信息技術(shù)與“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容整合的案例分析

周曉輝

【摘 要】 ?信息化背景下，各國(guó)都強(qiáng)調(diào)利用信息技術(shù)促進(jìn)學(xué)生數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí).從國(guó)際視角出發(fā)，以新加坡數(shù)學(xué)教材為載體，簡(jiǎn)要分析該國(guó)初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域信息技術(shù)的使用情況，以期對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)有所啟示.

【關(guān)鍵詞】 ?案例分析;數(shù)學(xué)教材;信息技術(shù)

1 ?前言

“數(shù)與代數(shù)”在初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性不言而喻，它是研究現(xiàn)實(shí)世界事物的數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型[1].信息化背景下，各國(guó)都強(qiáng)調(diào)利用信息技術(shù)促進(jìn)學(xué)生數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)，已有學(xué)者對(duì)中國(guó)在內(nèi)的14國(guó)小學(xué)初中課標(biāo)中信息技術(shù)運(yùn)用的國(guó)際比較發(fā)現(xiàn)，與圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率相比，數(shù)與代數(shù)提及率最高[2].我國(guó)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中信息技術(shù)使用的提及率雖然高，但呈現(xiàn)“兩頭多中間少”的局勢(shì)[3].具體內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，僅有幾處提到計(jì)算器的使用，教科書(shū)中信息技術(shù)的使用也較泛化，指導(dǎo)性不強(qiáng).因此，從國(guó)際視角出發(fā)，分析他國(guó)數(shù)學(xué)課程中信息技術(shù)的使用情況，對(duì)我國(guó)的課程發(fā)展有著重要的借鑒意義.

新加坡與中國(guó)同受儒家文化的影響，兩國(guó)都注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的培養(yǎng)，新加坡又借鑒了西方數(shù)學(xué)理念，形成了既具東方特色又有西方意味的數(shù)學(xué)教育體系.同時(shí)，該國(guó)在國(guó)際重大測(cè)評(píng)（TIMSS，PISA）中成績(jī)優(yōu)異而備受關(guān)注.其教育信息化進(jìn)程較我國(guó)早很多，早在1996年就制定了第一個(gè)教育信息化總體規(guī)劃，重點(diǎn)推進(jìn)信息技術(shù)在教育教學(xué)中的使用[4].按照新加坡2013年數(shù)學(xué)教與學(xué)大綱編寫(xiě)，由Shing Lee出版社于2013—2016年出版的數(shù)學(xué)教材《New Syllabus Mathematics Normal（Academic）》[5]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)NSMN版）在新加坡應(yīng)用廣泛.本文以該版教材為載體，簡(jiǎn)要分析新加坡數(shù)學(xué)課程中信息技術(shù)與“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容整合的情況，以期為我國(guó)數(shù)學(xué)教育中應(yīng)用信息技術(shù)提供啟示.

2 ?案例解析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》第三學(xué)段數(shù)與代數(shù)課程內(nèi)容分為數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)三部分，新加坡數(shù)學(xué)課程內(nèi)容安排與其基本相當(dāng).具體到NSMN版教科書(shū)中信息技術(shù)運(yùn)用，數(shù)與式部分包括科學(xué)計(jì)算器與代數(shù)圓盤(pán)，科學(xué)計(jì)算器使用與我國(guó)無(wú)顯著差異，只是內(nèi)容更為詳細(xì);方程與不等式部分以代數(shù)工具居首位;函數(shù)部分主要用于函數(shù)性質(zhì)的探索.下面從借助信息技術(shù)的新課導(dǎo)入、探索函數(shù)性質(zhì)以及多元表征代數(shù)知識(shí)等三方面入手，加以分析.

2.1 借助信息技術(shù)的新課導(dǎo)入

新課導(dǎo)入是數(shù)學(xué)課堂最基本的環(huán)節(jié)之一，對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)有很大影響.利用信息技術(shù)的新課導(dǎo)入不僅能激發(fā)學(xué)生興趣，使學(xué)生更好地理解、掌握所學(xué)內(nèi)容，還能開(kāi)拓教師思維.案例1為二次函數(shù)的新課導(dǎo)入.

案例1 ?二次函數(shù)的新課導(dǎo)入.

如圖1所示，模板中點(diǎn) P 的橫坐標(biāo) x 表示正方形的邊長(zhǎng)，縱坐標(biāo) y 表示正方形的面積 A .因此，點(diǎn)P的軌跡將描繪出 A=x2 （x>0）的圖象.

點(diǎn)擊“Set ?x=0 ”，“Set ?x=1 ”等按鈕，得到 A=x2 的函數(shù)圖象.回答下列問(wèn)題.

Step1.對(duì)于每一個(gè) x 的值，有多少個(gè)與之對(duì)應(yīng)的 A 值. A是x 函數(shù)嗎？

Step2.觀察函數(shù)圖象你注意到了什么？它是線(xiàn)性的還是非線(xiàn)性的？解釋你的答案.

這里二次函數(shù)的導(dǎo)入利用正方形面積與其邊長(zhǎng)的關(guān)系為背景.坐標(biāo)系中 P 點(diǎn)的橫坐標(biāo) x 表示正方形的邊長(zhǎng)，縱坐標(biāo) y 表示正方形的面積 A .因此 P 的軌跡將繪制出 A=x2 的部分圖象.

學(xué)生點(diǎn)擊模板中“設(shè)置 x=0 ”“設(shè)置 x=1 ”等按鈕，點(diǎn) P 執(zhí)行相應(yīng)動(dòng)作.完成操作后，步驟1提問(wèn)：對(duì)于每一個(gè) x 的值，有多少個(gè)與之對(duì)應(yīng)的 A 值.由于正方形面積與其邊長(zhǎng)的關(guān)系是唯一對(duì)應(yīng)的，學(xué)生容易得到答案.進(jìn)而提問(wèn)： A是x 的函數(shù)嗎？學(xué)生回顧函數(shù)的概念并結(jié)合正方形邊長(zhǎng)與面積的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，能夠做出回答.步驟2中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，模板中的函數(shù)圖象與之前學(xué)習(xí)過(guò)的線(xiàn)性圖象不同，它隨著 x 變化呈“曲線(xiàn)狀”，是非線(xiàn)性的.

整個(gè)探索以學(xué)生的已有知識(shí)（正方形面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系）為背景，抽象出最簡(jiǎn)單的二次函數(shù) A=x2 .由此入手，比現(xiàn)實(shí)情境例子或其它較為復(fù)雜的背景，更直觀，且容易讓學(xué)生接受.探究時(shí)，學(xué)生點(diǎn)擊模板按鈕，形成 A=x2 圖象.同時(shí)圖象下方呈現(xiàn)出對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的正方形，上方是邊長(zhǎng)與面積的坐標(biāo)形成的軌跡，下方是正方形，再一次幫助學(xué)生理解 A=x2 表達(dá)的意思.這是“靜態(tài)”課堂做不到的：點(diǎn)在變化，正方形（面積）跟著變化.

傳統(tǒng)二次函數(shù)的新課導(dǎo)入大多從現(xiàn)實(shí)生活實(shí)例出發(fā)，或是從較為復(fù)雜的背景入手，試圖由多個(gè)例子呈現(xiàn)，抽象出二次函數(shù)的概念.上述探究提供了新的思路：一方面讓學(xué)生體會(huì)了二次函數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，知道要學(xué)的內(nèi)容是函數(shù)，思想上有了準(zhǔn)備.其次，通過(guò)幾何軟件呈現(xiàn)的圖象，發(fā)現(xiàn)這類(lèi)函數(shù)與之前學(xué)過(guò)的不同，屬于非線(xiàn)性的.這就打破了原來(lái)的“大量例子→函數(shù)表達(dá)式→概念抽象”課堂安排，轉(zhuǎn)為借助信息技術(shù)，采用“簡(jiǎn)單例子→函數(shù)圖象（IT）→問(wèn)題引領(lǐng)→教師總結(jié)”.

2.2 借助信息技術(shù)探索函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)作為數(shù)與代數(shù)的重要組成部分，是初中階段的重點(diǎn)、難點(diǎn)，又是學(xué)好函數(shù)的基礎(chǔ)，因此借鑒國(guó)外的優(yōu)良經(jīng)驗(yàn)有著重要意義.與我國(guó)課堂不同，新加坡數(shù)學(xué)課程講授函數(shù)性質(zhì)時(shí)，大多利用信息技術(shù)進(jìn)行探索教學(xué).以下案例分別利用信息技術(shù)對(duì)一次、二次函數(shù)的性質(zhì)探索.

一次函數(shù)是初中階段較早學(xué)習(xí)的函數(shù)內(nèi)容.函數(shù) y=mx+c 中 m 和 c 如何影響函數(shù)圖象？NSMN版通過(guò)Excel軟件，設(shè)置模板，讓學(xué)生自主探究.模板如圖2所示. ????圖2 直線(xiàn)方程的探索

案例2 ?一次函數(shù)性質(zhì)的探索.

本次探究中，將探索當(dāng) m 或 c 變化時(shí)，形為 y=mx+c 的直線(xiàn)圖象如何變化.

Step1：點(diǎn)擊滾動(dòng)條，從-3到3變化 c 的值，每次改變1個(gè)單位，直線(xiàn)會(huì)有什么變化？陳述直線(xiàn)與 y 軸相交交點(diǎn)的坐標(biāo).

Step2：從0到5變化 m 的值，每次改變1個(gè)單位.直線(xiàn)會(huì)有什么變化？

Step3：從0到-5變化 m 的值，每次改變1個(gè)單位.直線(xiàn)會(huì)有什么變化？

Step4： m 的值為正與 m 的值為負(fù)的直線(xiàn)有什么不同？

探究中首先分析 c 的變化對(duì)圖象的影響.學(xué)生點(diǎn)擊滾動(dòng)條，變化 c 的值，每點(diǎn)擊一次，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)位置發(fā)生了平移（或上或下），但直線(xiàn)的形狀沒(méi)有改變.繼而由步驟1的問(wèn)題啟發(fā)，發(fā)現(xiàn) x 等于0時(shí) y 為 c ，即直線(xiàn)與 y 軸相交，交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0， c ）.進(jìn)而歸納出 c 的變化并不影響直線(xiàn)的形狀，而是影響直線(xiàn)與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).

步驟1的探索通過(guò)學(xué)生操作滾動(dòng)條，發(fā)現(xiàn) c 的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響過(guò)程中學(xué)生知識(shí)的獲得建立在自主實(shí)驗(yàn)、觀察、思考的基礎(chǔ)上.倘若由老師直接講， c 是自變量為0時(shí)的函數(shù)值，所以 c 只影響直線(xiàn)與 y 軸的交點(diǎn).這樣的講授學(xué)生似乎聽(tīng)懂了，卻只是停留在表面.部分老師會(huì)在黑板上畫(huà)圖，利用數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生自主歸納.但通過(guò)描點(diǎn)、連線(xiàn)（這里面對(duì)的是初學(xué)者）的手工作圖費(fèi)時(shí)費(fèi)力，最重要的是探究過(guò)程的思維連貫性被阻礙了.而信息技術(shù)能有效彌補(bǔ)這一不足，把更多的時(shí)間留給探究.

步驟2從0到5變化 m 的值，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)隨著 m 的增大，直線(xiàn)會(huì)越來(lái)越“陡”，且 y 隨 x 增大而增大.而從0到-5變化 m 的值，直線(xiàn)也會(huì)越來(lái)越“陡”，但直線(xiàn)的趨勢(shì)與先前呈相反狀態(tài)： y 隨 x 增大而減小.步驟3中提出了類(lèi)似問(wèn)題.回顧整個(gè)過(guò)程，學(xué)生從聽(tīng)老師講、看老師做，轉(zhuǎn)向了自主探索.通過(guò)在模板上操作，有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，改變學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方式與態(tài)度.下一案例與此類(lèi)似.

案例3 ?二次函數(shù)性質(zhì)的探索

第一部分： a 值的影響.這部分探究將 b 、 c 的值調(diào)整為0.

Step1.增大 a 的值，觀察圖象的開(kāi)關(guān)有哪些變化？

Step2.減小 a 的值，但仍為正.圖象的形狀你注意到了什么？

Step3.減小 a 的值，直到變?yōu)樨?fù).圖象的形狀你注意到了什么？

Step4. a 的值如何影響函數(shù)圖象的形狀？當(dāng) a 為正值和 a 為負(fù)值時(shí)，會(huì)有哪些變化？

案例3探索由4部分組成（僅列舉第一部分），分別討論 a ， b ， c 三個(gè)參數(shù)對(duì)二次函數(shù)圖象的影響，具體模板如圖3.第一部分，先將 b ， c 調(diào)為0，函數(shù)表達(dá)式 y=ax2 .這時(shí)增大 a 的值（只需單擊并向右拖拉“adjust ?a ”），學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)圖象隨著 a 的變化而改變，且 a 越大（初始狀態(tài) a>0 ），拋物線(xiàn)開(kāi)口越小.向相反方向拖動(dòng)“adjust ?a ”，圖象呈相反趨勢(shì)： a 越小，拋物線(xiàn)開(kāi)口越大.但當(dāng) a 的值變?yōu)樨?fù)數(shù)時(shí)，圖象開(kāi)口突然向下，此時(shí)學(xué)生“眼前一亮”，一直在 x 軸上方的函數(shù)圖象怎么到 x 軸下方了？究其原因，原來(lái)是 a 的值由正變?yōu)樨?fù)了.經(jīng)過(guò)這樣探索，學(xué)生對(duì) a=0 這個(gè)臨界點(diǎn)肯定記憶深刻.步驟4對(duì)第一部分探究歸納小結(jié).第二、三部分則探究 b ， c 值變化對(duì)圖象位置的影響. ????圖3 二次函數(shù)圖象探究

值得一提的是，探究結(jié)束后，呈現(xiàn)了由一系列二次函數(shù)組成的表格，要求學(xué)生調(diào)整 a ， b ， c 為指定值，填寫(xiě)表格.目的是鞏固新知.如表1所示（本表只列舉一個(gè)函數(shù)為代表）.

綜合上述探究，我們發(fā)現(xiàn)信息技術(shù)有如下優(yōu)勢(shì)：（1）強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)性.變化參數(shù)值時(shí)，只需拖動(dòng)“adjust ?a ， b ， c ”各參數(shù)大小自動(dòng)發(fā)生變化，且函數(shù)圖象同時(shí)跟著改變.這在傳統(tǒng)課堂上很難見(jiàn)到，動(dòng)態(tài)幾何軟件為此提供了技術(shù)支持.（2）資源無(wú)限制性.教材中探索所要用到的模板，教科書(shū)的網(wǎng)上資源庫(kù)幾乎都能下載.這就避免了只有在學(xué)校、在課堂才能探索數(shù)學(xué)的狹隘觀點(diǎn)，學(xué)生在家也能利用這部分資源.（3）操作的便捷性.由于模板是教科書(shū)出版商提前設(shè)計(jì)好的，師生只需聯(lián)網(wǎng)下載使用即可，這為課堂帶來(lái)很大便捷.許多教師不愿使用信息技術(shù)部分原因是缺乏技術(shù)知識(shí)（Technological Knowledge），而配套資源庫(kù)解決了這一難題.便捷性還體現(xiàn)在探究過(guò)程中，學(xué)生只需拖動(dòng)模板即可，操作十分簡(jiǎn)單，重心完全落在“探究”上，防止了技術(shù)帶來(lái)的負(fù)面影響.

2.3 借助信息技術(shù)多元表征代數(shù)知識(shí)

新加坡教科書(shū)中的代數(shù)圓盤(pán)（algebra discs）應(yīng)用在我國(guó)初中數(shù)學(xué)暫不多見(jiàn)，基本思想是運(yùn)用直觀的圖示分解元素法進(jìn)行運(yùn)算[6]，即運(yùn)用 x ， -x ，1，-1等基本元素表示代數(shù)表達(dá)式.如案例4所示.

案例4 ?利用代數(shù)圓盤(pán)化簡(jiǎn)表達(dá)式

由圖4可知，使用代數(shù)圓盤(pán)實(shí)現(xiàn)了代數(shù)運(yùn)算的多元表征.初看似乎略顯繁瑣，細(xì)想這樣的方式剛好符合初中生的心理認(rèn)知.從語(yǔ)言表征、符號(hào)表征、圖表表征等多方面著手，有利于學(xué)生代數(shù)知識(shí)的掌握.三者互相聯(lián)系、相互促進(jìn)，若學(xué)生對(duì)代數(shù)知識(shí)有所遺忘，代數(shù)圓盤(pán)能有效幫助學(xué)生回憶起相應(yīng)知識(shí).為了防止畫(huà)圖產(chǎn)生厭惡感，教材還提供了在線(xiàn)代數(shù)應(yīng)用軟件，學(xué)生可在網(wǎng)上操作.當(dāng)然這部分內(nèi)容不是必須的而是有選擇性的.教材中常以“使用代數(shù)圓盤(pán)化簡(jiǎn)下列表達(dá)式，或者訪問(wèn)http：//www.shinglee.com.sg/StudentResources/，進(jìn)入AlgeToolsTM軟件進(jìn)行化簡(jiǎn)”表述.不但如此，新加坡數(shù)學(xué)教與學(xué)大綱2013的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)（Learning Experiences）部分也多次強(qiáng)調(diào)：“使用代數(shù)圓盤(pán)或代數(shù)工具中的代數(shù)圓盤(pán)應(yīng)用……”[7]可見(jiàn)新加坡初中數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域十分注重代數(shù)圓盤(pán)直觀化，注重直觀化、注重信息技術(shù)與代數(shù)運(yùn)算相結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生代數(shù)知識(shí)的掌握.

3 ?若干啟示

3.1 利用技術(shù)導(dǎo)入新課，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

基于信息技術(shù)的新課導(dǎo)入能激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性，這一優(yōu)點(diǎn)不言而喻.此外，這樣的導(dǎo)入依賴(lài)于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，由學(xué)生主動(dòng)探索而來(lái)，以舊引新，聯(lián)系緊密且遷移性強(qiáng).與西方強(qiáng)調(diào)的直接經(jīng)驗(yàn)不同的是，教師建立好“腳手架”，學(xué)生獲取基于問(wèn)題串形式的間接經(jīng)驗(yàn).借助信息技術(shù)的新課導(dǎo)入能開(kāi)拓教師思維，打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的根本轉(zhuǎn)變，幫助學(xué)生從“聽(tīng)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白鰯?shù)學(xué)”[8].

3.2 利用技術(shù)設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，引發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)

利用技術(shù)設(shè)計(jì)適宜的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，能引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探究、合作交流，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想，理解、掌握基礎(chǔ)知識(shí).信息技術(shù)為此提供了良好的平臺(tái).如函數(shù)性質(zhì)探究中學(xué)生經(jīng)歷了：實(shí)踐操作（IT）—變化圖象—性質(zhì)歸納.過(guò)程中用到了重要的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合.函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的基本思路是從特殊到一般，通過(guò)研究幾個(gè)特殊函數(shù)，然后概括出一般的函數(shù)圖象和性質(zhì)，但傳統(tǒng)方式“特殊”的例子太少，概括“一般”的過(guò)程太快[9].利用信息技術(shù)的動(dòng)態(tài)性能有效彌補(bǔ)這一缺陷.同時(shí)，探究活動(dòng)有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，讓學(xué)生真正感受到自己是學(xué)習(xí)的主人，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”[10].

3.3 利用技術(shù)多元表征，強(qiáng)化代數(shù)學(xué)習(xí)

多元表征的代數(shù)學(xué)習(xí)指從多個(gè)角度入手學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)，包括語(yǔ)言表征、符號(hào)表征、圖表表征等形式.表征與表征之間相互促進(jìn)，學(xué)生可以靈活地借用外在表征，找到內(nèi)在表征，進(jìn)而運(yùn)用內(nèi)在表征進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算[11].當(dāng)表征過(guò)于繁雜的代數(shù)式時(shí)，就需要借助信息技術(shù)，這在新加坡數(shù)學(xué)課程中很常見(jiàn).除了代數(shù)圓盤(pán)外，新加坡數(shù)學(xué)教與學(xué)大綱2013強(qiáng)調(diào)的虛擬天平、代數(shù)條應(yīng)用等都是為了多元表征.

總之，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合乃至深度融合是新課改的重要理念.通過(guò)對(duì)新加坡教科書(shū)中信息技術(shù)的使用分析，反思我國(guó)初中數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)整合存在的優(yōu)點(diǎn)和不足，期望為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供借鑒.

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