折疊問題中的特殊三角形

文／黃曉曉

（作者單位：江蘇省太倉市沙溪實驗中學(xué)）

折疊問題是中考的熱點問題，也是難點問題。有的同學(xué)常常因為找不到解決問題的切入點，給解題帶來了不少麻煩。如何能夠一眼識別基本圖形，快速解決問題？這就需要利用好我們身邊的教材。

原題呈現(xiàn)（蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級上冊第63頁習(xí)題）如圖1，在一張長方形紙片上任意畫一條線段AB，將紙片沿線段AB折疊（如圖2），重疊部分的△ABC是等腰三角形嗎？試說明理由。

圖1

圖2

聽一聽：“怎么做？”

要證△ABC是等腰三角形，即證明其中兩邊相等，而要證兩邊相等，只需證明兩角相等即可。

解：△ABC是等腰三角形。

理由：由折疊的性質(zhì)可知∠BAD=∠BAC。

∵BC∥AD，

∴∠CBA=∠BAD，

∴∠CBA=∠BAC，

∴CA=CB，

∴△ABC為等腰三角形。

想一想：“為什么這樣做？”

一方面，數(shù)學(xué)習(xí)題是由教材上有限的知識通過遷移綜合得到的，因此，相關(guān)的知識源是解決問題的關(guān)鍵。追溯教材，我們發(fā)現(xiàn)，與等腰三角形有關(guān)的知識源主要有“軸對稱性質(zhì)”“全等三角形”“方程”等。

另一方面，根據(jù)隱含條件，我們?nèi)菀撞孪搿鰽BC為等腰三角形。而要證明等腰三角形，只要證明兩邊相等或兩角相等。本題要抓住題干中的隱含條件，尋找等腰三角形的判定條件。長方形給出兩邊平行的條件，可以得到兩角相等；折疊前后的圖形是全等的，抓住折疊中的不變量，發(fā)現(xiàn)兩角相等，最后利用等量代換得以證明。

說一說：“策略是什么？”

教材原題是通過折疊、平行兩個隱含條件找到兩角相等，證明兩邊相等，從而證明等腰三角形，由此，我們可以得到一個常用的數(shù)學(xué)結(jié)論：平行+平分=等腰。解決折疊問題，除了根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)外，還要能綜合利用數(shù)學(xué)模型及相關(guān)方法來解答。

變式操作與實踐：已知長方形紙片ABCD中，AD=3，AB=4。

操作一：如圖3，任意畫一條線段EF，將紙片沿EF折疊，使點B落到點B′的位置，EB′與CD交于點G。試說明重疊部分△EFG為等腰三角形。

圖3

操作二：如圖4，將紙片沿對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點H。求△B′HC的周長。

圖4

【解析】操作一的證明過程同教材原題。這里，我們看一下操作二的解法。

操作二：先證明△ADH≌△CB′H，從而得到DH=HB′，然后將△B′HC的周長轉(zhuǎn)化為B′C與DC的和即可。

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD=BC。

由翻折的性質(zhì)可得BC=CB′，

∠B′=∠B=90°，

∴AD=CB′，∠D=∠B′。

在△ADH和△CB′H中，

∴△B′HC的周長=B′C+B′H+HC=BC+DH+HC=7。

【點評】操作一同教材原題。操作二，改折痕的位置為矩形對角線。在解決操作二時，我們可以利用“平行+平分=等腰”這個結(jié)論給出三角形全等的一個條件B′H=DH，這是解題的突破口。操作二還可以得到一個結(jié)論：△ADH周長=△CB′H周長=矩形ABCD周長的一半。