關(guān)注高頻易錯(cuò)點(diǎn)打造品質(zhì)新課堂

摘要：高中三角函數(shù)的教學(xué)中，通過(guò)高頻易錯(cuò)點(diǎn)的指導(dǎo)，不僅可以使學(xué)生充分掌握三角函數(shù)的相關(guān)圖象與性質(zhì)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思考興趣，而且還可以提高學(xué)生辨別是非的能力，以提高學(xué)生自身的思想境界，確定學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)與動(dòng)力，從而經(jīng)過(guò)理性方式實(shí)現(xiàn)相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；圖象與性質(zhì)；高頻易錯(cuò)點(diǎn)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0077-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡(jiǎn)介：章瑩瑩（1984.11-），女，江蘇省連云港人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

三角函數(shù)圖象與性質(zhì)是近年高考中的高頻考點(diǎn)，高中學(xué)生在處理有關(guān)三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，常因?qū)θ呛瘮?shù)的圖象與性質(zhì)的理解不夠到位和缺乏嚴(yán)謹(jǐn)而又深入的思考導(dǎo)致錯(cuò)誤.筆者著重從以下幾個(gè)方面，就三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)在具體運(yùn)用中出現(xiàn)的高頻易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)的歸納整理，旨在幫助同學(xué)們進(jìn)一步提高解題思維能力，避免一些常見(jiàn)差錯(cuò)的產(chǎn)生.

1 忽視三角函數(shù)圖象的周期性

利用三角函數(shù)的圖象求解三角不等式時(shí)，需要先在一個(gè)周期內(nèi)加以分析，再結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期2kπ（k∈Z，k≠0）或者正切函數(shù)的周期kπ（k∈Z，k≠0），即可獲得原不等式成立的充要條件.

例1函數(shù)y=2cos2x+1的定義域是.

錯(cuò)解由題意可得2cos2x+1≥0.

所以cos2x≥-12.

所以結(jié)合圖1可知-2π3≤2x≤2π3.

解得-π3≤x≤π3.

故該函數(shù)的定義域?yàn)閤-π3≤x≤π3.

辨析以上錯(cuò)解的原因是利用余弦函數(shù)的圖象解不等式時(shí)，只是在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行思考，顯然忽視了余弦函數(shù)圖象本身具有的周期性，導(dǎo)致因考慮不全而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

正解由題意可得2cos2x+1≥0.

所以cos2x≥-12.

解得2kπ-2π3≤2x≤2kπ+2π3k∈Z.

即kπ-π3≤x≤kπ+π3k∈Z.

故該函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

xkπ-π3≤x≤kπ+π3，k∈Z.

評(píng)注一般地，求解形如sinx≥m型不等式，需要先在［-π2，3π2］內(nèi)分析，再結(jié)合周期2kπ可獲得該不等式的解集；求解形如cosx≥m型不等式，需要先在［-π，π］內(nèi)分析，再結(jié)合周期2kπ可獲得該不等式的解集；求解形如sinx≤m型不等式，需要先在［π2，5π2］內(nèi)分析，再結(jié)合周期2kπ可獲得該不等式的解集；求解形如cosx≤m型不等式，需要先在［0，2π］內(nèi)分析，再結(jié)合周期2kπ可獲得該不等式的解集.

2 忽視區(qū)間端點(diǎn)值的取舍問(wèn)題

求解三角函數(shù)中的參數(shù)范圍問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)利用轉(zhuǎn)化思想，若先轉(zhuǎn)化為區(qū)間之間的包含關(guān)系，再據(jù)此構(gòu)建不等式組時(shí)，則需要準(zhǔn)確分析區(qū)間端點(diǎn)值的取舍問(wèn)題，否則，極易因考慮不全而出現(xiàn)差錯(cuò).

例2已知函數(shù)fx=2sinωxω>0在-π3，π4單調(diào)遞增，求ω的取值范圍.

錯(cuò)解因?yàn)閤∈-π3，π4，

所以ωx∈-ωπ3，ωπ4.

所以由函數(shù)fx在-π3，π4單調(diào)遞增可得

-ωπ3，ωπ4-π2，π2.

從而可得-ωπ3>-π2，ωπ4<π2.

解得ω<32.

故ω的取值范圍是（-，-32）.

辨析以上錯(cuò)解的原因是構(gòu)建不等式組時(shí)，對(duì)區(qū)間端點(diǎn)值的取舍理解不到位，會(huì)導(dǎo)致縮小參數(shù)的取值范圍；同時(shí)還忽視了對(duì)題設(shè)已知條件ω>0的及時(shí)運(yùn)用，會(huì)導(dǎo)致擴(kuò)大參數(shù)的取值范圍.

正解函數(shù)fx=2sinωx的圖象，可根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)伸縮變換得到.

因?yàn)閤∈-π3，π4，

所以ωx∈-ωπ3，ωπ4.

所以由函數(shù)fx在-π3，π4單調(diào)遞增可得

-ωπ3，ωπ4-π2，π2.

從而可得-ωπ3≥-π2，ωπ4≤π2.

解得ω≤32.

又ω>0，所以0<ω≤32.

故所求ω的取值范圍是（0，32］.

評(píng)注求解本題時(shí)，需要將“ωx”看作一個(gè)整體，同時(shí)注意到由ω>0可知-ωπ3<0<ωπ4，從而極易想到可靈活運(yùn)用正弦函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間［-π2，π2］，準(zhǔn)確構(gòu)建不等式組加以求解.

3 忽視正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性

處理與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的取值范圍問(wèn)題時(shí)，必須考慮正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性（即sinx≤1，cosx≤1）在解題中的充分運(yùn)用；否則，極易因求得的取值范圍過(guò)大而出現(xiàn)差錯(cuò).

例3已知sinx+siny=23，則23+siny-cos2x的取值范圍是（）.

A．［112，73］B．［-1，73］C．［112，1］D．［112，79］

錯(cuò)解因?yàn)閟iny=23-sinx，

所以23+siny-cos2x=43-sinx-cos2x

=（sinx-12）2+112.

又注意到-1≤sinx≤1，

所以代數(shù)式的取值范圍是［112，73］.

故選A.

剖析上述錯(cuò)解中在消去siny時(shí)，因忽視siny的有界性對(duì)sinx的取值范圍的影響，而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

正解因?yàn)閟iny=23-sinx，

所以考慮正弦函數(shù)的有界性可得

-1≤sinx≤1，-1≤23-sinx≤1.

解得-13≤sinx≤1.

又23+siny-cos2x=43-sinx-cos2x=（sinx-12）2+112，

所以代數(shù)式的取值范圍是［112，79］.

故選D.

評(píng)注本題挖掘隱含條件時(shí)，不但要利用sinx的有界性，而且還要利用siny的有界性.顯然，只有雙管齊下，才能準(zhǔn)確獲解.

4 忽視正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性

利用已知給定的某角的正弦函數(shù)值（或余弦函數(shù)值）以及對(duì)應(yīng)的正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)）的單調(diào)性，可幫助我們進(jìn)一步縮小有關(guān)“角”的取值范圍，從而可幫助我們準(zhǔn)確求解有關(guān)取值問(wèn)題，避免差錯(cuò).

例4已知α，β都是銳角，且滿足sinα=55，sinβ=1010，那么α+β=（ ）.

A.π3B.π4C.2π3D.π4或3π4

錯(cuò)解由題設(shè)可知cosα=255，cosβ=31010.

所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=55×31010+255×1010=22.

又易知0<α+β<π，

從而α+β=π4或3π4.

故選D.

剖析上述錯(cuò)解的根源是沒(méi)有借助正、余弦函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步探究角α，β的取值范圍，從而因取值范圍過(guò)大，導(dǎo)致產(chǎn)生了令人難以發(fā)現(xiàn)的較為隱蔽的錯(cuò)誤！

正解1因?yàn)閟inα<22，sinβ<22，

所以易知0<α，β<π4.

所以0<α+β<π2.

又因?yàn)閟in（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=55×31010+255×1010=22，

從而由正弦函數(shù)y=sinx在0，π2上單調(diào)遞增，得α+β=π4.

故選B.

正解2因?yàn)棣?，β都是銳角，

所以0<α+β<π，cosα=255，cosβ=31010.

又因?yàn)閏os（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=255×31010-55×1010=22，

從而根據(jù)余弦函數(shù)y=cosx在0，π上單調(diào)遞減，可得α+β=π4.

故選B.

評(píng)注本題如果考慮利用正弦值分析（解法1），則極易出錯(cuò)；如果考慮利用余弦值分析（解法2），

則不易出錯(cuò).請(qǐng)想一想為什么？

總之，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用，需要我們結(jié)合對(duì)典型錯(cuò)解的剖析，掌握解題規(guī)律，進(jìn)一步提高解題的速度和準(zhǔn)確性.同時(shí)，作為一線教師，我們必須結(jié)合自己的教學(xué)現(xiàn)狀，經(jīng)常深入研究學(xué)生學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn)以及遇到的思維障礙，才能全方位地了解學(xué)生的實(shí)際情況，對(duì)自己的教學(xué)過(guò)程不斷反思，進(jìn)而改變教學(xué)的方式方法，有效提高教學(xué)效率，打造品質(zhì)課堂，落實(shí)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］江春，沈宏.基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)——以三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（13）：3-4.

[2] 杜紅全.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)高考考點(diǎn)題型歸類解析[J].數(shù)理化解題研究，2018（22）：11-13.