我“運動” 我快樂
——圖形變換在三角形中的應用

文／張曉東

（作者單位：江蘇省太倉市教師發(fā)展中心）

在初中數(shù)學中，代數(shù)有式子的恒等變形，幾何有圖形的變換，但其本質都是在變化中存在不變的量。圖形變換是初中數(shù)學研究圖形經常會碰到的問題，是幾何構圖的一種常見方法。初中階段我們經常用到的變換有平移、旋轉以及翻折，這三種變換貫穿初中幾何研究，是幾何圖形學習的重點，也是難點。

一、三角形的平移“運動”

例1如圖1，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=8，F(xiàn)是AB的中點。過點F作FE⊥AD，垂足為E。將△AEF沿點A到點B的方向平移，得到△A'E'F'。設P、P'分別是EF、E'F'的中點，當點A'與點B重合時，求四邊形PP'CD的面積。

圖1

【思路點撥】由已知條件，△AEF沿點A到點B的方向平移，得到△A'E'F'，且P、P'是對應點，再根據平移的性質可知PP'=AB=CD=AD=8，PP'∥AB∥CD，從而四邊形PP'CD是平行四邊形，于是可以考慮用平行四邊形的面積公式來計算面積。又由菱形ABCD，F(xiàn)是AB的中點，∠A=60°的條件，聯(lián)想到等腰三角形“三線合一”。因此，連接DF、DB，DF交PP'于點H（如圖2），可證明DF⊥PP'，求出DH即可計算出四邊形PP'CD的面積為。

圖2

【評注】平移變換是在平面內將一個圖形沿著一個方向平行移動得到另一個圖形的幾何變換。平移變換只是改變了圖形的位置，而圖形的大小和形狀是不會改變的，因而圖形上各點在移動的過程中方向不變（即平行）、距離不變（即線段相等），平移前后的兩個圖形是全等圖形。同學們如果掌握了這些平移的本質，那么解決三角形平移問題也就得心應手了。

二、三角形的旋轉“運動”

例2如圖3，正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點，∠EDF=45°，連接EF。將△DAE繞點D逆時針旋轉90°得到△DCM。若AE=1，求線段EF的長。

圖3

【思路點撥】由旋轉的性質可得DE=DM，CM=AE，∠EDM=90°。結合已知條件∠EDF=45°，可 得∠FDM=45°，再 由DF=DF，故△EDF≌△MDF，得FM=EF。不難發(fā)現(xiàn)Rt△EFB的三條邊中，EB=AB-AE=2 是已知的，EF、BF兩邊之間存在數(shù)量關系，所以可以根據勾股定理列方程求出EF。設EF=x，則FM=EF=x。因為AE=1，所以CM=1，可得FC=FM-CM=x-1，再根據正方形邊長為3，得BF=3-FC=4-x，通過列方程可求出EF=2.5。

【評注】旋轉變換是在平面內將一個圖形繞著某個定點順時針或逆時針旋轉一定的角度后得到另一個新的圖形。在解答三角形旋轉這種類型的數(shù)學問題時，同學們要注意掌握旋轉變換的性質，充分利用旋轉變換的基本特征：旋轉前后兩個三角形是全等三角形，而且在旋轉過程中所有的旋轉角都是相等的。我們要善于找到旋轉中的這兩個不變的元素，以此探求出問題的解決途徑。

三、三角形的翻折“運動”

例3如圖4，矩形ABCD中，AB=8，AD=12。將矩形折疊，使點A落在點P處，折痕為DE。若點P恰好在邊BC上，連接AP，求的值。

圖4

【思路點撥】由已知條件△ADE沿DE翻折，根據翻折的性質可得對稱點連線AP與對稱軸DE互相垂直，另外還能得到∠ADE=∠EDP。題目要我們求的值，可以考慮通過尋找和AP、DE兩條線段相關的兩個相似三角形來解決。Rt△DAE中，AP⊥DE，所以∠ADE=∠EAP，故Rt△DAE∽Rt△ABP。又因為AB=8，AD=12，利用相似三角形性質求出。

【評注】翻折變換又稱軸對稱變換，是指在平面內，以某直線為對稱軸，將某一圖形沿著這條對稱軸翻折而得到另一個新的圖形。翻折變換僅僅是圖形位置發(fā)生了改變，其圖形的大小保持不變。同學們在解題時，一方面要弄清翻折后圖形中不變的元素，結合全等三角形性質，使問題得以順利解答；另一方面要注意翻折中對稱軸與對稱點連線的垂直平分關系及角度的倍分關系。