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    折疊問題中的特殊三角形

    2022-04-20 05:01:10黃曉曉
    初中生世界 2022年15期
    關(guān)鍵詞:等腰三角紙片原題

    文/黃曉曉

    (作者單位:江蘇省太倉市沙溪實驗中學(xué))

    折疊問題是中考的熱點問題,也是難點問題。有的同學(xué)常常因為找不到解決問題的切入點,給解題帶來了不少麻煩。如何能夠一眼識別基本圖形,快速解決問題?這就需要利用好我們身邊的教材。

    原題呈現(xiàn)(蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級上冊第63頁習(xí)題)如圖1,在一張長方形紙片上任意畫一條線段AB,將紙片沿線段AB折疊(如圖2),重疊部分的△ABC是等腰三角形嗎?試說明理由。

    圖1

    圖2

    聽一聽:“怎么做?”

    要證△ABC是等腰三角形,即證明其中兩邊相等,而要證兩邊相等,只需證明兩角相等即可。

    解:△ABC是等腰三角形。

    理由:由折疊的性質(zhì)可知∠BAD=∠BAC。

    ∵BC∥AD,

    ∴∠CBA=∠BAD,

    ∴∠CBA=∠BAC,

    ∴CA=CB,

    ∴△ABC為等腰三角形。

    想一想:“為什么這樣做?”

    一方面,數(shù)學(xué)習(xí)題是由教材上有限的知識通過遷移綜合得到的,因此,相關(guān)的知識源是解決問題的關(guān)鍵。追溯教材,我們發(fā)現(xiàn),與等腰三角形有關(guān)的知識源主要有“軸對稱性質(zhì)”“全等三角形”“方程”等。

    另一方面,根據(jù)隱含條件,我們?nèi)菀撞孪搿鰽BC為等腰三角形。而要證明等腰三角形,只要證明兩邊相等或兩角相等。本題要抓住題干中的隱含條件,尋找等腰三角形的判定條件。長方形給出兩邊平行的條件,可以得到兩角相等;折疊前后的圖形是全等的,抓住折疊中的不變量,發(fā)現(xiàn)兩角相等,最后利用等量代換得以證明。

    說一說:“策略是什么?”

    教材原題是通過折疊、平行兩個隱含條件找到兩角相等,證明兩邊相等,從而證明等腰三角形,由此,我們可以得到一個常用的數(shù)學(xué)結(jié)論:平行+平分=等腰。解決折疊問題,除了根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)外,還要能綜合利用數(shù)學(xué)模型及相關(guān)方法來解答。

    變式操作與實踐:已知長方形紙片ABCD中,AD=3,AB=4。

    操作一:如圖3,任意畫一條線段EF,將紙片沿EF折疊,使點B落到點B′的位置,EB′與CD交于點G。試說明重疊部分△EFG為等腰三角形。

    圖3

    操作二:如圖4,將紙片沿對角線AC折疊,使點B落到點B′的位置,AB′與CD交于點H。求△B′HC的周長。

    圖4

    【解析】操作一的證明過程同教材原題。這里,我們看一下操作二的解法。

    操作二:先證明△ADH≌△CB′H,從而得到DH=HB′,然后將△B′HC的周長轉(zhuǎn)化為B′C與DC的和即可。

    ∵四邊形ABCD為矩形,

    ∴AD=BC。

    由翻折的性質(zhì)可得BC=CB′,

    ∠B′=∠B=90°,

    ∴AD=CB′,∠D=∠B′。

    在△ADH和△CB′H中,

    ∴△B′HC的周長=B′C+B′H+HC=BC+DH+HC=7。

    【點評】操作一同教材原題。操作二,改折痕的位置為矩形對角線。在解決操作二時,我們可以利用“平行+平分=等腰”這個結(jié)論給出三角形全等的一個條件B′H=DH,這是解題的突破口。操作二還可以得到一個結(jié)論:△ADH周長=△CB′H周長=矩形ABCD周長的一半。

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