運(yùn)用概念教學(xué)的一般思維路徑解決新定義問(wèn)題

王林林

【摘 要】 ?本節(jié)課以北京市西城區(qū)期末試卷中的一道新定義問(wèn)題為例，運(yùn)用概念教學(xué)的一般思維路徑，以具體的實(shí)例作為起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)操作、抽象概括的過(guò)程中總結(jié)出“新定義”的本質(zhì)特征，然后用“新定義”解釋或推理得到性質(zhì)，最后運(yùn)用性質(zhì)解決問(wèn)題，幫助學(xué)生在研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中積累思維經(jīng)驗(yàn)，形成思維路徑，提高思維水平.

【關(guān)鍵詞】 ?新定義;概念教學(xué);思維路徑

1 ?引言

新定義問(wèn)題是指在題干中定義了一些教材以外的數(shù)學(xué)概念，要求同學(xué)們現(xiàn)場(chǎng)讀懂題意，理解新定義的含義，并結(jié)合已有知識(shí)解決問(wèn)題的一種題型.自2012年起，北京市中考數(shù)學(xué)的最后一道壓軸題都是新定義問(wèn)題.

在新定義問(wèn)題講解過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)學(xué)生聽(tīng)得懂課但是無(wú)法自己獨(dú)立探究的現(xiàn)象.究其原因，在于課堂上老師只是講解了顯性的具體做法，而缺乏對(duì)隱性的研究數(shù)學(xué)概念的一般思維路徑的剖析與提煉，致使學(xué)生的思維能力并沒(méi)有得到真正提升.

概念教學(xué)，一般要經(jīng)歷這樣的幾個(gè)過(guò)程：教師提供具體典型的案例，引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納共同特征得到概念的定義;再指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)正例和反例的比較、分析和概括等思維活動(dòng)，明確概念的關(guān)鍵屬性;最后學(xué)生通過(guò)應(yīng)用概念，將新概念納入已有的知識(shí)體系中，形成概念系統(tǒng)[1].新定義問(wèn)題的課堂教學(xué)也應(yīng)遵循概念教學(xué)的一般的思維路徑，從概念的定義出發(fā)，探究概念的性質(zhì)，最后運(yùn)用性質(zhì)解決問(wèn)題.

下面以2020—2021學(xué)年下學(xué)期北京市西城區(qū)期末試卷的一道附加題為例，展示筆者是如何開(kāi)展新定義問(wèn)題課堂教學(xué)的.

2 ?內(nèi)容分析

題目呈現(xiàn)：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），記d x=|x 1-x 2|，d y=|y 1-y 2|，將 d x-d y 稱為點(diǎn)A，B的橫縱偏差，記為μ（A，B），即μ（A，B）= d x-d y .若點(diǎn)B在線段PQ上，將μ（A，B）的最大值稱為線段PQ關(guān)于點(diǎn)A的橫縱偏差，記為μ（A，PQ）.

（1）A（0，-2），B（1，4），

①μ（A，B）的值是 ;

②點(diǎn)K在x軸上，若μ（B，K）=0，則點(diǎn)K的坐標(biāo)是 .

（2）點(diǎn)P，Q在y軸上，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方，PQ=6，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-5，0）.

①當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，求μ（M，PQ）的值;

②當(dāng)線段PQ在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出μ（M，PQ）的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

從代數(shù)的角度來(lái)看：|x 1-x 2|指的是A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的差，|y 1-y 2|指的是A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差， d x-d y 指的是這兩個(gè)差的差.從幾何的角度來(lái)看，分別過(guò)點(diǎn)A，B作x軸的平行線、垂線，交于點(diǎn)C，得到 Rt △ABC，|x 1-x 2|、|y 1-y 2|分別指的是線段AC，BC的長(zhǎng)， d x-d y 指的就是 Rt △ABC中兩條直角邊長(zhǎng)度的差.

μ（A，PQ）是以μ（A，B）定義的.根據(jù)后面題目的設(shè)置，我們重點(diǎn)研究線段PQ在y軸上時(shí)的特殊情況.過(guò)點(diǎn)A作AG⊥PQ于點(diǎn)G.根據(jù)G與線段PQ的位置關(guān)系的不同，可以分為圖1中的兩種情況：點(diǎn)G在線段PQ上和點(diǎn)G在線段PQ的延長(zhǎng)線（或反向延長(zhǎng)線）上.

點(diǎn)B為線段PQ上任意一點(diǎn)，此時(shí)d x=|x 1-x 2|=AG，是固定值.（1）當(dāng)點(diǎn)G在線段PQ上時(shí)，要使得μ（A，B），即 d x-d y 最大，只需d y最小.根據(jù)圖形可知，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)G重合時(shí)，d y最小為0，此時(shí)μ（A，B）最大為AG的長(zhǎng).（2）當(dāng)點(diǎn)G在線段PQ的延長(zhǎng)線上時(shí)，d y=GB.如圖2，在直線PQ上一定存在一點(diǎn)A′使得GA=GA′，此時(shí)μ（A，A′）=0.μ（A，B）=|GB-GA|=|GB-GA′|=A′B.根據(jù)圖形可知，無(wú)論線段PQ是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′，μ（A，B）的最大值即為A′P和A′Q中的較大值，也是μ（A，P）和μ（A，Q）中的較大值.這就是μ（A，PQ）這個(gè)新定義的本質(zhì)特征，也是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).

3 ?學(xué)情分析

一個(gè)36人的班中，該題目中四小問(wèn)能夠做對(duì)的人數(shù)分別為36，27，14，3.學(xué)生不能用μ（A，B）的定義將“μ（B，K）=0”這個(gè)條件進(jìn)一步化歸;不理解μ（A，PQ）與μ（A，B）這兩個(gè)概念之間的關(guān)系;最后一問(wèn)是求“最大值的最小值”，這本身就難以理解.

由此確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：理解線段PQ關(guān)于點(diǎn)A的橫縱偏差的概念，并探究其性質(zhì).

4教學(xué)與學(xué)法

教師采用啟發(fā)式教學(xué)方式，將數(shù)學(xué)題目拆分為幾個(gè)核心問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生解讀概念、探究本質(zhì)、應(yīng)用性質(zhì)解決問(wèn)題.在學(xué)法上，學(xué)生通過(guò)觀察、計(jì)算、歸納得到性質(zhì)，并回歸定義解釋性質(zhì).

4 ?教學(xué)過(guò)程

4.1 解讀μ（A，B）的定義

問(wèn)題1 ?你是如何理解點(diǎn)A，B的橫縱偏差的定義的？如何計(jì)算μ（A，B）？它的幾何含義是什么？μ（A，B）何時(shí)為0？

師生活動(dòng)：學(xué)生能夠說(shuō)出μ（A，B）的代數(shù)含義和幾何含義.

教學(xué)說(shuō)明 ?引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度理解μ（A，B）的含義.學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)，要不斷回到基本概念中去，養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維習(xí)慣.

4.2 探究μ（A，B）的變化規(guī)律

師：μ（A，PQ）這個(gè)概念是以μ（A，B）的最大值定義的.為了更好地理解μ（A，PQ），我們首先研究μ（A，B）的變化規(guī)律.我們以第（2）問(wèn)的條件為例.在y軸上任意取一點(diǎn)N，探究μ（M，N）的變化規(guī)律.

問(wèn)題2 ?因?yàn)閥軸的正、負(fù)半軸是關(guān)于x軸對(duì)稱的，先研究原點(diǎn)及y軸正半軸上的點(diǎn).當(dāng)N的縱坐標(biāo)分別取0～10的整數(shù)時(shí)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的μ（M，N）的值.思考：當(dāng)N自原點(diǎn)沿y軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，μ（M，N）的變化規(guī)律是什么？并說(shuō)明理由.

追問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)N自原點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，μ（M，N）的變化規(guī)律又是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)計(jì)算、觀察、總結(jié)歸納出當(dāng)N自原點(diǎn)沿y軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)μ（M，N）的變化規(guī)律，然后回歸μ（A，B）的定義解釋規(guī)律.由對(duì)稱性可得，當(dāng)點(diǎn)N自原點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)的變化規(guī)律.最后，教師用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示.

教學(xué)說(shuō)明 ?學(xué)生充分經(jīng)歷計(jì)算、歸納、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程，歸納出點(diǎn)N在y軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，μ（M，N）值的變化規(guī)律，培養(yǎng)了歸納概括的能力和合情推理的意識(shí);回歸定義解釋變化規(guī)律，再次強(qiáng)化從基本概念出發(fā)思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維習(xí)慣，培養(yǎng)了代數(shù)推理能力.幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示，增強(qiáng)幾何直觀.最后，學(xué)生總結(jié)思維經(jīng)驗(yàn)，形成思維路徑.

4.3 解讀μ（A，PQ）的定義

問(wèn)題3 ?根據(jù)μ（A，PQ）的定義可知，點(diǎn)N在線段PQ上，那么μ（M，N）的最大值就是μ（M，PQ）的值.當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，畫(huà)出圖形，求μ（M，PQ）的值.

師生活動(dòng)：學(xué)生畫(huà)出圖形，根據(jù)定義得到，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)Q重合時(shí)，μ（M，N）最大，最大值為4，即μ（M，PQ）=4.

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)實(shí)例分析，明確對(duì)于確定的點(diǎn)M和線段PQ，μ（M，PQ）的值唯一確定.

4.4 探究μ（M，PQ）的變化規(guī)律

問(wèn)題4 ?根據(jù)線段PQ與x軸位置關(guān)系的不同，可以分成哪幾類？類比探究：當(dāng)線段PQ自Q點(diǎn)從原點(diǎn)沿y軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，μ（M，PQ）的值是如何變化的？如何理解μ（M，PQ）的最小值.當(dāng)線段PQ在y軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)呢？當(dāng)線段PQ與x軸相交時(shí)呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生沿著從特殊到一般的研究路徑，通過(guò)畫(huà)圖、計(jì)算、觀察、歸納：當(dāng)線段PQ自Q點(diǎn)從原點(diǎn)沿y軸正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，μ（M，PQ）先變小后變大，當(dāng)Q（0，2）時(shí)，μ（M，PQ）最小為3，此時(shí)P（0，8）.由軸對(duì)稱得到：當(dāng)線段PQ自P點(diǎn)從原點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)的變化規(guī)律.當(dāng)線段PQ與x軸相交時(shí)，μ（M，PQ）=μ（M，O）=5.回歸定義解釋變化規(guī)律.

教學(xué)說(shuō)明 ?用相似的路徑研究不同的問(wèn)題.學(xué)生通過(guò)對(duì)多個(gè)特例進(jìn)行計(jì)算、觀察、對(duì)比、歸納概括得到μ（M，PQ）的變化規(guī)律，再回歸定義解釋規(guī)律，鞏固思維路徑，形成思維經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了分類討論、類比的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展抽象概括能力和邏輯推理能力.4.5 解決問(wèn)題

問(wèn)題5 ?當(dāng)線段PQ在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出μ（M，PQ）的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

師生活動(dòng)：根據(jù)變化規(guī)律直接可得結(jié)果.同學(xué)們還分享了代數(shù)推理的方法和反證法.

教學(xué)說(shuō)明 ?解決問(wèn)題的方法的多樣性和發(fā)散性是課堂數(shù)學(xué)思維活動(dòng)充分展開(kāi)的必然結(jié)果.

4.6 變式練習(xí)

問(wèn)題6 ?已知M（m，0），P（0，9），Q（0，1），直接寫(xiě)出μ（M，PQ）的最小值及此時(shí)m的值.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，類比探究.教師全班巡視，個(gè)別輔導(dǎo).

教學(xué)說(shuō)明 ?通過(guò)變式練習(xí)，檢驗(yàn)教學(xué)效果. ?5 ?對(duì)教學(xué)的啟示

教師根據(jù)學(xué)生的作答情況，分析學(xué)生思維的難點(diǎn)，將新定義問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一串需要探究的數(shù)學(xué)問(wèn)題.教師引導(dǎo)學(xué)生沿著概念教學(xué)的一般思維路徑研究“新定義”，以具體的實(shí)例作為起點(diǎn)，在畫(huà)圖、計(jì)算、觀察、對(duì)比、抽象、概括的過(guò)程中總結(jié)出“新定義”的本質(zhì)特征，然后用“新定義”解釋或推理得到性質(zhì)，最后運(yùn)用性質(zhì)解決問(wèn)題.學(xué)生在分析與解決問(wèn)題的過(guò)程中提高思維水平.

同時(shí)，在日常教學(xué)中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、對(duì)比、分析、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程，在活動(dòng)中積累分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊一般、方程思想、逆向思維等基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，遷移運(yùn)用到新定義問(wèn)題研究中去.

參考文獻(xiàn)

[1] 曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].3版.北京：北京師范大學(xué)出版社，2014：112-117.