以“問題鏈”為主線，培養(yǎng)初中數(shù)學(xué)高階思維

林志強(qiáng)

［摘 ?要］ 高階思維本質(zhì)指的是教師帶領(lǐng)著學(xué)生發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動和多元認(rèn)知能力. 因此，基于對高階思維的認(rèn)識和了解，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，文章認(rèn)為，初中數(shù)學(xué)高階思維能力主要包括認(rèn)知體系完善能力、應(yīng)用能力、決策能力、辨析能力和創(chuàng)新能力. 在“直線和圓的位置關(guān)系”教學(xué)中，體現(xiàn)了以“問題鏈”為主線的教學(xué)方式在實(shí)踐中對高階思維能力的培養(yǎng)是可行且有效的. 這些高階思維能力的形成和發(fā)展，不僅是長期的教學(xué)目標(biāo)，更是師生實(shí)現(xiàn)自我突破的要求和挑戰(zhàn).

［關(guān)鍵詞］ 高階思維；初中數(shù)學(xué)；問題鏈；直線和圓的位置關(guān)系

隨著社會的發(fā)展，應(yīng)試教育教學(xué)體系下培養(yǎng)出來的學(xué)生已難以滿足社會發(fā)展的剛性需求. 在眾多領(lǐng)域上對人才的需求呈現(xiàn)出了多元化、靈活性的特征，這對學(xué)生的心智活動和多元認(rèn)知能力的發(fā)展是一種極大的考驗(yàn). 基于這一客觀存在的現(xiàn)象，在教育教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的高階思維成了教師必須完成的工作. 人的認(rèn)知是在一步步地探索中不斷發(fā)展的，對于初中學(xué)生而言，如果小學(xué)是他們認(rèn)知的起點(diǎn)，那么初中則是他們基于認(rèn)知鍛煉多元認(rèn)知能力的良好時段，特別是針對具有發(fā)散性、邏輯性、抽象性且有運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、空間想象等特征體現(xiàn)的數(shù)學(xué)學(xué)科，因此對學(xué)生高階思維的培養(yǎng)可以說是每位初中數(shù)學(xué)教師的重大挑戰(zhàn). 這樣的挑戰(zhàn)主要包含著以下幾個方面：一是對高階思維的認(rèn)識和了解；二是針對初中數(shù)學(xué)高階思維能力培養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計(jì)；三是針對初中數(shù)學(xué)高階思維能力培養(yǎng)的實(shí)踐方式. 針對這三個方面，筆者以“問題鏈”下的“直線和圓的位置關(guān)系”教學(xué)為例進(jìn)行了相應(yīng)的教學(xué)探討.

對高階思維的認(rèn)識和了解

1. 高階思維的界定與基本技能

從目前的多數(shù)研究文獻(xiàn)來看，對于高階思維，許多學(xué)者對其有不同的界定和理解，但是從這些文獻(xiàn)中也可以看出總體框架上對高階思維的認(rèn)同，而這樣的總體框架主要來自教育家本杰明·布魯姆（Benjamin Bloom，1913—1999）的著作《教育目標(biāo)分類學(xué)》.在《教育目標(biāo)分類學(xué)》的認(rèn)知領(lǐng)域中，布魯姆提出了六個層次的“教育目標(biāo)”（如圖1所示），體現(xiàn)了“學(xué)習(xí)有深淺層次之分”的觀點(diǎn)，也引出了研究者對思維之低階和高階的界定. 可以說，這是目前多數(shù)教育者較為認(rèn)同的界定標(biāo)準(zhǔn). 但筆者認(rèn)為，低階思維同高階思維的界定之線并非它們關(guān)系的斷絕之線，而應(yīng)該是它們相互關(guān)聯(lián)之橋. 從教育目標(biāo)各層次的基本技能來看，低階思維應(yīng)該是高階思維的奠基，“學(xué)習(xí)深淺層次之分”并非學(xué)生思維的輕重之分、純粹的高低之分，而應(yīng)該是學(xué)生思維形成和發(fā)展的時段和任務(wù)之分. 現(xiàn)實(shí)的高階思維很可能成為下一學(xué)習(xí)時段和學(xué)習(xí)任務(wù)的低階思維，它們的角色會隨著學(xué)習(xí)時段和學(xué)習(xí)任務(wù)的不同而相互轉(zhuǎn)換，在整個學(xué)習(xí)過程中相互成為思維螺旋上升的奠基. 因此筆者認(rèn)為，在培養(yǎng)學(xué)生高階思維能力的同時，不能忽略作為奠基的“低階思維”，只有在扎實(shí)的基礎(chǔ)之上才有可能形成和發(fā)展較高認(rèn)知水平層次上的心智活動和多元認(rèn)知能力.

2. 高階思維能力的構(gòu)成

對高階思維能力的理解，不少學(xué)者都有自己的看法，比如布魯姆認(rèn)為，高階思維能力主要包括創(chuàng)新能力、問題求解能力、決策力和批判性思維能力；杜威（John Dewey，1859—1952）認(rèn)為，高階思維是由“難題和疑問”或“一些困惑、混淆或懷疑”引發(fā)的，高階思維的發(fā)生是“反思—問題生產(chǎn)—探究、批判—解決問題的過程”；R·J·斯騰伯格（Robert.J. Sternberg，1949—）提出了“智力三元論”，將智力（思維）視為三種成分組成——組合性智力、經(jīng)驗(yàn)性智力、實(shí)用性智力（具體見表1），對三種智力（思維）的測驗(yàn)數(shù)據(jù)體現(xiàn)著智力（思維）的高低差異；羅伯特·恩尼斯（Robert H.Ennis）教授認(rèn)為，批判性思維（高階思維）是“針對相信什么或做什么決定而進(jìn)行的合理的反省思維”，而且對批判性思維者的體現(xiàn)做了一個精簡的標(biāo)準(zhǔn)［1］. 根據(jù)這些學(xué)者的研究和分析，結(jié)合初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維情況，筆者認(rèn)為，高階思維能力主要由五大能力構(gòu)成，如表2所示. 由上述可知，這五大高階思維能力在不同時段、不同任務(wù)、基本技能、體現(xiàn)上是可以重復(fù)的，它們的形成和發(fā)展代表著在一個學(xué)習(xí)時段或一個學(xué)習(xí)任務(wù)中完整的、系統(tǒng)的高階思維能力培養(yǎng)的實(shí)現(xiàn). 因此，對學(xué)生高階思維能力的培養(yǎng)過程可以簡單概括為：以前一學(xué)習(xí)時段或?qū)W習(xí)任務(wù)為基礎(chǔ)和起點(diǎn)，通過回顧已有知識和經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)過程中形成和發(fā)展理解能力、應(yīng)用能力，完善認(rèn)知體系，最終得以決策、辨析和創(chuàng)新.

當(dāng)然，要完善復(fù)雜的認(rèn)知體系，并構(gòu)成上述的五大高階思維能力不是一蹴而就的，需要一個有引導(dǎo)性、層次性、系統(tǒng)化的教學(xué)方式，而“問題鏈”正是這樣的教學(xué)方式. “問題鏈”是架在低階思維和高階思維之間、認(rèn)知體系完善之前和之后的橋梁，能夠一步步地引導(dǎo)學(xué)生去探究問題，發(fā)展學(xué)生看待問題的批判性思維和決策領(lǐng)導(dǎo)能力［2］；“問題鏈”能夠體現(xiàn)學(xué)生獨(dú)立思考的過程，把零散的知識進(jìn)行系統(tǒng)化、理論化的梳理和整合，有助于學(xué)生形成和發(fā)展自主學(xué)習(xí)、自主思考和自主探究的能力.

文章將結(jié)合龍海區(qū)數(shù)學(xué)名師工作室送教的“直線和圓的位置關(guān)系”的教學(xué)設(shè)計(jì)，談?wù)劇皢栴}鏈”教學(xué)方式對初中數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)的實(shí)踐體現(xiàn).

“問題鏈”教學(xué)方式對初中數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)的實(shí)踐體現(xiàn)

1. 提出牽引式問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶知識、思考主題

牽引式問題也可以稱為引導(dǎo)式問題，是課程中引導(dǎo)學(xué)生快速回憶知識和經(jīng)驗(yàn)，將學(xué)生引入課程主題的教學(xué)方式. 牽引式問題有主次之分，對問題的細(xì)致劃分需要教師進(jìn)行把控，能否通過問題讓學(xué)生快速明確需要思考的目標(biāo)以及需要應(yīng)用的知識和經(jīng)驗(yàn)，是對問題進(jìn)行創(chuàng)設(shè)和篩選的標(biāo)準(zhǔn). 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對直線和圓的位置關(guān)系的探索是在學(xué)習(xí)了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，學(xué)生擁有一點(diǎn)的探索經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)知識，所以在“直線和圓的位置關(guān)系”教學(xué)中，可以設(shè)置以下問題：

問題1：說說點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，有怎樣的特征？

問題2：觀察三幅太陽升起的照片，如果把地平線看成一條直線，把太陽看成一個圓，它們有怎樣的位置關(guān)系？

這樣兩個牽引式問題把點(diǎn)和圓的位置關(guān)系進(jìn)行了遷移，讓學(xué)生對直線和圓的位置關(guān)系有了一個初步的判斷. 兩個問題的契合讓學(xué)生在回憶知識和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上開始聯(lián)想和判斷直線和圓的位置關(guān)系，甚至是直線和其他曲線的位置關(guān)系. 通過牽引式問題的設(shè)置，學(xué)生不僅打開了自己的發(fā)散性思維，對“位置關(guān)系”的猜想、梳理和統(tǒng)一也是對邏輯思維的鍛煉，是學(xué)生認(rèn)知體系完善的必經(jīng)之路.

2. 多個角度發(fā)掘問題，拓寬學(xué)生的思維廣度

在探究學(xué)習(xí)的過程中，可以圍繞課程主題從多個角度發(fā)掘問題，不僅能拓寬學(xué)生的思維廣度，還能避免學(xué)生思維定式的發(fā)生. 從問題的多個角度出發(fā)，可以引導(dǎo)學(xué)生利用多種方法思考問題和解決問題，多方面觀察問題和分析問題，以及對多個結(jié)論進(jìn)行猜想和驗(yàn)證，夯實(shí)學(xué)生對高階思維能力中基本技能的學(xué)習(xí)和掌握.

問題3：我們怎樣判斷和驗(yàn)證直線和圓的位置關(guān)系呢？

（1）從交點(diǎn)的個數(shù)出發(fā)：直線和圓沒有交點(diǎn)、有一個交點(diǎn)和有兩個交點(diǎn)時，直線和圓的位置關(guān)系分別是什么？

（2）從圓心和直線的距離出發(fā)：直線和圓相離、相切、相交時，圓心和直線的距離分別是多少？

（3）從方程出發(fā)：怎樣用直線方程和圓方程判斷它們的位置關(guān)系？

利用從多個角度發(fā)掘的問題，讓學(xué)生自主選擇適合自己的角度和方式去開展探究，揭開蒙在問題本質(zhì)身上的面紗，不僅可以幫助學(xué)生更加深刻地理解直線和圓的位置關(guān)系的本質(zhì)，而且還能鍛煉學(xué)生的判斷能力和決策能力；對于認(rèn)知層次水平更高的學(xué)生，在探究小組的帶領(lǐng)中、協(xié)調(diào)中，其組織能力和辨析能力也將更加強(qiáng)化. 其實(shí)，除多角度發(fā)掘問題外，教師還可以向?qū)W生提供多種實(shí)驗(yàn)工具和實(shí)驗(yàn)方案供學(xué)生自主選擇，比如通過硬幣、圓形卡紙、直尺、圓規(guī)、直線、鉛筆、圖釘、計(jì)算器等工具畫圓或畫直線，在平移直線或圓的過程中利用得到的數(shù)據(jù)判斷直線和圓的位置關(guān)系. 整個過程是學(xué)生主動探究的過程，他們能解釋自己通過選擇所創(chuàng)造出的條件，以及由條件得出的結(jié)論，避免了教師直接講解結(jié)論而引發(fā)的枯燥情緒和畏難情緒. 不僅如此，借助實(shí)驗(yàn)工具和實(shí)驗(yàn)方案還可以提高學(xué)生的動手能力、決策能力和創(chuàng)造能力.

3. 由表及里，多層次問題概括本質(zhì)屬性

通過對一個個問題的解析，學(xué)生經(jīng)歷了一個由淺入深、由表及里的理解過程. 在這個過程中，通過討論和反思，學(xué)生逐漸意識到，僅由圖形來判斷和證明直線和圓的位置關(guān)系是不精準(zhǔn)的，需要利用具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行說明，前述問題中對具體數(shù)據(jù)的積累和分享便為學(xué)生繼續(xù)探究直線和圓的位置關(guān)系的計(jì)算公式打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

問題4：（1）能否根據(jù)基本概念來判斷直線和圓的位置關(guān)系？（2）已知直線和圓心的距離，以及圓的半徑，你能判斷它們的位置關(guān)系嗎？（3）是否還有另外的方法可以判斷直線與圓的位置關(guān)系？（4）用直線方程和圓方程判斷它們的位置關(guān)系的步驟是什么？（5）你能用字母或數(shù)據(jù)表明直線和圓的位置關(guān)系嗎？

在“問題鏈”的設(shè)置中，一定要由淺入深、由表及里，設(shè)置不同層次、不同水平的問題，越往深處，越有難度. 這些問題是基礎(chǔ)問題向深度問題的過渡，能夠檢測學(xué)生掌握知識的程度. 當(dāng)然，雖然問題設(shè)置的層次性不同，不同學(xué)生的選擇也是不同的，但教師一定要激勵學(xué)生一步一步地對更深層次的問題進(jìn)行理解和解析，鍛煉和體現(xiàn)學(xué)生更多的合作能力、表達(dá)能力和計(jì)算能力.

4. 質(zhì)疑辨析，培養(yǎng)批判性思維

《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》中包含了“批判質(zhì)疑”素養(yǎng)，批判性思維被納入了學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)中. 因此在教學(xué)過程中，一定不能忽略具有批判性的問題. “批判質(zhì)疑”既能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并從不同角度思考問題，探索解決方案；也能促使學(xué)生調(diào)動經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)他們獨(dú)立思考，提高分析質(zhì)疑的思維；還能激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生新的學(xué)習(xí)動機(jī)，促使他們解決問題，改進(jìn)現(xiàn)狀.

問題5：直線和圓真的只存在三種位置關(guān)系嗎？有沒有其他位置關(guān)系存在的可能？

通過質(zhì)疑，大大激發(fā)學(xué)生思考問題的角度、廣度和深度，讓學(xué)生面對結(jié)論敢于質(zhì)疑、敢于分析，在得到最終的結(jié)果（真理）前，學(xué)生可以暢所欲言，自由表達(dá)自己的想法，由教師和同學(xué)進(jìn)行相關(guān)解答，師生一起探討直線和圓的位置關(guān)系. 通過辨析，教導(dǎo)學(xué)生要實(shí)事求是、探索真理，看待問題不能盲從和輕信，要培養(yǎng)自己的批判性思維.

5. 發(fā)展變化性問題，增強(qiáng)學(xué)生思考問題的靈活性

問題不會是一成不變的，在新的條件和情況下，問題會根據(jù)不同的設(shè)定進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 所以設(shè)置問題時要考慮問題的靈活變化，讓學(xué)生養(yǎng)成和提高靈敏度去適應(yīng)新的情況和不同的環(huán)境. 在多方面的指導(dǎo)下去體會數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)化，減少學(xué)生對某一個問題的認(rèn)知差異. 通過問題的變化來拓寬學(xué)生思考的角度和思維的變化程度，讓學(xué)生能夠依照自身的實(shí)際情況在解決問題時去理解和融合所學(xué)知識. 但是問題的變化要避免脫離實(shí)際，要把知識融合和思維變化掌控在學(xué)生可接受的范圍之內(nèi)，這樣才會有更加良好的效果.

問題6：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，AB=5 cm，以C為圓心，r為半徑的圓與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？為什么？如果r=2 cm或r=2.4 cm或r=3 cm呢？

問題7：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cm，AB=5 cm，以C為圓心，r為半徑的圓與線段AB有兩個交點(diǎn)時，r的取值范圍是多少？沒有交點(diǎn)或只有一個交點(diǎn)呢？

在學(xué)習(xí)直線和圓的位置關(guān)系時，將幾何上的直觀理解轉(zhuǎn)化為數(shù)字上的抽象表達(dá)，這其實(shí)就是幾種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的融合和整合. 在知識沒有完全內(nèi)化之前，學(xué)生還無法將幾何直觀和數(shù)字抽象聯(lián)系起來. 但是通過變化性問題的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生一步一步地將知識內(nèi)化，完善并形成新的認(rèn)知體系，這為學(xué)生后續(xù)面對新的問題時強(qiáng)化高階思維能力打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

6. 設(shè)置猜想性問題，鍛煉創(chuàng)新思維

通過猜想性問題的設(shè)置，首先讓學(xué)生熟悉并掌握幾種常見的猜想方法，比如歸納猜想、特殊值猜想、實(shí)驗(yàn)猜想、類比猜想等，然后引導(dǎo)學(xué)生利用這些猜想方法在解決問題的過程中猜想數(shù)字規(guī)律、圖形規(guī)律、數(shù)量關(guān)系、過程變化、概念結(jié)論等，讓學(xué)生逐漸形成并發(fā)展自主探究的能力. 猜想性問題可以說是學(xué)生創(chuàng)新的基礎(chǔ)，它不僅能鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新思維，還能幫助學(xué)生鞏固和總結(jié)所學(xué)知識，讓學(xué)生在未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上有策略、有研究、有思考，不斷完善認(rèn)知體系. 猶如前文所說，低階思維和高階思維的角色會隨著學(xué)習(xí)時段和學(xué)習(xí)任務(wù)的不同而相互變化，形成從低階思維向高階思維的螺旋上升，猜想性問題對創(chuàng)新思維的培養(yǎng)正是下一學(xué)習(xí)時段或?qū)W習(xí)任務(wù)對高階思維培養(yǎng)的開始.

問題8：學(xué)習(xí)了直線和圓的位置關(guān)系后，你們有沒有想一想其他圖形存在的位置關(guān)系呢？比如圓和圓的位置關(guān)系.

提出這個問題的目的比較明確，為下節(jié)課學(xué)習(xí)圓和圓的位置關(guān)系提前準(zhǔn)備了思考的時間和空間. 不同的學(xué)生肯定會有不同的答案，但學(xué)生一定會利用得到的經(jīng)驗(yàn)有步驟、有條理地去思考兩圓的位置關(guān)系，有更多能力和探知欲的學(xué)生還會去思考其他圖形可能存在的位置關(guān)系，這將為學(xué)生更深層次地思維打開大門.

在“直線和圓的位置關(guān)系”教學(xué)中，問題被安排和穿插在各個教學(xué)環(huán)節(jié)中，體現(xiàn)了以“問題鏈”為主線的教學(xué)方式在實(shí)踐中對高階思維的培養(yǎng)是可行且有效的. 對高階思維的認(rèn)識和了解，以及對高階思維同教學(xué)課程的融合，是教師創(chuàng)設(shè)“問題鏈”必備的教學(xué)能力的體現(xiàn). 因此“問題鏈”的創(chuàng)設(shè)不僅為學(xué)生高階思維的培養(yǎng)開辟了一條寬大的路徑，還為教師的考察能力、判斷能力、教學(xué)設(shè)計(jì)能力、教學(xué)方案實(shí)施能力的自我突破提出了更高的要求和挑戰(zhàn)，這值得每位數(shù)學(xué)教師的探究和反思. 只有教師的教學(xué)能力提高了，才能為學(xué)生高階思維能力的發(fā)展提供保障！

參考文獻(xiàn)：

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