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    激活思維 靈動課堂

    2022-05-30 17:56:28何偉
    數(shù)學教學通訊·高中版 2022年11期
    關鍵詞:激活思維自主探究有效性

    何偉

    [摘 ?要] 教學中,教師要切實從學生實際出發(fā),以發(fā)展學生為目標,少一些“灌輸”,多一些“引導”和“點撥”,以此激活思維,誘發(fā)思考,提升教學有效性. 文章以“等比數(shù)列的前n項和”為例,對不同設計、呈現(xiàn)方式進行對比和分析,展示自主探究的價值,談幾點對“生本課堂”建構的建議,以期學生能夠真正參與課堂,讓課堂更有效、更高效.

    [關鍵詞] 激活思維;有效性;自主探究

    在一次校內技能大賽上,數(shù)學組以“等比數(shù)列的前n項和”為題開展同課異構課,各位教師精心籌備,耐心打磨,數(shù)學課堂呈現(xiàn)了別樣精彩. 筆者在聽課、評課中收獲頗豐,現(xiàn)簡單呈現(xiàn)不同設計的教學片段,并進行了比較研析,若有不當之處請同人指正.

    [?]研探教學模式

    1. 方案1(借助情境,鋪設方法臺階)

    師:課前大家已經(jīng)閱讀了“棋盤上的麥粒”這個故事,誰來說一說國王需要給大臣多少麥粒?

    生1:S=1+2+22+…+263①.

    師:很好,這個就是我們今天研究的課題:等比數(shù)列的前n項和公式.

    師:如果國王愿意加倍給大臣麥粒,此時國王需要準備多少麥粒呢?

    生2:這個簡單,每個格子都乘2就可以了,也就是2S=2+22+23+…+264②.

    師:你能算出國王多給大臣多少麥粒嗎?

    生3:②式與①式相減,得S=264-1.

    師:很好,這樣①式和②式中許多相同的項通過相減即可消除,我們將該方法稱為“錯位相減法”. 現(xiàn)在我們逐漸向一般化推廣:若公比為q,首項為1,等比數(shù)列的前n項和是什么?

    生4:S=1+q1+q2+…+qn-1③.

    師:很好. 這里的S如何求解呢?

    生5:qS=q1+q2+q3+…+qn④,④式與③式相減,得(q-1)S=qn-1,故S=.

    師:若等比數(shù)列的首項由“1”變?yōu)椤癮”,又該如何辦呢?

    學生通過模仿,輕松得到S=.

    師:我們也可以將S=記為S=. 注意,此時q≠1,當q=1時,S=na.

    師:除了應用錯位相減法外,你還能想出其他方法嗎?

    學生沉默,接下來在教師的提示和指導下,學生又找到了另外兩種推導的方法.

    從以上教學過程可以看出,教師借助具體情境為學生提供了解決問題的方案,降低了思維的難度,由特殊到一般的推廣符合學生的認知水平,易于學生理解和接受[1]. 但是該方法是教師直接拋出的,難免讓學生產生困惑,例如這里的“2”是教師直接給出的,沒有體現(xiàn)學生的思維過程:為什么是“2”呢?“2”是怎么出現(xiàn)的呢?雖然在一般化的證明中學生找到了解決問題的方案,但那僅是一種簡單的套用,自主探究流于形式,并沒有引發(fā)學生的深度思考,這樣學生只會對錯位相減法感到驚訝,難以產生深刻的印象,也難以重視;學生的思路被教師牽著走,難以激發(fā)探究熱情,難以體會自主探索帶來的成就感.

    另外,教學中教師鋪設了S,2S,求S時學生必然會選擇②-①,雖然①-②和②-①在本質上沒有區(qū)別,但是學生在沒有理解和掌握錯位相減法的前提下,若讓學生將兩式混減,無疑會增加學生的負擔,不利于培養(yǎng)學生錯位相減法常規(guī)操作習慣.

    不過,以上教學過程也有其一定的優(yōu)勢,對于學習能力一般的學生來說,通過教師鋪設方法的臺階,為學生提供探究線索,讓學生在由特殊到一般的推導過程中能夠“跳一跳,摘桃子”. 同時,在教師的點撥下,學生快速地找到了解決問題的方案,節(jié)省了學生探索的時間.

    2. 方案2(借助猜想,尋找思維臺階)

    通過課前導學,給出課題:如何求解S=1+2+22+…+263.

    師:1=21-1,1+2=3=22-1,1+2+22=?(學生積極參與)

    生1:1+2+22=7=23-1.

    師:很好,那么1+2+22+23=?

    生2:1+2+22+23=15=24-1.

    經(jīng)歷以上思維過程,由不完全歸納法,猜想得S=1+2+22+…+263=264-1. 教師繼續(xù)引導,猜想得1+2+22+…+2n-1=2n-1,30+31+32+…+3n-1=,40+41+42+…+4n-1=,繼而通過猜想得出一般的結論:q0+q1+q2+…+qn-1=(q≠1).

    這樣,通過以上猜想,等比數(shù)列的前n項求和公式呼之欲出——a+aq1+aq2+…+aqn-1=(q≠1). 最后,在教師的點撥和啟發(fā)下,運用錯位相減法進行驗證.

    數(shù)學猜想作為一種創(chuàng)造性的思維活動,是數(shù)學學習中最積極、最活躍的因素之一,是推動數(shù)學發(fā)展的強大動力. 在數(shù)學教學中,教師應創(chuàng)設一定條件引導學生進行數(shù)學猜想,以此發(fā)展學生的邏輯推理能力和總結概括能力,培養(yǎng)學生敢于創(chuàng)新、勇于探索的精神. 本課突出了“歸納—猜想—證明”的數(shù)學思想方法,激活了學生的認知結構. 通過試真推理,從結構分析獲得數(shù)學靈感,歸納猜想出了等比數(shù)列的前n項和公式,是一種較好的尋求結果的方法. 但是對于本課,學生通過猜想得到了結論,這樣讓學生失去了探究未知的熱情,有可能造成學生解決問題的內驅力不足,影響學生后續(xù)推理驗證的熱情,影響學生思維能力的發(fā)展和提升.

    3. 方案3(巧妙啟發(fā),為思維發(fā)展架橋鋪路)

    師:相信課前導學內容大家都已經(jīng)認真閱讀了,現(xiàn)在誰來說一說,每個格子所放的麥粒數(shù)可以看成什么數(shù)列?

    生1:首項為1、公比為2的等比數(shù)列.

    師:若想求出64個格子的麥粒數(shù)總和,其實質是求什么呢?

    生2:求這個等比數(shù)列的和,S=1+2+22+…+263.

    師:很好,如何算這個式子就是我們本節(jié)課研究的主題. 若將其符號化,即算S=a+a+a+…+a+a.

    師:在此之前,我們學習過什么數(shù)列的求和公式?

    學生齊聲答:等差數(shù)列.

    師:等差數(shù)列的求和公式是什么?(教師點名讓學生回答)

    生3:S==na+d.

    師:很好. 那么對于等比數(shù)列,我們能不能也像等差數(shù)列那樣,用已知的相關量將其簡潔地表示出來呢?

    師:我們學習過等比數(shù)列的定義及通項公式,并有等差數(shù)列的學習經(jīng)驗,那么運用這些已有知識和經(jīng)驗,你們是否能夠推導出等比數(shù)列的前n項和呢?(教師預留5分鐘讓學生合作探究)

    生4:根據(jù)定義可將S=a+a+a+…+a+a寫成S=a+aq+aq2+…+aqn-2+aqn-1①,兩邊同時乘q,得qS=aq+aq2+aq3+…+aqn-1+aqn②.

    師:同時乘q的目的是什么?(師追問)

    生4:獲得相同的項,由①-②得(1-q)S=a-aqn,所以S=(q≠1).

    師:很好,非常新穎,若q=1呢?

    生4:若q=1,則S=na.

    師:非常好的方法,我們一起回顧一下,以上推導有哪幾個關鍵的步驟呢?

    學生通過回顧一致認為,乘公比、錯位、相減為推導的關鍵. 此時學生的思維活躍,教師順勢讓學生嘗試應用其他方法繼續(xù)探究,但學生并沒有提出新方法,于是教師給出了另外一種推導方法:

    因為a=aq,a=aq,a=aq,…,a=aq,所以a+a+…+a+a=q(a+a+a+…+a),S-a=q(S-a),(1-q)S=a-aqn……

    在本課教學中,從學生的已有經(jīng)驗出發(fā),引導學生類比等差數(shù)列求和公式,尋找等比數(shù)列求和公式的推導方法,符合學生的認知結構特點和思維發(fā)展規(guī)律. 對于等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式的推導,雖然錯位方法不同,但是其數(shù)學思想和數(shù)學方法是一致的,因此與已有經(jīng)驗和方法相類比是行之有效的策略.

    在教師細致入微的引導下,讓學生的思維層層深入,通過合作探究完成了推導. 不過,讓學生嘗試應用其他方法進行推導,學生沒有太多的發(fā)現(xiàn),可見細致入微的引導在一定程度上限制了學生思維,影響了學生發(fā)展,為教學帶來了一些遺憾. 其實,在實際教學中,教師可以少講一些,多留一些時間和空間讓學生獨立思考和合作交流,這樣在不同思維的碰撞下,更易于激發(fā)學生思維的火花[2].

    4. 方案4(點撥思維,放手探究)

    課上教師引入故事“棋盤上的麥粒”.

    師:如果你是國王,你會答應這個要求嗎?

    學生齊聲答:不會.

    師:為什么?這個要求不高吧?不就是給點麥粒嗎?

    生1:這個要求還不高嗎?這個加起來很多的,一共需要給1+22+…+263.

    師:哦!是嗎?判斷多與少最好用數(shù)據(jù)來說話,這個算式應該怎么算呢?(提出問題)

    此時學生竊竊私語,有的說可以用計算器算,有的說應該用計算公式.

    師:如果通過計算器幫助國王解決了這個問題,又有其他人提出第一個格子放2顆麥粒,接下來每個格子都是前一個格子麥粒數(shù)的2倍,我們又該怎么辦呢?如果第一個格子放3粒呢?這些都是一些類似的問題,我們必須要找到一般的解決方法才能幫助國王徹底解決這個難題. 誰來概括一下,這些類似的問題是哪一類問題?

    生2:等比數(shù)列求和.

    師:很好,這樣把問題一般化,即求S=a+a+a+…+a+a. 對于這個問題,你認為我們可能遇到的最大障礙是什么?

    生3:量太多,需要將“無限”轉化為“有限”.

    師:說得很好,確實量太多了,由a到a共有n個量,如何才能減少這些量呢?之前我們是否接觸過類似的問題呢?

    生4:在推導等差數(shù)列求和公式時接觸過,同樣也有n個量,利用倒序相加的方法消項,最后轉化用a,n,d或a,a,d這三個基本量來表示.

    師:很好,那么對于等比數(shù)列的前n項和公式是否也可以轉化用三個基本量來表示呢?

    生5:用a,n,q表示S=a+aq+aq2+…+aqn-2+aqn-1①.

    師:轉化后項數(shù)還是太多了,如何消項呢?(點明思考方向)

    生6:根據(jù)定義=q,則aq=a(n≥2),這樣用定義推導是否可行呢?

    師:是一個不錯的思路,請大家圍繞定義進行探索,看看你有哪些發(fā)現(xiàn),看看是否能夠找到不同的推導方法.

    教師先讓學生獨立思考,3分鐘后進行小組互動交流.

    師:誰來和大家分享一下?

    生7:整體乘q,得qS=aq+aq2+aq3+…+aqn-1+aqn②.

    師:你的目的是什么?

    生7:乘公比后,①式和②式中就有許多相同的項,這樣兩式相減可消項. 由①-②得(1-q)S=a-aqn,S=(q≠1). 若q=1,則S=na.

    師:你是如何想到乘公比q的呢?

    生7:根據(jù)定義可知,a=aq,a=aq,…,a=aq,每一項乘q,這樣每一項就等于往后挪了一項.

    師:非常棒. 完成這一操作需要幾個步驟呢?

    生7:共有四個步驟:乘公比;錯位;相減;化簡.

    師:很好,生7的推導方法和課本不謀而合,這個方法我們稱為錯位相減法,非常完美的解法. 這樣目標就可以用a,n,q這三個量來表示了. 你們還有其他方法嗎?

    生8:因為==…==q,所以=q,=q……

    師:很好,利用合比定理,通過整體代換也實現(xiàn)了這一轉化,得到了求和公式. 有什么需要注意的嗎?

    生9:分類討論.

    師:這是從嚴謹性來考慮. 還有其他問題嗎?

    生10:以上為分式結構,要確保分母不能為0.

    生11:q為-1時,此方法也不適合.

    師:很好,還有其他方法嗎?

    生12:a+a+…+a+a=q(a+a+a+…+a),S-a=q(S-a),(1-q)S=a-aqn……

    生13:a=a+(a-a)+(a-a)+(a-a)+…+(a-a)=a+a(q-1)+a(q-1)+a(q-1)+…+a(q-1)=a+(q-1)(a+a+a+…+a)=a+(q-1)(S-a),所以可得S=

    ,q≠1,

    na,q=1.

    師:大家真是太棒了,通過構造、提取、整體代換,使公式轉化為基本量的最簡形式. 我想大家還有其他方法,但限于時間關系,這里就不一一探究了,課下同學們可以繼續(xù)交流,分享你們的奇思妙想.

    在本課教學中,教師通過創(chuàng)設問題使學生陷入矛盾,接下來通過啟發(fā)、點撥,讓學生在獨立思考和合作探究中得出結論. 教學中,學生每給出一種方法,教師都會提出自己的疑問,以誘發(fā)學生深度思考,培養(yǎng)他們思維的嚴謹性,幫助他們完善思維. 以上探究活動既是基于學生原有認知的一種建構,又是對學生思維的一種發(fā)展,讓學生在探究中學會思考、學會探索、學會合作.

    [?]后續(xù)思考

    1. 課堂教學應重視學生的認知規(guī)律和學習障礙,關注學生思維能力的發(fā)展和提升

    在錯位相減法生成的過程中,部分教師為了追求效率,在一定程度上忽視了學生的認知規(guī)律,教師牽著學生朝著自己預設的方向走,這樣雖然在教師的引領下得出了結論,但學生掌握的僅僅是解決這一問題的方法,并不能認清問題的本質,更不能將其提升至思維的高度,因此出現(xiàn)了“知其然,而不知所以然”的情況. 這樣的自主探究是被動的、低效的,難以促進學生的思維發(fā)展. 因此,在實際教學中,要為學生營造一個開放的學習空間,從學生的認知規(guī)律出發(fā),帶領學生切身經(jīng)歷方法的生成過程,明確思想方法,揭示思維本質,突破思維障礙,讓學生的數(shù)學思維走上自然發(fā)展之路[3].

    2. 課堂教學應以發(fā)展學生為目標,多一些啟發(fā)和引導,少一些講授和灌輸

    學生是課堂的主角,學生積極參與的課堂才是精彩的、有效的、高質的課堂. 但在實際教學中,教師成了大多課堂的主角,教學活動以教師為主,教師常將自己的經(jīng)驗和方法強加給學生,限制了學生的思維發(fā)展. 例如,在等比數(shù)列求和公式的推導活動中,對于多種解法應視學情而定:若是學生自行給出的,教師要為學生提供展示的舞臺;若學生發(fā)現(xiàn)得少,教師應通過適當引導和啟發(fā),讓學生“跳一跳”;若學生無法給出更多的解法,教師不要強求,只要學生能夠掌握一兩種解法即可. 教學中,教師切勿貪多,要視學情靈活調整教學策略,這樣讓學生真正參與其中,培養(yǎng)學生獨立思考、勇于探索的好品質.

    總之,在實際教學中應踐行“三個理解”,以發(fā)展學生為目標,為學生提供一個自由的、廣闊的學習空間,讓其自由翱翔.

    參考文獻:

    [1] ?劉雪亮. 構建生本課堂,促進學生發(fā)展——對高中數(shù)學課堂有效教學的認識思考[J]. 數(shù)學學習與研究,2015(11):62.

    [2] ?劉宇徹. 淺談探究式教學在高中數(shù)學教學中的應用[J]. 求知導刊,2021(10):75-76.

    [3] ?劉國旭. 探討互助式教學在高中數(shù)學課堂中的應用[J]. 中國校外教育,2019(26):137-138.

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