數(shù)學(xué)猜想：拓展學(xué)生思維的有效方法

薛麗雅

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)猜想是學(xué)生在自身已有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理、猜測(cè)與判斷的學(xué)習(xí)方式，反映了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行思考的思維活動(dòng). 合理利用猜想，可以啟發(fā)學(xué)生積極思考，有效論證，拓展思維，提高學(xué)習(xí)力.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)猜想；邏輯思維；學(xué)習(xí)能力

數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一種重要方法，許多重要的數(shù)學(xué)理論的誕生都來自于數(shù)學(xué)的猜想. 在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想能讓學(xué)生調(diào)動(dòng)思維進(jìn)行思考和參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，既是學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握情況的反映，也是學(xué)生積極學(xué)習(xí)的情感體現(xiàn)，因此有效利用猜想的教學(xué)方法，可以提高課堂教學(xué)效率. 然而猜想不是空想，是學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的情境下有方向地推測(cè)和判斷，是基于學(xué)生已有知識(shí)作出的合理猜測(cè)，有效的數(shù)學(xué)猜想可以推動(dòng)數(shù)學(xué)問題的解決，促進(jìn)課堂的有效生成.

幾何學(xué)習(xí)的過程中數(shù)學(xué)猜想的教學(xué)方法尤為重要，因?yàn)閹缀巫C明需要經(jīng)歷直觀幾何到實(shí)驗(yàn)幾何再到論證幾何的過程，數(shù)學(xué)猜想可以在已知條件和結(jié)論之間建立聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生直觀思維的形成，更快地找到問題的突破點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心. 筆者以“直角三角形的性質(zhì)”一課為例，嘗試采用“數(shù)學(xué)猜想”的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行猜想，進(jìn)而采用數(shù)學(xué)理論加以證明的方法，來學(xué)習(xí)直角三角形的性質(zhì)定理.

教學(xué)案例

（一）導(dǎo)入教學(xué)

1. 課前準(zhǔn)備

操作①：準(zhǔn)備一張紙片，將其剪成直角三角形的形狀.

師：請(qǐng)同學(xué)們談一談采用什么方法準(zhǔn)備這個(gè)直角三角形紙片的？

（學(xué)生暢所欲言）

師：想一想可以從哪些方面認(rèn)識(shí)一個(gè)幾何圖形，如邊、角、線段等？

操作②：在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生跟隨幾何畫板的演示進(jìn)行操作，如圖1，將直角三角形紙片進(jìn)行翻折.

師：通過剛才的實(shí)驗(yàn)操作，你發(fā)現(xiàn)直角三角形具備其他圖形所沒有的特點(diǎn)了嗎？

2. 探索直角三角形的性質(zhì)1

（1）從“角”上觀察直角三角形的兩個(gè)銳角翻折后與直角相重合，探討直角三角形“角”的特性.

（2）進(jìn)行猜想并證明：直角三角形中兩個(gè)銳角的關(guān)系.

（3）定理1的簡(jiǎn)單運(yùn)用：如圖2，在已知直角△ABC中，∠ACB是直角，若斜邊AB上的高是CD，圖中有幾對(duì)相等的銳角和幾對(duì)互余的角？

3. 探索直角三角形性質(zhì)2

（1）根據(jù)操作②，請(qǐng)你猜想一下直角三角形的線段有什么特殊性？

（2）猜想：在直角三角形中，斜邊與斜邊上的中線具有倍數(shù)的數(shù)量關(guān)系.

（3）學(xué)生思考討論之后，小組交流證明方法.

（4）如圖3，學(xué)生展示出兩種證明方法，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng).

教學(xué)反思

通過實(shí)驗(yàn)操作引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“直角三角形紙片”，起到溫故知新的作用，既能復(fù)習(xí)直角三角形的概念，又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)直角三角形的特征奠定基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)生對(duì)新知探究的好奇心. 接下來通過實(shí)踐操作，師生共同研究直角三角形的性質(zhì)，了解直角三角形的角、邊的特殊性，為啟發(fā)學(xué)生猜想指明正確的方向.在教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)中，通過實(shí)踐操作引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀地觀察，進(jìn)而引入下一環(huán)節(jié)的猜想和證明.

教學(xué)設(shè)計(jì)“探索直角三角形性質(zhì)1”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)通過觀察得到直角三角形的“角的特性”，理解了直角三角形兩個(gè)銳角具有互余的關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)入環(huán)節(jié)中直角三角形的定義為論證明確了方向. 定理1的運(yùn)用已經(jīng)關(guān)注到直角三角形的特殊線段，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到直角三角形斜邊上的高可以將一個(gè)直角三角形分為兩個(gè)直角三角形，為后續(xù)探究直角三角形斜邊上的中線特殊性打下了基礎(chǔ).

“探索直角三角形性質(zhì)2”時(shí)，通過再次觀察操作實(shí)驗(yàn)，經(jīng)歷聯(lián)系、類比到證明的過程，讓學(xué)生學(xué)會(huì)研究問題的思維方法，體會(huì)數(shù)學(xué)之美，感受成功的喜悅.

通過這個(gè)翻折實(shí)驗(yàn)，既復(fù)習(xí)了直角三角形的概念，又使學(xué)生通過觀察判斷出直角三角形中角的特性，并滲透了類比聯(lián)想的數(shù)學(xué)方法，可謂一舉多得.

猜想教學(xué)的策略

在幾何問題的教學(xué)中，教師讓學(xué)生以問題為導(dǎo)向進(jìn)行猜想，可以使學(xué)生學(xué)好直觀幾何和實(shí)驗(yàn)幾何的基礎(chǔ)上，為論證幾何問題打好基礎(chǔ). 但是學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成的基礎(chǔ)是讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，因此猜想不能流于形式，不能無目的地隨意猜想. 猜想并不是為了活躍課堂氣氛的隨意操作，更不是為了“猜想”而“猜想”.

（一）讓猜想為新知的學(xué)習(xí)助力

在新知學(xué)習(xí)的起步階段，猜想可以活躍課堂氣氛，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).猜想能在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，架起與未知的橋梁，讓學(xué)生更快地進(jìn)入新知的學(xué)習(xí)狀態(tài). 在講授“勾股定理”的知識(shí)時(shí)，筆者嘗試了如下的設(shè)計(jì)：

1. 教師利用多媒體展示動(dòng)態(tài)虛擬模型：以直角三角形的三條邊為邊長向外作三個(gè)小正方形，向正方形中注滿液體，其中兩個(gè)小正方形中的液體正好可以注滿一個(gè)大正方形. 這樣的動(dòng)態(tài)演示可以激發(fā)學(xué)生的好奇心和對(duì)直角三角形特殊性的探究欲望.

2. 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)操作的動(dòng)手題，學(xué)生自己動(dòng)手畫出一個(gè)直角三角形，通過測(cè)量斜邊的長度檢驗(yàn)自己的猜想是否正確. 經(jīng)過測(cè)量，學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的猜想是正確的，更加激發(fā)了用理論進(jìn)行證明的積極性，教師適時(shí)地滲透數(shù)學(xué)方法進(jìn)行引導(dǎo)，能幫助學(xué)生朝著正確的方向進(jìn)行論證. 為了激發(fā)學(xué)生的興趣，教師還可以進(jìn)行數(shù)學(xué)史的講解，利用《周髀算經(jīng)》中關(guān)于勾股定理的知識(shí)進(jìn)行滲透，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

3. 教師引導(dǎo)學(xué)生在研究特殊例子的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步總結(jié)一般規(guī)律，并利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)驗(yàn)證猜想，用幾何理論進(jìn)行證明.

（二）讓猜想在學(xué)習(xí)的過程中提升思維品質(zhì)

猜想是學(xué)習(xí)過程中的“催化劑”，可以為學(xué)習(xí)助力，促進(jìn)學(xué)生多角度思維的生成，使學(xué)生能夠透過現(xiàn)象抓住事物的本質(zhì)，加速大腦中表象形成的速度. 筆者在教學(xué)“直角三角形的性質(zhì)定理2”時(shí)，讓學(xué)生進(jìn)行了如下的探索實(shí)踐：

1. 如圖4，在直角△ABC和直角△ACE中，∠ABC和∠AEC都是直角，AC的中點(diǎn)是點(diǎn)M，連接BM，EM和BE，BE的中點(diǎn)是點(diǎn)N，你能猜想MN和BE的位置關(guān)系嗎？

2. 如圖5，若直角△ABC和直角△ACE在直線AC的同側(cè)，MN和BE的位置關(guān)系有變化嗎？

3. 如圖6，在△ABC中，BD是AC邊上的高，CE是AB邊上的高，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是DE的中點(diǎn)，在上述圖形中哪兩條線段有特殊的位置關(guān)系呢？

通過一組猜想活動(dòng)，在圖形變化的變式訓(xùn)練中，學(xué)生可以通過不同的圖形認(rèn)識(shí)到這一組題的解題思路都是一樣的，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的化歸思想. 一組連續(xù)的猜想和設(shè)問可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極情緒，使學(xué)生處于興奮狀態(tài)，提高學(xué)習(xí)效率. 經(jīng)過不斷的猜想、論證，再次猜想、再次論證的循環(huán)反復(fù)過程，使學(xué)生對(duì)這一知識(shí)的認(rèn)識(shí)由模糊到清晰，逐漸深入理解，最終掌握學(xué)習(xí)的方法.

（三）讓猜想在知識(shí)建構(gòu)之后保持學(xué)習(xí)的熱情

在完成了新知的學(xué)習(xí)之后，教師可以讓學(xué)生繼續(xù)猜想，猜一猜接下來會(huì)繼續(xù)學(xué)習(xí)什么內(nèi)容，今天所學(xué)的內(nèi)容可以應(yīng)用到哪些問題當(dāng)中，讓課堂上學(xué)習(xí)的熱情延續(xù)到課后，繼續(xù)擴(kuò)大學(xué)習(xí)的成果. 筆者在“直角三角形性質(zhì)”這節(jié)課的最后，進(jìn)行了如下的總結(jié)：

師：同學(xué)們，今天我們研究直角三角形的性質(zhì)，主要是從哪些角度進(jìn)行研究的？

生：我們通過兩次探索，第一次是探索直角三角形的角，第二次是探索直角三角形的特殊線段.

師：非常好！那么我們還能從哪些角度進(jìn)行研究呢？

生：還可以從直角三角形的邊進(jìn)行研究.

師：是的，三角形的構(gòu)成要素中還有一項(xiàng)重要內(nèi)容是三角形的邊，直角三角形邊的特殊性正是我們下一節(jié)課需要探究的內(nèi)容，同學(xué)們可以提前思考……

綜上所述，數(shù)學(xué)猜想是研究數(shù)學(xué)問題的重要方法，學(xué)生在經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)觀察到猜想論證的過程中，培養(yǎng)了自己的觀察分析能力和思考探究能力，調(diào)動(dòng)了多重思維的綜合運(yùn)用，從“學(xué)會(huì)”走向了“會(huì)學(xué)”. 在日常的教學(xué)中，教師要搭建學(xué)生猜想的平臺(tái)，給學(xué)生足夠的思考空間和時(shí)間，激勵(lì)學(xué)生參與到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中來，能逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證的學(xué)習(xí)方法，提升幾何學(xué)習(xí)的有效性. 在探究的過程中，不僅讓學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)，而且進(jìn)行情感的體驗(yàn)，真正成為善于學(xué)習(xí)、樂于學(xué)習(xí)的人.