聚焦函數(shù)零點(diǎn)分布的常見題型及求解策略

摘 要：函數(shù)零點(diǎn)是歷年高考命題的重點(diǎn)，也是函數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，此內(nèi)容可與多種函數(shù)及函數(shù)的圖象、性質(zhì)相結(jié)合，從近幾年高考來看，零點(diǎn)問題與函數(shù)圖象交匯在客觀題、與導(dǎo)數(shù)結(jié)合在解答題中出現(xiàn)，是考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想的重要載體.

關(guān)鍵詞：常見函數(shù);零點(diǎn)問題;數(shù)形結(jié)合;求解策略

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）22-0008-05

1 回歸定義，溯本求根

例1 已知定義在R上的函數(shù)f（x）=1|x-e|，x≠e，1，x=e， 若關(guān)于x的函數(shù)y=f 2（x）-mf（x）+m-1

例2 （2019年全國Ⅱ卷文）已知函數(shù)f（x）=（x-1）lnx-x-1，證明：

（1）f（x）存在唯一的極值點(diǎn);

（2）f（x）=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).

證明（1）函數(shù)f （x）的定義域?yàn)椋?，+∞），導(dǎo)函數(shù)f ′（x）=lnx-1x，此時(shí)f ″（x）=1x+1x2>0，所以f ′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增.

又f （x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，且1m∈（0，x0），所以f（x）=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根m，1m，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).

評(píng)析求函數(shù)零點(diǎn)的常用方法：一是通過解對(duì)應(yīng)方程，求實(shí)數(shù)解;二是通過作函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求交點(diǎn)橫坐標(biāo)，但需要注意函數(shù)的定義域，分段函數(shù)的零點(diǎn)檢驗(yàn).

2 巧用對(duì)稱，不攻自破

例3 （成都樹德中學(xué)期末考試）已知x1是函數(shù)f（x）=xlog2x-2020的一個(gè)零點(diǎn)，x2是函數(shù)g（x）=x·2x-2020的一個(gè)零點(diǎn)，則x1x2的值為.

解析 令f（x）=xlog2x-2020=0，得

評(píng)析 解決函數(shù)零點(diǎn)不可求的客觀題時(shí)，要有二個(gè)意識(shí)：一是會(huì)轉(zhuǎn)化，函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、兩個(gè)圖象的交點(diǎn)三者之間等價(jià)轉(zhuǎn)化;二是要有整體觀，結(jié)合圖象的表征深化到圖象的對(duì)稱性：中心對(duì)稱、軸對(duì)稱，奇函數(shù)或者偶函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)于數(shù)軸原點(diǎn)對(duì)稱，且所有零點(diǎn)之和等于0.

3 合理設(shè)參，統(tǒng)一變量

評(píng)析 將方程問題轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合找到參數(shù)的切入點(diǎn)，聯(lián)立方程組，將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，方便在化簡、求最值時(shí)使用均值不等式、配方、構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性、比較大小等，但要注意變形過程的等價(jià)性.

4 巧用模型，化動(dòng)為靜

例6 已知函數(shù)f（x）=|log3x|，03，若函數(shù)y=f（x）-m有四個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3，x4，滿足x1

評(píng)析 依據(jù)題目條件準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，使復(fù)雜的代數(shù)問題變得形象直觀，結(jié)合圖象建立等量關(guān)系、不等關(guān)系，求得零點(diǎn)的分布.

5 數(shù)形結(jié)合，相得益彰

例7（2020年全國Ⅲ卷）設(shè)函數(shù)f（x）=x3+bx+c，曲線y=f （x）在點(diǎn)（12，f（12））處的切線與y軸垂直.

①若f （x）有一個(gè)零點(diǎn)，則方程-c=x3-34x有一個(gè)根x0，由圖知c<-14或c>14，此時(shí)x0<-1或x0>1，絕對(duì)值大于1，不成立.

②若f （x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程-c=x3-34x有兩個(gè)根x1，x2，由圖知c=-14或14，此時(shí)兩根分別為x1=-1，x2=1，絕對(duì)值等于1，成立.

③若f （x）有三個(gè)零點(diǎn)，則方程-c=x3-34x有三個(gè)根x4，x5，x6，由圖知-14

綜上所述，當(dāng)f （x）有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)時(shí)，f （x）所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

評(píng)析 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、與零點(diǎn)有關(guān)的不等式證明，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或者方程的根，是高考熱點(diǎn)問題，以函數(shù)的單調(diào)性為切入點(diǎn)，畫出函數(shù)大致圖象，以便確定函數(shù)零點(diǎn)的分布、最值情況，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的靈活運(yùn)用.

6 以退為進(jìn)，海闊天空

例8 （2020年浙江卷）已知1

評(píng)析 本題給人以親而不近之感，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并將不等式的證明與零點(diǎn)的存在性定理完美結(jié)合，較好地考查了邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

7 反面入手，柳暗花明

例9 （2016年全國Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).

函數(shù)零點(diǎn)的分布是難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)，考法靈活多變，解題時(shí)應(yīng)該避重就輕，避實(shí)就虛，不失為一種明智的策略，可以考慮以上7種策略.考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想，也是解題策略的優(yōu)化與變通，更是“臨淵羨魚，不如退而結(jié)網(wǎng)”的人生境界.

參考文獻(xiàn)：

[1] 謝新華.運(yùn)用數(shù)學(xué)思想 探究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題[J].數(shù)理化解題研究，2021（01）：29-30.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：李波（1991-），男，四川省儀隴人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.