串問成“鏈”，綻放思維的光彩

王晶晶

［摘 ?要］ 問題是數(shù)學(xué)的重要組成元素，“問”即學(xué)問，是指在學(xué)習(xí)或?qū)嵺`中得到的知識及能力，“題”即題目，可以承載知識及能力. 狹義地來說，“問題”就是學(xué)生用于獲得知識及發(fā)展能力的載體. 在數(shù)學(xué)課堂中，問題貫穿整個(gè)教學(xué)過程，它的主要形式是提問，讓師生直接獲得交流的機(jī)會. 那么，如何設(shè)計(jì)問題？如何提問？如何讓問題發(fā)揮更大的價(jià)值？這些一直以來都是一線教師及教育專家們熱議的話題. 文章以南通市海門區(qū)“學(xué)程導(dǎo)航·六學(xué)課堂”中對課堂的指導(dǎo)課例為參照，簡要探析問題導(dǎo)學(xué)在初中數(shù)學(xué)課堂上的實(shí)施.

［關(guān)鍵詞］ 問題；初中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)

今年以來，南通市海門區(qū)持續(xù)踐行“學(xué)程導(dǎo)航·六學(xué)課堂”的推進(jìn)活動(dòng)，初中數(shù)學(xué)學(xué)科在原有的學(xué)程設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上推出了旨在促進(jìn)學(xué)程的優(yōu)化及增進(jìn)教師“學(xué)程+導(dǎo)航”設(shè)計(jì)的意識及能力的“學(xué)程4.0”研究. 筆者作為此次活動(dòng)的學(xué)習(xí)者，有幸聆聽了專家們對“學(xué)程4.0”的解讀，深度學(xué)習(xí)了榜樣教師的示范課堂. 將學(xué)到的精神用于自身常態(tài)課的教學(xué)中，越來越深刻地感受到了問題在導(dǎo)學(xué)中的重要作用. 下面結(jié)合樣例“特殊角的三角函數(shù)值”（人教版九年級上冊）談?wù)劰P者對此的理解.

自主先學(xué)，呈現(xiàn)問題

自主先學(xué)是“六學(xué)課堂”的首要環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的初始. 在這個(gè)環(huán)節(jié)中，引起學(xué)生的注意、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性是教學(xué)目標(biāo)之一. 在數(shù)學(xué)課堂中，教師提出問題是吸引學(xué)生注意力最直接的方式，這種方式雖然“質(zhì)樸”，但是在實(shí)踐中的效果卻值得肯定.

問題1：在直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切值是怎么定義的？

已知：如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，求∠A的三角函數(shù)值.

（完成方式：學(xué)生課前完成后直接上臺板演）

設(shè)計(jì)意圖 直角三角形中銳角三角函數(shù)的求法是本節(jié)課的預(yù)備知識，也是上節(jié)課學(xué)過的內(nèi)容，因此“以題憶知”，一方面回顧學(xué)過的舊知，另一方面為本節(jié)課的教學(xué)做好相應(yīng)的知識準(zhǔn)備，同時(shí)為呈現(xiàn)“問題串”做好鋪墊.

情境導(dǎo)學(xué)，激發(fā)興趣

學(xué)生的自主學(xué)習(xí)需要依托教師有效的“導(dǎo)”來實(shí)現(xiàn)，教師充分而不過分的引導(dǎo)是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的必要前提和充分保障. 設(shè)置一定的情境導(dǎo)入學(xué)習(xí)是中小學(xué)教學(xué)中最常見的導(dǎo)學(xué)方式，“六學(xué)課堂”將“情境導(dǎo)學(xué)”的重點(diǎn)置于“導(dǎo)”，問題導(dǎo)學(xué)就是實(shí)現(xiàn)“導(dǎo)”的有效方式之一.

問題2：圖2和圖3是學(xué)習(xí)必備的兩塊三角板，它們是兩個(gè)特殊的直角三角形，你有辦法求出它們的銳角三角函數(shù)值嗎？

（完成方式：學(xué)生思考后自主回答）

生1：我們可以假設(shè)兩個(gè)三角形的最短邊長為1，然后根據(jù)這兩個(gè)直角三角形的特殊性得出另外兩邊的長度，再根據(jù)銳角三角形的求法求出每個(gè)銳角的三角函數(shù)值.

生2：直接根據(jù)這兩個(gè)三角形的三邊關(guān)系將它們的邊長假設(shè)為x，x，2x與x，x，x，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的公式來求.

師：這兩個(gè)同學(xué)都回答得很好，分別想到了特殊值法與設(shè)參法. 那么這兩種方法是否都可行呢？

設(shè)計(jì)意圖 由問題1過渡到問題2，沒有難度上的跳躍，只有問題考察對象的轉(zhuǎn)移，學(xué)生較易完成. 這樣可以給學(xué)生帶來本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容并不難的心理暗示，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣及學(xué)好本節(jié)課內(nèi)容的信心.

合作助學(xué)，探究問題

合作助學(xué)是“六學(xué)課堂”的重要環(huán)節(jié)，也是新課改實(shí)施后教學(xué)方式的明顯轉(zhuǎn)變，通過師生合作及生生合作，不僅有利于問題的深入探究及解決，而且還能增加彼此間的交流與溝通，增進(jìn)師生及生生的感情.

活動(dòng)：以兩塊三角板作為直角三角形模型，選擇合適的方法求出其中的銳角三角函數(shù)值，并填寫下表.

（完成方式：學(xué)生小組合作，完成后小組代表在全班中交流展示）

展示片段：

生3：我們小組用設(shè)參法求出了這些銳角的三角函數(shù)值. （結(jié)果略）

師（追問）：你們求得非常正確，那你們知道為什么求這三個(gè)角（30°，45°，60°）的三角函數(shù)值，而不是求10°，15°，19°，…的三角函數(shù)值呢？

生3：因?yàn)?0°，45°，60°是我們常用的特殊角.

師：你分析得非常到位，我們?nèi)绻苡涀∵@三個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，一定會對我們以后的學(xué)習(xí)帶來不少便利.

設(shè)計(jì)意圖 經(jīng)歷探索30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的過程是本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一，該問題的難度不大，讓學(xué)生小組合作去探索即可，一方面可以對銳角三角函數(shù)的求法進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，另一方面可以給學(xué)生提供主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的機(jī)會，喚醒自主學(xué)習(xí)的意識. 經(jīng)歷問題的解決過程，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于知道結(jié)果本身，因此問題在該環(huán)節(jié)中的作用是引導(dǎo)，即引導(dǎo)學(xué)生去思考、去探索.

踴躍展學(xué)，建構(gòu)新知

踴躍展學(xué)是“六學(xué)課堂”中最精彩的環(huán)節(jié)，也是整個(gè)教學(xué)課堂的高潮. 在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生可以獲得充分展示自己的機(jī)會，真正成為課堂主角，在展示中構(gòu)建新知，在展示中體悟?qū)W習(xí)的本質(zhì).

問題3：如何有效記憶表中的數(shù)值呢？

（完成方式：學(xué)生經(jīng)過短暫的獨(dú)立思考后舉手發(fā)言）

生4：我發(fā)現(xiàn)第一行的分母都是2，分子分別是，，，隨著角的度數(shù)的增大而增大，第二行和第一行剛好是首尾相反. 第三行的分母都是3，分子分別是，3，3，也隨著角度的增大而增大，并且很有規(guī)律.

生5：我記憶的方法和生4差不多，但是把分子上的數(shù)全部放到根號里面，第一行是，，，第二行是，，，第三行是，，.

生6：我發(fā)現(xiàn)豎著記憶更加方便，每列的分母都是2，2，3，而分子則分別是1，，；，，3；，1，3.

生7：我發(fā)現(xiàn)這張表格里的數(shù)只需要記住上面兩行就可以了，第三行tanA的值用可以快速得到.

生8：我覺得這張表格里的數(shù)不需要記憶，只要熟練記住兩塊三角板的邊長之比就可以了，當(dāng)需要求其中一個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)能快速推算.

……

師：大家的方法真多，每一種都是如此精妙. 確實(shí)，特殊角的三角函數(shù)值靠的不是機(jī)械識記，而是找到合適自己的方法有意識記，我們每個(gè)同學(xué)一定都找到了最適合自己的方法.

設(shè)計(jì)意圖 特殊角三角函數(shù)值的識記對本節(jié)課的學(xué)習(xí)有著重要的意義，讓學(xué)生自己通過觀察思考進(jìn)行展示，可以集思廣益發(fā)揮集體的力量讓每個(gè)學(xué)生都獲取掌握知識的方法，促進(jìn)知識的內(nèi)化. 同時(shí)，踴躍展示的主旨在于將問題的本質(zhì)充分體現(xiàn)，真正實(shí)現(xiàn)“教師主導(dǎo)、學(xué)生主體”，也將問題導(dǎo)學(xué)的意義充分發(fā)揮出來.

多元評學(xué)，鼓勵(lì)進(jìn)取

“以情勵(lì)學(xué)，氛圍融洽，注重鼓勵(lì)學(xué)生先‘思‘練‘說‘評”是“六學(xué)課堂”中評學(xué)的主要精神指導(dǎo). 在問題導(dǎo)學(xué)的數(shù)學(xué)課堂中，教師的關(guān)注點(diǎn)是“導(dǎo)”，即“學(xué)程導(dǎo)航”中的“導(dǎo)航”，指引學(xué)生前行的方向，當(dāng)學(xué)生遇到困難或障礙時(shí)及時(shí)給予幫助和鼓勵(lì)，讓學(xué)生樹立解決問題的信心，迎難而上、不斷進(jìn)取.

題1：計(jì)算（1）2cos60°sin30°-·sin45°sin60°；（2）-tan45°.

（完成方式：學(xué)生獨(dú)立完成解答后小組校對答案，糾錯(cuò)改錯(cuò)）

問題4：怎樣利用特殊角的三角函數(shù)值求角和線段呢？

題2：若tan（α+10°）=1，則銳角α的度數(shù)是（ ?）

A. 20° B. 30° C. 40° D. 45°

變式：已知△ABC中，∠A與∠B滿足（1-tanA）2+sin

B-=0，試判斷△ABC的形狀.

拓展：已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，則∠B=_____°，AC=_____.

（完成方式：學(xué)生獨(dú)立思考、完成解答后舉手發(fā)言）

展示片段（以“拓展”為例）：

師：這道題大家都做出來了嗎？

生9：我覺得這道題錯(cuò)了，它缺少條件.

眾生表示肯定.

師：是這樣嗎？那缺少什么條件呢？你給它加上去吧.

生10：我給它加上“∠A=30°”這個(gè)條件.

生11：我加的是“BC=5”這個(gè)條件.

師：這兩個(gè)同學(xué)分別給這道題加了特殊角和邊長的條件，然后利用三角函數(shù)的知識求出了∠B與AC. 那么如果我們換個(gè)角度來看這道題，能否添加一個(gè)三角函數(shù)值作為條件呢？

生12：我覺得可以加“cosA=”這個(gè)條件.

師：非常棒！三角函數(shù)就是把三角形的邊與角相連起來的一個(gè)元素，邊、角、三角函數(shù)可以相互轉(zhuǎn)化.

設(shè)計(jì)意圖 題1是對特殊角的三角函數(shù)值的鞏固與強(qiáng)化練習(xí)，可以讓學(xué)生組內(nèi)消化；題2是對培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的嘗試，初次滲透求一個(gè)銳角度數(shù)的新方法；變式題是數(shù)與形的結(jié)合，拓展題是對學(xué)生質(zhì)疑能力和創(chuàng)新思維的培養(yǎng). 整個(gè)解決問題的過程主要由學(xué)生完成，教師不斷從思維、知識、能力等方面對學(xué)生進(jìn)行正面評價(jià)，激勵(lì)學(xué)生不斷前行.

以練促學(xué)，發(fā)展思維

適量的習(xí)題在新知構(gòu)建及能力形成的過程中都起著重要的決定作用，因此練習(xí)在數(shù)學(xué)新授課中是不可或缺的一部分. “以標(biāo)測學(xué)、分層變式”是“六學(xué)課堂”對練習(xí)的指導(dǎo)要求，即以課程本身作為習(xí)題訓(xùn)練的標(biāo)準(zhǔn)，以發(fā)展學(xué)生的思維作為目標(biāo)，注重變式，同時(shí)以分層的形式讓每個(gè)學(xué)生都能提高自身的能力水平.

題3：下列各式中不正確的是（ ?）

A. sin260°+cos260°=1

B. sin30°+cos30°=1

C. sin35°=cos55°

D. tan45°>sin45°

題4：在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，且sinA=，cosB= ，△ABC的形狀是（ ?）

A. 直角三角形B. 鈍角三角形

C. 銳角三角形 D. 等邊三角形

題5：已知等腰三角形ABC的腰長為4，底角為30°，則底邊上的高為____，周長為_____.

題6*：在△ABC中，三邊之比為a∶b∶c=1∶∶2，則sinA+tanA等于（）

A. B. +

C. D.

每日一題：要求tan30°的值，可構(gòu)造如圖4所示的直角三角形進(jìn)行計(jì)算，畫Rt△ABC，使∠C=90°，∠B=30°，斜邊AB=2，那么直角邊AC=1，BC=，所以tan30°=tanB===. 在此圖的基礎(chǔ)上，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，探究tan15°的值.

設(shè)計(jì)意圖 題3至題5為本節(jié)課的基礎(chǔ)題，是對所學(xué)內(nèi)容的及時(shí)鞏固，要求每個(gè)學(xué)生都能完成解答；題6是在判斷出特殊三角形形狀的基礎(chǔ)上的計(jì)算題，屬于中檔題，部分基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生在生生互助中完成解答；“每日一題”為半開放性題目，學(xué)生課后完成解答，可以借助各種學(xué)習(xí)資源或與他人合作完成，本題解法不唯一，可以給基礎(chǔ)較好的學(xué)生提供探究鉆研的平臺，促進(jìn)其發(fā)展高階思維.

“學(xué)程4.0”是對“六學(xué)課堂”中學(xué)程的強(qiáng)化，它更加注重教學(xué)過程中學(xué)生的“學(xué)”. 課堂教學(xué)是一個(gè)完整的過程，“問題串”承載的是學(xué)生學(xué)習(xí)的知識，因此它們并非彼此獨(dú)立而是相互聯(lián)系. 不管是教學(xué)預(yù)設(shè)還是課堂實(shí)踐，教師都需要注重問題與問題之間的內(nèi)在聯(lián)系. 問題猶如一顆顆美麗的珍珠，如果散落在課堂的各個(gè)角度，也許不會被發(fā)現(xiàn)或者很快會被遺忘，只有將這些珍珠串成迷人的項(xiàng)鏈，才能讓問題發(fā)出璀璨的光芒，吸引學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去擷取，讓學(xué)生的思維跟著問題一起綻放絢麗的光彩. 串問成“鏈”，方能彰顯問題導(dǎo)學(xué)的價(jià)值.