依托“閱讀與思考”,提升數(shù)學味,凸顯素養(yǎng)觀

樓凌吉

[摘 ?要] “閱讀與思考”匯集了數(shù)學知識的源起、發(fā)展、完善和應用，展示了古今中外的數(shù)學魅力，而在緊湊的進度下，其價值得不到充分的發(fā)揮，甚至淪為教材中的“邊角料”. 文章以“圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用”探究為例，在實踐操作中發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，在探索求證中提升邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)，在實際生活問題的分析中提升數(shù)學抽象素養(yǎng)和數(shù)學建模素養(yǎng). 研究者以為開展“閱讀與思考”教學研究，可在數(shù)學文化中滲透數(shù)學思想和方法，隔離“數(shù)學畏”，提升“數(shù)學味”，激發(fā)學生學習數(shù)學的主觀能動性，實現(xiàn)核心素養(yǎng)的螺旋式上升.

[關鍵詞] 閱讀與思考;數(shù)學文化;數(shù)學味;主觀能動性;核心素養(yǎng)

[?]改善閱讀現(xiàn)狀，隔離“數(shù)學畏”

近幾年，數(shù)學文化在高考試題中頻頻出現(xiàn)，不管是浙江卷的一小段，還是全國卷的大篇幅，只要看見文字材料，學生心里就充斥著“數(shù)學畏”. 學生堆積如山的書籍中，除了教材和教輔資料，基本見不著數(shù)學課外閱讀書籍的身影;在網(wǎng)絡平臺上，學生為數(shù)學消耗的流量少之又少. 數(shù)學閱讀意識和主動性的缺乏，究其根本是學生對數(shù)學的畏懼，甚至是抗拒. 同時，教師隊伍中能被學生冠以“×神”的多半是數(shù)學教師. 看不見摸不著，卻又時刻縈繞在心，有崇敬之意更有畏懼之心，在學生心中，神一樣存在的不是數(shù)學教師，而是數(shù)學本身.

結合學生的認知發(fā)展，利用教材的每一板塊，打磨教學的各個環(huán)節(jié)，研究如何將數(shù)學從“有畏”變成“有味”，數(shù)學教師責無旁貸. 在教學實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)“閱讀與思考”在新授課階段，往往因為進度問題被擱置，而到了高三復習階段，隨著教材成為壓箱之物，其再次淪為“邊角料”. 據(jù)初步了解，一線數(shù)學教師對“閱讀與思考”進行深入研究的并不多，能和學生一起開展研究性學習的更是寥寥無幾.

筆者羅列了普通高中數(shù)學人教A版（2019）五冊教科書中的“閱讀與思考”的標題（見表1），單從標題上看就足以刺激學生的味蕾. 它匯集了數(shù)學知識的源起、發(fā)展、完善和應用，展示了古今中外的數(shù)學魅力. 抽象的數(shù)學概念、巧妙的數(shù)學方法、深奧的數(shù)學思想，其起源和發(fā)展都是自然的，不僅合情合理，還富有人情味，這在情感上拉近了學生和數(shù)學的距離.

以下是筆者的一堂源于“閱讀與思考”的探究性教學片段，展示它和大家一起感受“數(shù)學味”.

[?]“閱讀與思考”教學案例分析——以“圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用”為例

數(shù)學教學不只在于傳授公式和定理，更在于激勵學生從數(shù)學的角度去發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題，進而建立數(shù)學學習自信心. 本節(jié)課通過創(chuàng)設具體生動的問題情境，點燃思維火花;類比圓的反射過程，經(jīng)歷觀察、猜想、論證三部曲探究拋物線的光學性質(zhì);在互助合作中完成橢圓光學性質(zhì)的探究;了解光學性質(zhì)在生活中的應用，將理論上升到實踐，感悟?qū)W習數(shù)學是有用的;以探究雙曲線的光學性質(zhì)為課后作業(yè)，進一步鞏固解析幾何的思想方法，體會圓錐曲線的統(tǒng)一性. 在教學過程中努力提升“數(shù)學味”，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，提升其獨立獲取數(shù)學知識的能力，增強學生學習數(shù)學的興趣和學好數(shù)學的信心，培養(yǎng)其鍥而不舍的鉆研精神和科學態(tài)度.

1. 創(chuàng)設情境，引入課題

師：浙江省紹興柯巖風景區(qū)的蓮花聽音景點是全國最大的石蓮花，由99塊巨石拼鋪成半徑為9.9米的圓形. 對著石蓮花的是一堵圓弧形的回音壁，相傳坐在蓮花中心對著回音壁誦念經(jīng)文可以和佛心共融共振. 我在游玩時對著回音壁說話，真的可以聽到回音，但為什么只有站在蓮花中央時，回音才是最明顯的？

在回顧光的反射定律后，教師引導學生從情境問題中抽象出數(shù)學模型：從圓心射出的光線經(jīng)圓反射后，反射光線再次經(jīng)過圓心，基本解決開篇提出的問題.

師：大家只作出了入射光線和反射光線，請問法線在哪里？法線又是如何確定的？

在導數(shù)學習中，學生學習了用曲線上某點處的切線近似替代這一點附近的曲線，即“以直代曲”的思想方法. 在教師的引導下，學生能自然引進圓在入射點處的切線所在面作為反射面，再依次作出法線和反射光線.

師：回音有強弱之分能用圖形來說明一下嗎？

在交流合作中，產(chǎn)生了對照組（如圖1所示），可以清晰地看到站在圓心A處能接收到更多的反射光波. 期間，教師要引導學生多做幾組光線的反射，從A和B射出的光線，若只畫一條經(jīng)C處反射的光線，就無法解釋回音的強弱. 因此，多次試驗，仔細觀察和認真分析可以找到一般規(guī)律. 積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，養(yǎng)成在日常生活中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁，運用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題[1].

2. 精準作圖，大膽猜想

類比圓中的光線反射問題，接下來研究從圓錐曲線的焦點射出的光線經(jīng)曲線反射后的特點. 為使學生方便作圖，教師在學案上印有精確的圓錐曲線，并標出焦點的位置. 同樣，精確性也體現(xiàn)在學生的作圖過程中，直尺是必需的，有量角器自然是極好的.

先從拋物線入手，學生依次作出入射光線、拋物線在入射點處的切線、法線和反射光線. 作完一條光線的反射線后，學生并沒有發(fā)現(xiàn)當中蘊含的光學性質(zhì). 回顧上一環(huán)節(jié)，強調(diào)多次試驗才能摸索出它們的共性，隨后選取幾張反射光線近乎平行的練習予以展示，最后將手動的探索過程轉(zhuǎn)移到幾何畫板上，動態(tài)的演示使學生更加直觀地感受到拋物線的光學特點，并大膽猜想：從焦點射出的光線，經(jīng)拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.

3. 層層推進，分析論證

經(jīng)歷直觀感受和大膽猜想，下一步就是分析論證. 如圖2所示，從拋物線y2=2px的焦點F射出一條光線，經(jīng)曲線上一點A（x，y）反射，求證反射光線平行于x軸.

要證明反射光線平行于x軸，即證明∠2=∠3，即證明∠1=∠3，即證明AF=BF.

因為拋物線y2=2px在點A（x，y）處的切線方程為yy=p（x+x），所以相應的法線方程為y-y=-（x-x），所以法線與x軸相交于點B（x+p，0），所以BF=x+=AF.

在證明過程中，學生進一步掌握了等價轉(zhuǎn)化思想方法，鞏固了拋物線的定義和在某點處的切線方程，經(jīng)歷了用代數(shù)方法解決幾何問題的三部曲.

4. 明確結論，實踐應用

通過上述的直觀感受和分析論證，學生掌握了拋物線的光學性質(zhì). 在進一步介紹拋物面反射鏡后，教師展示了2021年10月18日在希臘奧林匹亞的赫拉神廟前采集北京冬奧會火種的圖片，并請學生思考其中的原理. 教材中還有許多拋物線光學性質(zhì)的應用，這使學生感受到數(shù)學與生產(chǎn)生活的緊密關系.

5. 遷移方法，探究新知

以探究拋物線的光學性質(zhì)為例題，橢圓的光學性質(zhì)研究則是一個習題，通過“問題鏈”鞏固研究橢圓光學性質(zhì)的過程、方法和思想.

問題1：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓上的一點反射后，反射光線有什么特點？

問題2：怎么證明從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓上的一點反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點？

問題3：如何利用橢圓的光學性質(zhì)解釋電影放映機的工作原理？

部分學生通過作圖認為反射光線經(jīng)過橢圓的中心，有學生馬上提出異議：當選取橢圓的上頂點作為入射點時，反射光線經(jīng)過另一個焦點. 得到此錯誤結論，究其原因，首先是作圖不精確，其次是光線的條數(shù)過于單一. 精準作圖，多次試驗，結合特殊到一般的推理過程，不少學生能挖掘出橢圓的光學性質(zhì).

如圖3所示，要證明法線AB為∠FAF的平分線，只要證明=.

因為橢圓+=1（a>b>0）在點（x0，y0）處的切線方程為+=1，所以相應的法線方程為y-y=（x-x0），所以法線與x軸相交于點B

x，0，所以==. 又

AF===x+a，同理

AF= -x+a，故=.

數(shù)學運算素養(yǎng)是最基本的素養(yǎng)，學生通過數(shù)學運算能力的發(fā)展，可以有效促進其數(shù)學思維的發(fā)展，進而養(yǎng)成科學嚴謹、求真務實的重要品質(zhì)[2].

6. 課堂小結

通過把蓮花聽音中的回音問題抽象化、數(shù)學化，學生學會了光線反射到圓上的研究方法，并把它類比到圓錐曲線中，通過精準作圖，大膽猜想，嚴格論證，發(fā)現(xiàn)了拋物線和橢圓的光學性質(zhì)，了解了它們在實際生活中的應用，感受到了數(shù)學的強大“磁場”. 在研究過程中，要注重學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的發(fā)展，在生活實際問題的分析中提升數(shù)學抽象素養(yǎng)和數(shù)學建模素養(yǎng).

7. 教學反思

本節(jié)課提出了一些具有挑戰(zhàn)性的問題，凸顯了自主探究、合作交流等學習方式，部分學生并不能很好地適應，顯得有些束手無策. 冰凍三尺，非一日之寒，這意味著教師在日常的課堂教學中還沒有真正把主動權交給學生. 在有限的時間內(nèi)，學生完成計算橢圓上的點到焦點的距離有一定的困難，可以先將教材中的“信息技術應用——用信息技術工具探索點的軌跡：橢圓”作為預備知識，了解圓錐曲線的第二定義，簡化計算曲線上的點到焦點的距離，不僅為圓錐曲線光學性質(zhì)的研究提供便捷，而且從離心率的角度再次體現(xiàn)圓錐曲線的統(tǒng)一性.

[?]依托“閱讀與思考”，提升“數(shù)學味”，凸顯素養(yǎng)觀

學生經(jīng)過中考分層，學習能力不相上下，并處于同一學習環(huán)境，而經(jīng)過三年的時間，分差可以從中考的二十幾分上升到幾百分. 這期間，學生的主觀能動性起著主導作用，能否主動、獨立甚至富有創(chuàng)造性地學習不僅決定著他們的高考分高低，更決定著他們是否可以持續(xù)發(fā)展. 在現(xiàn)實生活、日常情境中，數(shù)學無處不在，常常日用而不自知，對數(shù)學模型的感知、判斷、思考和應用，在一定程度上決定著我們的智性水平、理性高度和文野之分[3]. 數(shù)學教學切不可就題論題，停留在抽象的層面，否則極易引起學生的“數(shù)學畏”. “閱讀與思考”給師生提供了教學素材，指明了教學方向，提升了“數(shù)學味”，凸顯了素養(yǎng)觀.

1. 數(shù)學可以追尋歷史，放眼未來

數(shù)學是一面鏡子，用數(shù)字、符號和圖形折射出過去和未來. 在《放射性物質(zhì)的衰減》中，引進良渚遺址中發(fā)掘的草裹泥來研究水壩的修建時間，進而刷新對中國文明起源的認知. 良渚古城被列入世界遺產(chǎn)，良渚文化得到國際社會的普遍認可離不開碳元素檢測，它比其他史料和考古都更具說服力. 《放射性物質(zhì)的衰減》文末還提出：如果函數(shù)呈指數(shù)增長，那么稱函數(shù)值增長為原來的兩倍所用的時間為“倍增期”. 將倍增期的概念和當下人口問題相結合，提出計算人口倍增期的兩種方法：①p=pekn，②p=p（1+k）n，其中p為n年后的人數(shù)，p為原有人數(shù)，k為人口年增長率，n為經(jīng)過的年數(shù)，當=2時，求得的n就是人口倍增期. 查閱過去幾十年中國人口總數(shù)，經(jīng)過函數(shù)擬合，預測20世紀80年代若無實行計劃生育的情況下人口自然增長的倍增期，體會數(shù)學在國家宏觀調(diào)控上的價值.

2. 數(shù)學可以洞察萬物，精準反饋

數(shù)學是一部探測儀，可以強力分辨、準確定位隱埋在深處的問題. 《統(tǒng)計學在軍事中的應用——二戰(zhàn)時德國坦克總量的估計問題》介紹了用不放回抽樣來估計離散型均勻分布最大值，強調(diào)統(tǒng)計方法的精確性和有效性是常規(guī)情報收集方法無法比擬的. 學習了《如何得到敏感性問題的誠實反應》，學生可以自己動手設計問卷，開展考試作弊、校園欺凌等敏感性問題的調(diào)查. 《孟德爾遺傳規(guī)律》在概率統(tǒng)計的指引下開啟了遺傳學的大門，洞察到外在表象下隱含著的生命密碼. 《大數(shù)據(jù)》依托數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)分析結果做出決策，影響著人們的生活方式，例如每天的天氣預報. 近年來，教育事業(yè)快速發(fā)展，全面步入“智慧教育”新時代，其中一個方面就是大數(shù)據(jù)精準教學.

3. 數(shù)學可以化繁為簡，高效運作

數(shù)學善于思考問題的共性，提出高效的解決方案，是計算機技術的基礎和核心，是最強大腦. 《中國古代數(shù)學家求數(shù)列和的方法》介紹了北宋數(shù)學家沈括為了求一層層壘起的酒壇總數(shù)，提出了二階等差數(shù)列的一個求和公式，即“隙積術”，為后續(xù)“垛積術”的研究奠定了基礎. 學習《向量概念的推廣與應用》，借鑒材料中校服廠家定制服裝的過程，學生可以就班服的購買問題進行一次數(shù)學實戰(zhàn)演練，選考技術的學生還可以根據(jù)所學的知識編寫一套程序，高效解決這一問題. 這些“閱讀與思考”可以讓學生深刻地體會到數(shù)學在解決實際問題中的有效性.

[?]結語

“閱讀與思考”的教學研究活動可以促使學生從實際背景抽象出數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，運用數(shù)學語言表達問題，用邏輯推理解決問題，進一步指導實踐，極大地活躍學生的數(shù)學思維. “閱讀與思考”的課堂富有問題性、抽象性、推理性、探索性，充滿著“數(shù)學味”. 高中數(shù)學教學以發(fā)展學生的核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)[4]. 數(shù)學雖源于對現(xiàn)實世界的抽象，但在教學過程中不能只有抽象，還應時時刻刻回顧其與社會生活的關系，為社會創(chuàng)造的價值. “閱讀與思考”真正體現(xiàn)了這一要求. 因此教師應將“閱讀與思考”教學落到實處，提升“數(shù)學味”，凸顯素養(yǎng)觀，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，使學生以更高的熱情投身于數(shù)學學習.

參考文獻：

[1] ?中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] ?王娟，李保臻. 基于數(shù)學運算能力培養(yǎng)的單元教學設計研究——以初中“因式分解”內(nèi)容為例[J]. 中學數(shù)學教學，2019（04）：1-6.

[3] ?裴亞光. 數(shù)學教學是圓夢之旅——在湖北大學第四屆（2017）數(shù)學文化節(jié)上的報告[J]. 中學數(shù)學教學參考，2019（25）：2-4.

[4] ?中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.