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    小題壓軸 構(gòu)建支架 凸顯本質(zhì)

    2022-05-30 12:31:55陳冬
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2022年5期
    關(guān)鍵詞:本質(zhì)支架情境

    陳冬

    【摘 要】 ?選擇題、填空題的壓軸題雖為一道小題,但其題量內(nèi)涵、知識外延、思維的廣度與深度、選拔的區(qū)分度與難度等都會有所提升,如果按常規(guī)的解題技巧和方法去做,可能花了較多時間算出來還是模棱兩可的結(jié)果.為此,壓軸小題常有其獨特的解題思路和策略,構(gòu)建恰當(dāng)、合理的情境支架,多方位、多角度構(gòu)建情境支架,既有利于壓軸小題思路的展開與延伸,又激發(fā)了壓軸小題本質(zhì)的凸顯與深化.

    【關(guān)鍵詞】 ?情境;支架;本質(zhì)

    原題呈現(xiàn) ?(2022年江蘇省蘇州市中考第16題) 如圖1,在矩形 ABCD中, AB BC = 2 3 .動點M從點A出發(fā),沿邊AD向點D勻速運動,動點N從點B出發(fā),沿邊BC向點C勻速運動,連接MN.動點M,N同時出發(fā),點M運動的速度為v 1,點N運動的速度為v 2,且v 1

    分析 ?本題屬于矩形背景下的動點問題、翻折問題,涉及到矩形的性質(zhì)、翻折性質(zhì)、軸對稱性質(zhì)、中點性質(zhì)、兩個三角形相似的判定與性質(zhì)、勾股定理及兩個三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點,熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì),求出相應(yīng)線段長是解決這道壓軸題的關(guān)鍵.

    解答 ?如圖2,在矩形ABCD中, AB BC = 2 3 ,設(shè)AB=2a,BC=3a,所以CD=AB=2a,AD=BC=3a,運動時間為t,所以BN=v 2t,AM=v 1t.在運動過程中,將四邊形MABN沿MN翻折,得到四邊形MA′B′N,所以B′N=BN=v 2t,A′M=AM=v 1t.若在某一時刻,點B的對應(yīng)點B′恰好在CD的中點重合,所以DB′=B′C=a,在 Rt △B′CN中,∠C=90 ° ,B′C=a,B′N=v 2t,CN=3a-v 2t,由勾股定理:B′C2+CN2=B′N2,易得BN=v 2t= 5 3 a.

    因為∠A′B′N=∠B=90 ° ,所以∠A′B′D+∠CB′N=90 ° .因為∠CNB′+∠CB′N=90 ° ,所以∠A′B′D=∠CNB′,所以△EDB′∽△B′CN,所以 DE DB′ = B′C CN = B′C BC-BN = a 3a- 5 3 a = 3 4 .

    因為DB′=B′C=a,所以DE= 3 4 DB′= 3 4 a,則B′E= (DB′)2+DE2 = a2+ ?3 4 a 2 = 5 4 a,所以A′E=A′B′-B′E=2a- 5 4 a= 3 4 a,即DE= 3 4 a=A′E.

    在△A′EM和△DEB′中,

    ∠A′=∠D=90 ° ,A′E=DE,∠A′EM=∠DEB′,

    所以△A′EM≌△DEB′( ASA ),所以A′M=B′D=a,即AM=v 1t=a,所以 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a ?5 3 a = 3 5 .

    解后思考 ?上述解答實為本題的通式通法,充分利用圖形翻折、矩形的性質(zhì)、中點性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及全等三角形的判定與性質(zhì)等諸多知識,最終解決了兩動點的速度之比問題.但回頭細想,本題為填空式壓軸題,涉及的知識點多、計算量大,學(xué)生在較短時間內(nèi)解決這個問題,必定要費些周折.那有沒有快捷、有效的解題思路方法呢?答案是肯定的,我們來欣賞幾種解法.

    1.特殊值法

    分析 ?此題用這個特殊值作情境支架的話,可以簡化參數(shù)帶來的繁瑣,可能比較貼近學(xué)生的思維,學(xué)生更容易上手解答.當(dāng)然作為填空題,這樣做也不會影響最后正確答案的得出.

    簡答 ?如圖3,由題中 AB BC = 2 3 ,我們不妨設(shè)AB=2,BC=3,則AB=CD=2,AD=BC=3,由點B′為CD的中點,可得DB′=B′C=1.在 Rt △B′CN中,由勾股定理:B′C2+CN2=B′N2,易得BN=B′N= 5 3 ,CN= 4 3 .由∠A′B′N=∠C=∠D=90 ° ,易證△EDB′∽△B′CN,于是便可得DE= 3 4 ,B′E= 5 4 ,又A′B′=AB=2,易得A′E= 3 4 ,然后發(fā)現(xiàn)△A′EM≌△DEB′( ASA ),可得A′M=B′D=1,即AM=A′M=1,則 v 1 v 2 = AM BN = 1 ?5 3 ?= 3 5 .

    2.K模型法

    分析 ?本題通過翻折發(fā)現(xiàn)圖中存在“K”字形這個基本圖形,然后直接利用“K”字模型作情境支架,將三角形問題“模塊”化,利于拓展解題思路,提高解題效率.當(dāng)無法直接發(fā)現(xiàn)“K”字形圖,欲利用這種基本模型來解決問題,可以通過添加輔助線的方法,構(gòu)造出我們熟悉的K模型.當(dāng)然,“K”字形圖一般為“一線三垂直”形式,從中可以得出兩三角形全等或相似.有時我們可將垂直條件弱化,同樣可以構(gòu)造出“K” 字形圖.

    簡答 ?如圖4,我們可以在原題解答的基礎(chǔ)上,連接MB和MB′,利用翻折可知MB=MB′,易證△MDB′≌△BAM,于是AM=DB′=a,則 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a ?5 3 a = 3 5 .

    3.十字架模型法

    分析 ?“十字架模型”是數(shù)學(xué)平面幾何中比較重要的一個模型.常見的類型有正方形中的十字架和矩形中的十字架.本題除了由折疊的性質(zhì)得到圖形全等外,還能由軸對稱分析得出:對稱軸垂直平分對應(yīng)點之間的連線段.為此,我們構(gòu)建這個“十字架模型”作情境支架,引導(dǎo)學(xué)生透過表象,抓住本質(zhì)看問題,充分挖掘解題模型隱含著的關(guān)鍵信息和特征條件,學(xué)生就能進一步實現(xiàn)知識的遷移應(yīng)用,拓寬思維,加深對模型的全面理解,提高解題能力[1].

    簡答 ?如圖5,連接BB′,過點M作MG⊥BC于G.BB′與MN構(gòu)成“十字架”,由翻折可知BB′⊥MN,易證△MNG∽△BB′C,得 MG BC = NG B′C ,由MG=AB=2a,B′C=a,BC=3a,得出NG= 2 3 a,再由NB= 5 3 a,可得出AM=BG=a,則 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a ?5 3 a = 3 5 .

    4.角平分線+平行線等腰三角形

    分析 ?角平分線與等腰三角形有著緊密的聯(lián)系.比如,在許多幾何問題中,遇到等腰三角形就會想到頂角的平分線,遇到角平分線又會想到構(gòu)造等腰三角形.當(dāng)一個圖形里出現(xiàn)角平分線和平行線時,我們發(fā)現(xiàn)圖中會出現(xiàn)兩角相等或兩線段相等,即“角平分線+平行線等腰三角形”.本題我們可構(gòu)建這個模型作情境支架,透過表面現(xiàn)象,挖掘本質(zhì)屬性,便會從中歸納出某些規(guī)律性的東西,并可以用這個共性結(jié)論去指導(dǎo)解決類似的問題[2].

    簡答 ?如圖6,其實這道題的難點在于如何求AM的長度,我們可以延長NB′和AD,兩延長線交于點H.由翻折知∠MNB=∠MNB′,由AD∥BC可得∠MNB=∠DMN,則∠MNB′=∠DMN,于是有HM=HN.易證△HDB′≌△NCB′,則有HB′=NB′= 5 3 a,HD=NC= 4 3 a,于是有HM=HN= 10 3 a,DM=HM-HD= 10 3 a- 4 3 a=2a,所以AM=AD-DM=a,則 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a ?5 3 a = 3 5 .

    5.?建立坐標(biāo)系法

    分析 ?一般來說,幾何問題較多利用幾何圖形的性質(zhì)與判定來解,但如果我們跳出這個框框,構(gòu)建適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系作情境支架,從中可以說明或確定某些點的位置、運動的快慢、方向等.因此,我們可以在此坐標(biāo)系中,按規(guī)定方法選取有次序的一組數(shù)據(jù),即“坐標(biāo)”,利用這些點的坐標(biāo)就能計算線段的長度或求解出直線的函數(shù)解析 式.筆者以為這種想法會讓同學(xué)們對坐標(biāo)法的作用有更進一步認識,這是坐標(biāo)系里由兩點坐標(biāo)得到線段長或直線解析式的具體途徑,其實也是一個由“數(shù)”到“形”的過程,是我們破解壓軸題應(yīng)該具備的技能.

    簡答 ?此題雖為幾何問題,但建立坐標(biāo)系來解也不失為一種好方法.我們可以以A為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立如圖7的直角坐標(biāo)系,連接BB′交MN于K.由題中 AB BC = 2 3 ,可設(shè)AB=2a,BC=3a,則B(2a,0),C(2a,3a),D(0,3a),B′(a,3a),由翻折知BB′⊥MN且K為BB′的中點,于是點K( 3 2 a, 3 2 a),可求得k BB′=-3,由BB′⊥MN知k MN= 1 3 ,可得直線MN的解析式為y MN= 1 3 (x- 3 2 a)+ 3 2 a,易求M(0,a),N(2a, 5 3 a),則AM=a,BN= 5 3 a,所以 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a ?5 3 a = 3 5 . ?綜上所述, 小題雖小,但作為壓軸題, 得滿分似乎比大題更難,因為鑒于試題容量、試題表述等諸多因素, 壓軸小題的描述相對更為精煉, 而壓軸大題的描述則比較詳細. 正因為這樣, 壓軸小題顯得更難, 解答時花費時間多,

    而且一不留意就要做錯或一時找不到有效的方法.為此, 很多同學(xué)看到壓軸小題一般就是一猜二蒙三放棄.但筆者認為,同學(xué)們要敢于嘗試壓軸小題,所有難題背后涵蓋的就是解題技巧和方法.只要同學(xué)們能熟練掌握數(shù)學(xué)模型和通性通法, 構(gòu)建合適的情境支架,深挖問題內(nèi)在的本質(zhì),善于靈活機動,精于相互驗證,壓軸小題自然會迎刃而解.

    參考文獻

    [1] 施長燕.巧用K字型,品基本圖形在相似中的妙用[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)(教師通訊),2016(18).

    [2] 梁玨,朱宸材.難舍難分的角平分線與等腰三角形[J].中學(xué)生數(shù)理化(八年級數(shù)學(xué)),2015(09).

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