng)逆向思維

作為自然科學的奠基石，數學學科具有高度的抽象性，該學科在總結自然規(guī)律的過程中將所有因素抽象為符號，并整理成可信的公式.在學習數學公式的過程中，學生不僅要分辨出數學公式中各個符號代表的含義，而且要掌握數學公式的變形與應用，學會在實際的問題中找出與數學公式對應的條件，完成相關的計算與驗證.因此，在培養(yǎng)學生逆向思維的過程中，教師可以采取講解數學公式、法則變形與應用的方法，讓學生在循環(huán)往復的邏輯思考中提升逆向思維能力.具體來說，初中數學中的部分公式和法則都是用等號連接左右兩邊的式子，兩邊的式子屬于等價關系.但是，大多數學生在記憶公式和法則時習慣于從左向右記憶，而不會從右向左推導，這就使得公式和法則的運用較為死板.為解決這一問題，教師要滲透逆向思維訓練，讓學生學會靈活運用公式和法則.

例如，在平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2的教學中，教師要向學生講解等式的本質，從左邊式子到右邊式子是多項式的乘法，從右邊式子到左邊式子是因式分解.在這之后，教師可以布置練習題訓練學生的逆向思維：計算20162-20152=？學生利用平方差公式從右到左進行因式分解，能夠快速求出答案，并且這種求解方式更為簡便，屬于簡便算法.E9972EAF-DF16-4739-A4E4-1C9DCA4909E3

（三）在定理教學中培養(yǎng)逆向思維

在進入初中階段的學習后，學生會發(fā)現數學課程與過去存在很大的區(qū)別，教材中收錄的知識不再與生活情境存在顯著的關系，而是對生活中客觀規(guī)律的抽象總結.初中生在數學學習中很難立刻適應這種狀況，于是在逆向思維訓練中受到較大的阻礙.為了轉變學生的慣性思維，使他們接納全新的學習模式，數學教師應采取圖文結合的方式增強學生對數學定理的理解，掃清學生思維上的障礙，從而培養(yǎng)學生的逆向思維.初中數學課程中涉及的諸多定理具有互逆性，如角平分線、中垂線的性質與判定定理，等腰三角形的判定定理，平行四邊形的判定定理，等等.在面對這些定理時，數學教師可以結合圖示進行講解，讓學生對定理的具體含義產生正確的認識.此外，教師還要在教學中采用正向講解與逆向講解相結合的策略，激活學生的逆向思維.

例如，在講解“勾股定理”這一內容時，教師可以布置以下習題鞏固學生對勾股定理逆定理的掌握：如圖1所示，四邊形ABCD中的AB=12，BC=4，CD=3，AD=13，∠BCD=90°，求四邊形ABCD的面積.在解題的過程中，學生根據已知條件可知四邊形的一個角是直角，自然會想到運用勾股定理解題，連接BD形成Rt△BCD，計算出BD.然后，教師可以引導學生從勾股定理的逆定理出發(fā)，證明△ABD是直角三角形，計算出△ABD的面積，最后相加△ABD和△BCD的面積得出四邊形ABCD的面積.

（四）在解題教學中培養(yǎng)逆向思維

初中數學解題訓練是培養(yǎng)學生數學思維的有效策略.在解題教學中，教師要滲透反證法、反例法、分析法等逆向思維方法，幫助學生掌握更多的解題技巧，提高學生對逆向思維的靈活運用能力.

1.反證法的應用

思維能力的發(fā)展大多以“認知沖突”為基礎，學生在解決一個又一個“認知沖突”后，可以獲得思維方法的更新與思維能力的提升.在逆向思維的培養(yǎng)中，數學教師可以遵循逆向思維的應用原理，將“反證法”用于其中，讓學生針對具體的問題追求反證途徑.初中數學題中有很多習題很難從正面進行推導解題，增加了解題過程的復雜性.針對此類題型，教師要引導學生運用反證法進行解題，從命題中的某一結論或條件的相反面出發(fā)，論證與命題中的其他條件相矛盾，說明結論的正確性，進而將復雜的問題簡化處理.

例題 已知三個方程x2+2x-2a+3=0，x2+（2a-1）x+a2=0，x2+（a-1）x+94=0中至少有一個方程有實根，計算a的取值范圍.

分析 此題如果采用常規(guī)的正向思維進行解答，就需要考慮三種不同的情況，分別是一個方程有實根、兩個方程有實根和三個方程都有實根，并且要再次對前兩種情況進行分類討論.為簡化解題過程，教師可以引導學生以結論“至少有一個方程有實根”為思考點進行逆向推理論證，即三個方程都沒有實根，進而簡化解題過程，得出a≤14或a≥1.

通過在反證法中運用逆向思維，初中生完成了數學定理的正向理解與方向推導，對數學公式的嚴密程度產生了新的認識，從而在后續(xù)的學習中能夠下意識地思考是否可以用反證法.

2.反例法的應用

數學學科的概念、公式除了限定條件十分清楚外，其證明方面也格外嚴謹，而在數學命題的討論中，反例法的應用范圍較廣，是初中生學習數學時無法規(guī)避的手段.逆向思維作為一種充滿批判性的思維，是應用反例法必不可少的一環(huán).在初中數學解題中，對于證明命題為真的題型，學生需要給出嚴謹的證明過程，才能證明命題為真.在無證明推理過程的情況下，即便學生舉出成百上千個例子，也無法證明命題成立.但是，要想證明命題不成立，學生只需要舉出一個反例.因此，教師要指導學生善于應用反例法進行解題，培養(yǎng)學生的逆向思維能力.

例題 如果四邊形中有一組對邊相等，那么還需要添加什么條件，才能使它成為平行四邊形？

分析 有的學生說：“添加‘這組對邊平行的條件.”有的學生說：“添加‘另一組對邊相等的條件.”還有的學生說：“添加‘一組對角相等的條件.”顯然，前兩名學生的說法是正確的.但是，對于后一名學生的說法不正確，用正向思維方式進行推導論證十分煩瑣，教師可以引導學生采用反例法進行分析，舉出一個反例推翻命題.在教師的指導下，學生舉出用等腰三角形進行反證的方法，如圖2所示，學生將等腰三角形沿著虛線剪開，旋轉并拼接成四邊形ABCD.雖然這一四邊形的一組對邊相等、一組對角相等，但不是平行四邊形.

3.分析法的應用

在數學解題中，分析法是從結論出發(fā)，通過逐層解析明確使結論成立的充分條件，確保充分條件中有已知條件給出的已知量，再回溯解題思路證明結論的正確性.分析法是數學學習中極為常用的一種方法，初中生只有掌握足夠的基礎知識，并具備扎實的問題分析能力，才能在分析具體數學問題時做到面面俱到，而分析法的應用過程也是學生提升逆向思維能力的良好立足點.分析法的應用有助于培養(yǎng)學生的逆向思維能力，使學生逐步養(yǎng)成“想要證明什么，需要證明什么”的良好思維習慣，進一步明確解題思路.在分析法的教學中，教師需要一步步地引導學生進行思考，幫助學生掌握分析法的應用技巧.

例題 如圖3所示，△ABD和△AEC是等邊三角形，求證：BE=DC.

分析 大部分學生在看到這一數學題時會無從下手，因此，教師可以采用分析法幫助學生明確解題思路，具體引導過程如下，即教師提問：“要想證明BE與DC兩條線段相等，需要先證明什么？”學生認為需要先證明三角形全等.教師接著問：“與BE和DC相關的三角形有哪些？這兩條線段最有可能在哪兩個全等三角形中呢？”學生列出三角形后，認為最有可能全等的三角形是△ABE和△ADC.教師繼續(xù)追問：“要想證明你們說的兩個三角形全等，需要滿足什么條件？”學生回答：“AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC.”教師對學生的回答進行肯定和表揚.教師最后提問：“這三個條件在題中是否都是已知條件呢？”學生豁然開朗，從已知條件中得出了AB=AD，AE=AC，∠1=∠3=60°，通過已知條件證明了∠BAE=∠2+∠3，∠DAC=∠1+∠2，即△ABE和△ADC是全等三角形，BE與DC兩條線段相等.

三、結語

綜上所述，在初中數學教學中，教師要認識到逆向思維培養(yǎng)的重要性，將逆向思維培養(yǎng)貫串于新課教學與習題講解的過程中，使學生學會運用逆向思維思考數學問題，扎實掌握數學概念、定義、定理、公式的本質，靈活運用所學知識解決數學問題，從而不斷提高學生的數學思維能力，穩(wěn)步提升學生的數學學習成績.當學生具備逆向思維能力后，他們在面對復雜的數學問題時就不會再感到無從下手，而是能夠靈活地調用所學知識對數學問題進行綜合性的分析.

【參考文獻】

[1]周禮華.在初中數學教學中培養(yǎng)學生逆向思維能力的研究[J].啟迪，2020（7）：16.

[2]余正龍.初中數學教學中培養(yǎng)學生逆向思維的途徑[J].市場調查信息：綜合版，2020（3）：260.

[3]鄒陳長.談初中數學教學中培養(yǎng)學生逆向思維能力的策略[J].南北橋，2020（18）：167.

[4]王燕.如何在初中數學教學中培養(yǎng)學生逆向思維能力[J].環(huán)球慈善，2019（5）：21.

[5]茹春紅.初中數學解題中培養(yǎng)學生逆向思維的策略探討[J].中華少年，2016（20）：123.

[6]張小泉.初中數學教學如何培養(yǎng)中學生逆向思維能力[J].名師在線，2017（21）：30-31.

[7]李晗錦.初中數學教學中如何培養(yǎng)學生的逆向思維能力[J].中華少年，2017（13）：155-156.E9972EAF-DF16-4739-A4E4-1C9DCA4909E3