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    圖“說(shuō)”疑難雜癥 圖“感”建構(gòu)模型

    2022-05-30 10:48:04俞潔文唐尾玲
    關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合

    俞潔文 唐尾玲

    [摘 要]“圖感”具體表現(xiàn)為小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境中“以圖表意、以圖表數(shù)、以數(shù)釋圖”的感知與理解能力。通過(guò)圖“說(shuō)”抽屜原理、圖“說(shuō)”周期規(guī)律、圖“說(shuō)”奇數(shù)偶數(shù)、圖“說(shuō)”“蝴蝶模型”,還原學(xué)生視角,培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維,提升學(xué)生對(duì)數(shù)形關(guān)系的敏感度。

    [關(guān)鍵詞]圖感;數(shù)形結(jié)合;建構(gòu)模型

    [中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068(2022)20-0023-03

    本文關(guān)于“圖感”內(nèi)涵的認(rèn)定基于三個(gè)方面的思考:一是學(xué)生關(guān)于數(shù)與圖(形)之間關(guān)系的直覺;二是學(xué)生對(duì)數(shù)和形關(guān)系的敏感度及辨別能力;三是學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合中產(chǎn)生的一種對(duì)數(shù)學(xué)的理解。下面將結(jié)合人教版教材的教學(xué)實(shí)例,闡述數(shù)形結(jié)合在攻克學(xué)習(xí)疑難點(diǎn)和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型中發(fā)揮的作用。

    一、 圖“說(shuō)”抽屜原理——可視化思維還原學(xué)生視角

    數(shù)學(xué)廣角作為小學(xué)數(shù)學(xué)的亮點(diǎn)內(nèi)容,雖然拓寬了學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的視野,但其教學(xué)內(nèi)容普遍存在容量大、難度大的問(wèn)題,抽屜原理更是難中之難。蔣承飛老師在一次課堂教學(xué)觀摩研討活動(dòng)中執(zhí)教了“抽屜原理”一課,全課緊扣“總有”“至少”“蘋果數(shù)與抽屜數(shù)的關(guān)系”三大問(wèn)題展開探究活動(dòng),將數(shù)形結(jié)合與抽屜原理融合后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究,進(jìn)而建立模型,有效突破了難點(diǎn)。

    【教學(xué)片段】關(guān)于“總有”的認(rèn)識(shí)

    伴隨3D打印彈珠游戲的介紹,課堂在學(xué)生喜愛的游戲活動(dòng)中拉開帷幕。3D打印彈珠游戲的規(guī)則:有3個(gè)抽屜,給你3顆彈珠,只要有2顆彈珠進(jìn)入同一個(gè)抽屜,就能中獎(jiǎng)。

    問(wèn)題1:根據(jù)這個(gè)規(guī)則,你們最不希望出現(xiàn)什么情況?

    問(wèn)題2:有哪些情況能中獎(jiǎng)?

    問(wèn)題3:為什么最不希望出現(xiàn)(1,1,1)?

    蔣老師打破4顆彈珠、3個(gè)抽屜的常規(guī)教學(xué)方法,課始呈現(xiàn)3顆彈珠進(jìn)入3個(gè)抽屜的情況,引導(dǎo)學(xué)生設(shè)想沒(méi)有2顆彈珠在同一個(gè)抽屜里(即最不利的情況),唯有(1,1,1)一種情況,從而完成記錄方法的介紹。這樣,面對(duì)4顆彈珠、3個(gè)抽屜的情況,學(xué)生就能輕松理解“此時(shí)第4顆彈珠無(wú)論怎么放,總有1個(gè)抽屜里有2顆彈珠”,感受到最不利的情況中蘊(yùn)含平均分的知識(shí)。

    【教學(xué)片段】關(guān)于“至少”的認(rèn)識(shí)

    教材是直接出示抽屜原理的結(jié)論,并呈現(xiàn)兩種思考方法:用枚舉法證明和用假設(shè)驗(yàn)證推理。抽屜原理實(shí)際上是解決某種特定結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)或生活問(wèn)題的模型,是一種數(shù)學(xué)思想方法。唯有讓學(xué)生經(jīng)歷抽屜原理的探究過(guò)程,才能更好地發(fā)展學(xué)生的抽象能力和推理能力。這樣,學(xué)生不僅能理解抽屜原理,更能感受歸納演繹的邏輯推理思維。

    出示:4顆彈珠進(jìn)入3個(gè)抽屜后分別獲得幸運(yùn)星的數(shù)量如圖1。

    問(wèn):玩一次游戲至少能獲得幾顆幸運(yùn)星?“至少”是什么意思?

    4顆彈珠放進(jìn)3個(gè)抽屜只有圖1的幾種情況:當(dāng)其中1個(gè)抽屜最多有2顆彈珠時(shí),就獲得2顆幸運(yùn)星;當(dāng)其中1個(gè)抽屜最多有3顆彈珠時(shí),就獲得3顆幸運(yùn)星;當(dāng)其中1個(gè)抽屜最多有4顆彈珠時(shí),就獲得4顆幸運(yùn)星。至此,學(xué)生很容易得出“至少獲得2顆幸運(yùn)星”這一結(jié)論。而借助圖形就能化解“在至多數(shù)中找至少數(shù)”這一難點(diǎn),并總結(jié)出一個(gè)肯定的結(jié)論:把4顆彈珠放進(jìn)3個(gè)抽屜里,不管怎么放,總有1個(gè)抽屜里至少有2顆彈珠。

    抽屜原理教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)是建立模型,蔣老師將抽屜原理的兩個(gè)核心關(guān)鍵詞“總有”和“至少”分步展示,“總有”包含了所有的抽屜,“至少”包含了所有的情況,借助圖形將看不見的思維可視化,就能還原學(xué)生視角,突破教學(xué)難點(diǎn)。

    二、 圖“說(shuō)”周期規(guī)律——根據(jù)間隔天數(shù)推算星期幾的新視角

    學(xué)習(xí)“年、月、日”知識(shí)后,學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到類似 “2012年2月1日是星期三,小明3月2日過(guò)生日,這一天是星期幾?”的問(wèn)題。這類問(wèn)題有多種推算方法,如:運(yùn)用月歷特點(diǎn)找到與2月1日一樣是星期三的日期有2月8日、15日、22日、29日,往后推,3月1日是星期四,3月2日是星期五。這種方法顯然不適合天數(shù)過(guò)多的問(wèn)題。如:利用計(jì)算推理,2012年2月有29天,2月1日到3月2日共計(jì)31天,頭尾算1次經(jīng)過(guò)30天,(29+2-1)÷7=4(星期)……2(天),2月1日是星期三,余2則往后推2天,是星期五。這種方法會(huì)讓學(xué)生搞不清楚日期算頭算尾的原理,也許今天記住步驟了,明天可能又忘了。反觀一些循環(huán)現(xiàn)象的周期問(wèn)題,學(xué)生并不覺得難,為什么關(guān)于日期的循環(huán)問(wèn)題就屢屢出錯(cuò)?這時(shí)教師就可借助圖表幫助學(xué)生直觀理解推理的含義。

    一變:從橫排到豎列的演變。常規(guī)循環(huán)問(wèn)題通常是橫向排列的,從橫排到豎列循環(huán)出現(xiàn)的規(guī)律相同,表述形式有變化,都是以“星期三、星期四、星期五、星期六、星期日、星期一、星期二”為一個(gè)周期不斷重復(fù)出現(xiàn)(如圖2)。

    二變:增加日期與星期幾相對(duì)應(yīng)(如圖3)。對(duì)于問(wèn)題“如果1日是星期三,15日是星期幾?”,就可利用“日期按自然數(shù)遞進(jìn)排列但不具備循環(huán)規(guī)律,星期具備7天一循環(huán)變化”的規(guī)律,當(dāng)日期依附于7天一循環(huán)便同步產(chǎn)生了規(guī)律 。根據(jù)這個(gè)規(guī)律來(lái)推算, 15÷7=2(星期)……1(天),15日是第3個(gè)星期的第1天,即星期三。

    三變:呈現(xiàn)生活中的月歷(如圖4)。對(duì)于問(wèn)題“2012年2月1日是星期三,小明3月2日過(guò)生日,這一天是星期幾?”,觀察月歷,每個(gè)循環(huán)從星期三開始,按照“星期三、星期四、星期五、星期六、星期日、星期一、星期二”的規(guī)律循環(huán),2012年2月有29天,2月1日到3月2日共計(jì)31天,把31天放入7天一組的循環(huán)中,列式(29+2)÷7=4(星期)……3(天),所以剩余3天是第五個(gè)循環(huán)的第三天,即星期五。

    上述推理過(guò)程,均先借助圖表尋找“星期幾—星期幾”為一個(gè)7天的循環(huán),再找出從頭至尾的日期一共多少天,放入循環(huán)中推算經(jīng)過(guò)n個(gè)循環(huán)余下幾天,余下天數(shù)在第n+1個(gè)循環(huán)中重新排列,余下幾天就排在第幾。只要學(xué)生心中有一張圖表,解決此類問(wèn)題就不那么困難了。

    三、圖“說(shuō)”奇數(shù)偶數(shù)——由圖形表征奇偶數(shù)特征培養(yǎng)直覺思維

    對(duì)于五年級(jí)下冊(cè)第二單元的“和的奇偶性有什么規(guī)律?如何證明?”問(wèn)題,教材要求運(yùn)用舉例、借助幾何直觀的圖示、說(shuō)理等方法解決,從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)兩數(shù)之和的奇偶性的規(guī)律。學(xué)生通常會(huì)選用舉例的方法,但是舉例不能窮盡,而用字母說(shuō)理涉及高難度的字母化簡(jiǎn),因此借助直觀的圖示探究規(guī)律是比較合適的方法。

    【教學(xué)片段】圖形表征奇偶數(shù)

    “秒殺比眼力”第一組:1個(gè)小正方形表示1,快速判斷下面組合圖形中(如圖5)的小正方形個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。

    觀察發(fā)現(xiàn),偶數(shù)個(gè)小正方形拼成的形狀是長(zhǎng)方形或正方形,奇數(shù)個(gè)小正方形可以排成一行,排成兩行總會(huì)多出1個(gè)小正方形。

    “秒殺比眼力”第二組:1個(gè)小正方形表示1,快速判斷組合圖形中(如圖6)的小正方形個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。

    在這兩組“秒殺比眼力”題目中,學(xué)生體驗(yàn)到用什么樣的圖形可以表示奇偶數(shù),以及如何用一個(gè)圖形表示任意一個(gè)偶數(shù)或奇數(shù)。

    用圖形展現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的特征,充分將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維,學(xué)生獲得了簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單的體驗(yàn)。

    四、圖“說(shuō)”“蝴蝶模型”——化繁為簡(jiǎn)中提升數(shù)形關(guān)系的敏感度

    五年級(jí)的多邊形面積的計(jì)算,涉及組合圖形面積和圖形拼組后的陰影面積計(jì)算。如圖7,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是8厘米,正方形GCEF的邊長(zhǎng)是6厘米,求圖中陰影部分的面積。

    學(xué)生的解答:

    圖8-1的解答思路清晰:用大小兩個(gè)正方形面積之和減去三個(gè)三角形的面積,得出正確的結(jié)論。圖8-2的解答非常巧妙:連接AC得到梯形ACEG,以EG為底,陰影面積恰好等于三角形CEG的面積,也就是小正方形面積的一半。兩種不同的解法反映不同的思維層次,如何讓更多的學(xué)生掌握如圖8-2的解答方法?教師可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行以下訓(xùn)練。

    在圖9的梯形中,面積相等的三角形有哪幾組?學(xué)生喜歡稱三角形AOD與三角形BOC為一對(duì)蝴蝶的翅膀,即“蝴蝶模型”。通過(guò)圖形變式讓學(xué)生體會(huì)等底等高的三角形面積相等,并推斷出梯形中的“蝴蝶模型”左右兩邊的面積相等。將數(shù)與形結(jié)合建構(gòu)模型,疑難問(wèn)題變得簡(jiǎn)單,學(xué)生獲得了成功的體驗(yàn)。

    綜上,教師要在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的“圖感”——在數(shù)學(xué)情境中“以圖表意、以圖表數(shù)、以數(shù)釋圖”的感知與理解能力,通過(guò)建立“圖感”助力學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)與形的意義,理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系,建構(gòu)數(shù)學(xué)模型,讓學(xué)習(xí)深度發(fā)生。

    (責(zé)編 金 鈴)

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