圍繞學(xué)科大概念備好數(shù)學(xué)課

馬燕青 呂增鋒

摘要：圍繞學(xué)科大概念開展數(shù)學(xué)教學(xué)，首先要圍繞學(xué)科大概念備好數(shù)學(xué)課。為此，可以圍繞學(xué)科大概念的層級領(lǐng)悟編寫思路，圍繞學(xué)科大概念的內(nèi)容指向分析教學(xué)內(nèi)容，圍繞學(xué)科大概念的育人宗旨定位教學(xué)目標(biāo)，圍繞學(xué)科大概念的生活價值優(yōu)化教學(xué)設(shè)計。

關(guān)鍵詞：學(xué)科大概念;數(shù)學(xué)大概念;數(shù)學(xué)教學(xué);備課

本文系浙江省寧波市2021年教育科學(xué)規(guī)劃重點課題“大概念視角下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)的研究”（編號：2021YZD079）的階段性研究成果。學(xué)科大概念又稱學(xué)科大觀念，是指從學(xué)科內(nèi)容中抽象概括出來的，具有廣泛聯(lián)系整合作用，并能夠廣泛遷移應(yīng)用的概念或觀點華志遠(yuǎn).落實“大概念”教學(xué)理念——對高中數(shù)學(xué)新教材中三角函數(shù)定義變更的思考與教學(xué)[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2021（1）：75。。它處于學(xué)科的中心位置，對學(xué)科其他內(nèi)容具有統(tǒng)攝力、關(guān)聯(lián)性，集中反映學(xué)科的本質(zhì)，體現(xiàn)學(xué)科的思想方法（或者說學(xué)科專家的思維方式），凸顯學(xué)科的價值，兼具認(rèn)識論、方法論和價值論三重意義。因此，圍繞學(xué)科大概念開展學(xué)科教學(xué)，能夠幫助學(xué)生整體把握學(xué)科內(nèi)容，形成良好的知識結(jié)構(gòu)，深入理解學(xué)科本質(zhì)，體悟?qū)W科思想方法，感受學(xué)科價值，獲得“帶得走”的素養(yǎng)。

備課是教學(xué)工作的重要環(huán)節(jié)。本文重點就如何圍繞學(xué)科大概念備好數(shù)學(xué)課，談幾點思考。

一、圍繞學(xué)科大概念的層級，領(lǐng)悟編寫思路

備課首先要分析教材。在具體分析教材內(nèi)容之前，要整體分析教材編寫思路。對此，可圍繞學(xué)科大概念的層級展開。

學(xué)科大概念是有層級的——或者說，“大”是相對的。一般可以分為課程大概念、單元大概念和課時大概念——也就是粗略地分為大、中、小三個層級。它們分別居于課程（或?qū)W科）、單元（或?qū)W科分支）、課時的中心位置，統(tǒng)攝下一層級、關(guān)聯(lián)這一層級的內(nèi)容，形成相應(yīng)的結(jié)構(gòu)體系，在避免內(nèi)容零散、龐雜的同時，幫助學(xué)生建立看待系統(tǒng)整體的“透鏡”頓繼安，何彩霞.大概念統(tǒng)攝下的單元教學(xué)設(shè)計[J].基礎(chǔ)教育課程，2019（8）：7。。這里，需要指出的是，居于中間層級的單元還可以繼續(xù)分為具有相對大小的若干層級，如指向課程中主題或模塊的大單元和指向教材中章節(jié)的小單元;這些大大小小的單元中，也有相應(yīng)的大概念。

人教A版高中數(shù)學(xué)教材的編寫就是圍繞學(xué)科大概念的層級依次展開的。首先，在“四基”“四能”“三會”“六核”等課程大概念的統(tǒng)攝下，形成了編寫教材的主線，構(gòu)建了以“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“概率與統(tǒng)計”“數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動”為主題的四個大單元。接著，從課程大概念出發(fā)，衍生出組織大單元內(nèi)容的大單元大概念，如“函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的重要模型”“函數(shù)是一種映射”“函數(shù)思想貫穿高中數(shù)學(xué)始終”等“函數(shù)”大單元大概念，把“三角函數(shù)”“數(shù)列”“導(dǎo)數(shù)”等小單元內(nèi)容也都納入“函數(shù)”大單元中。然后，在大單元大概念的基礎(chǔ)上，繼續(xù)衍生出小單元大概念，如“三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的函數(shù)模型”“數(shù)列是一類特殊的函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)可以度量變化的快慢”等。接著，把小單元大概念進(jìn)一步細(xì)化為課時大概念，如“單位圓是研究三角函數(shù)的工具”“等差數(shù)列的通項公式是一次函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)就是瞬時變化率”等。最后，圍繞課時大概念組織每一課的教學(xué)內(nèi)容。

二、圍繞學(xué)科大概念的內(nèi)容指向，分析教學(xué)內(nèi)容

教學(xué)內(nèi)容分析是教學(xué)目標(biāo)確定和過程設(shè)計的基礎(chǔ)。教學(xué)內(nèi)容分析是否到位，不僅關(guān)系到能否真正發(fā)揮教材的作用，更會直接影響課堂教學(xué)的質(zhì)量。圍繞學(xué)科大概念的內(nèi)容指向分析教學(xué)內(nèi)容，能夠解決邏輯混亂、顧此失彼、視角單一等問題，從而實現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容分析的完整化、系統(tǒng)化。

按照內(nèi)容指向，學(xué)科大概念通?？梢苑譃橹赶颉笆鞘裁础钡拇蟾拍睢⒅赶颉盀槭裁础钡拇蟾拍?、指向“怎么樣”的大概念。這些指向一般既有“明指”，又有“暗指”。比如，“數(shù)學(xué)是思維的體操”明指“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為了什么”，暗指“數(shù)學(xué)教學(xué)要發(fā)展學(xué)生的思維”。又如，“函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線”明指“函數(shù)是什么”，暗指“函數(shù)思想的主線作用”。因此，讀懂學(xué)科大概念的內(nèi)容指向有助于更好地理解學(xué)科內(nèi)容。

具體到數(shù)學(xué)學(xué)科，可以從“是什么”“為什么”“怎么樣”三個維度依次展開分析。第一步，分別確定指向這三個維度的學(xué)科大概念。數(shù)學(xué)研究對象的多樣性決定了指向“是什么”的大概念的豐富性，常見的有“數(shù)學(xué)是模型”“數(shù)學(xué)是工具”“數(shù)學(xué)是運算”“數(shù)學(xué)是推理”等;而指向“為什么”的大概念可以是“數(shù)學(xué)有用”“數(shù)學(xué)是聯(lián)系的”;指向“怎么樣”的大概念一般就是“數(shù)學(xué)具有育人功能”。第二步，以指向三個維度的大概念為基點，衍生出一系列的“小概念”。第三步，以“小概念”為線索與切入口，對教學(xué)內(nèi)容做細(xì)致剖析。

例如，分析“平面向量的數(shù)量積”內(nèi)容時，可以從“向量是一種運算”這一指向“是什么”的大概念出發(fā)，分析平面向量數(shù)量積的“運算背景”“運算規(guī)則”和“運算的幾何意義”;從“數(shù)學(xué)是聯(lián)系的”這一指向“為什么”的大概念出發(fā)，分析平面向量數(shù)量積“與線性運算的聯(lián)系”“與生活的聯(lián)系”“與物理的聯(lián)系”;從“數(shù)學(xué)具有育人功能”這一指向“怎么樣”的大概念出發(fā)，分析平面向量數(shù)量積的“認(rèn)知功能”“德育功能”和“蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)”。最后，經(jīng)過有序的組織與整合，可使“平面向量的數(shù)量積”的內(nèi)容分析水到渠成。

本節(jié)課，學(xué)生在學(xué)習(xí)了向量的概念及線性運算的基礎(chǔ)上，通過物理中的“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，了解平面向量數(shù)量積的運算背景、運算發(fā)展（運算的幾何意義）。向量運算是“帶有方向的量的運算”，不僅要考慮大小，而且要考慮方向。向量線性運算的結(jié)果還是向量，而數(shù)量積的運算結(jié)果是數(shù)量;向量線性運算是封閉的，而數(shù)量積運算不封閉。數(shù)量積的這兩大特征是學(xué)生以往經(jīng)歷中所沒有的。新教材刪去了用“向量的投影”來定義數(shù)量積幾何意義的做法，因為投影的本意是指圖形的影子投到一個面或一條線上，而向量的“投影”卻是一個“可正可負(fù)”的數(shù)量，容易造成學(xué)生認(rèn)知上的障礙。取而代之的是，新教材引入了“投影向量”來直觀呈現(xiàn)數(shù)量積的本質(zhì)。相比“向量的投影”，“投影向量”與“平面向量基本定理”“正交分解”自然關(guān)聯(lián)，與向量數(shù)量積的物理背景聯(lián)系緊密——只有跟位移共線的力，才真正在做功。平面向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)運算的發(fā)展是外部需求與內(nèi)部完善共同作用的結(jié)果，同時對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng)具有重要意義。

三、圍繞學(xué)科大概念的育人宗旨，定位教學(xué)目標(biāo)

隨著時代的發(fā)展與教育的變革，教學(xué)目標(biāo)的內(nèi)涵與外延也在發(fā)生變化。通常所說的教學(xué)目標(biāo)指的是課時目標(biāo)，即在一節(jié)課中，通過怎樣的路徑和方式讓學(xué)生掌握相關(guān)的知識與技能。但隨著單元教學(xué)及研究的興起，由單元教學(xué)目標(biāo)細(xì)化得到課時目標(biāo)的做法成為主流。不僅如此，教學(xué)目標(biāo)關(guān)注的內(nèi)容也越來越多，由原先關(guān)注“雙基”到后來關(guān)注“三基”，再到現(xiàn)在“四基”“四能”“三維目標(biāo)”“核心素養(yǎng)”等都要關(guān)注。這些變化帶來的直接影響就是，增加了教師準(zhǔn)確定位教學(xué)目標(biāo)的難度。

從某種程度上講，學(xué)科大概念本身就是對課程標(biāo)準(zhǔn)、核心素養(yǎng)、教學(xué)重難點、評價標(biāo)準(zhǔn)等深度提煉的結(jié)晶，其展現(xiàn)出來的育人宗旨可以作為制訂教學(xué)目標(biāo)的“標(biāo)桿”。學(xué)科大概念的育人宗旨是“形成專家思維”。何為“專家思維”？它有兩大特點：一是專家頭腦中的知識是靠大概念組織起來的，這反映的是專家對學(xué)科的理解深度;二是專家頭腦中的知識結(jié)構(gòu)具有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，專家能夠根據(jù)知識之間的關(guān)系以及知識與現(xiàn)象、與情境的關(guān)聯(lián)程度，把知識有序地“安放”在結(jié)構(gòu)框架中，進(jìn)而能夠根據(jù)任務(wù)需求，熟練調(diào)用相關(guān)的知識。

對于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，專家思維通常指的就是學(xué)習(xí)（研究）數(shù)學(xué)的各種“套路”。比如，研究數(shù)學(xué)對象常按照“背景—定義—表示—性質(zhì)—應(yīng)用”的“套路”展開;認(rèn)識新的數(shù)學(xué)對象常按照“體會必要性—感受合理性—驗證科學(xué)性—展現(xiàn)先進(jìn)性” 的“套路”展開;學(xué)習(xí)公式、定理的“套路”之一是“發(fā)現(xiàn)—猜想—驗證—應(yīng)用”;學(xué)習(xí)立體幾何中性質(zhì)、判定的“套路”之一是“觀察生活現(xiàn)象—抽象數(shù)學(xué)原理—定理辨析內(nèi)化”。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的制訂可圍繞數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“套路”獲取的方法與路徑詳細(xì)展開。這樣，既可以避免陷入課時目標(biāo)與單元目標(biāo)的糾纏之中，又可以確保教學(xué)目標(biāo)定位的高度與準(zhǔn)度。

例如，《平面向量的數(shù)量積》這節(jié)課，教學(xué)目標(biāo)通常這樣闡述：通過物理中的“功”等實例，給出向量數(shù)量積的概念，并能解釋其物理意義與幾何意義;類比向量線性運算的性質(zhì)提出數(shù)量積的運算律，并能進(jìn)行證明。而如果從培養(yǎng)“向量運算”專家思維這一宗旨出發(fā)，按照學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運算的“套路”，即“運算背景—運算規(guī)則—運算的幾何意義”，教學(xué)目標(biāo)就可以這樣闡述：了解數(shù)量積產(chǎn)生的物理背景與數(shù)學(xué)背景，體會數(shù)量積運算與向量線性運算在運算規(guī)則上的差異，理解數(shù)量積運算的獨特性，知道向量投影與投影向量的聯(lián)系。不難發(fā)現(xiàn)，圍繞學(xué)科大概念育人宗旨制訂的教學(xué)目標(biāo)更具整體性與連續(xù)性。

四、圍繞學(xué)科大概念的生活價值，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計

教學(xué)設(shè)計要以教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)為基礎(chǔ)。圍繞學(xué)科大概念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，是復(fù)雜、多維的。這里重點談?wù)剬W(xué)科大概念中容易因為學(xué)科價值而被忽略的生活價值。

如何恰當(dāng)處理科學(xué)世界和生活世界之間的關(guān)系，是困擾教育改革的一個基本問題。隨著課程改革的推進(jìn)，數(shù)學(xué)教育要使學(xué)生學(xué)會“解決真實情境中的問題”早已成為共識。只不過，在實際操作中沒有嚴(yán)格按照這個“共識”進(jìn)行，從而導(dǎo)致人們對數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活關(guān)系的“誤會”依舊存在。

具體到數(shù)學(xué)學(xué)科，不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)科大概念中既有科學(xué)理性的成分，又有生活感性的體驗。如，“數(shù)學(xué)是有用的”“數(shù)學(xué)是聯(lián)系的”“數(shù)學(xué)是一種文化”“三角函數(shù)是刻畫圓周運動的重要模型”等，無不在向世人訴說“數(shù)學(xué)與真實世界是連通的”。因此，展現(xiàn)學(xué)科大概念生活價值的關(guān)鍵就是構(gòu)建知識與真實世界的關(guān)聯(lián)，在真實、具體情境中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新能力。

例如，引入“平面向量的數(shù)量積”，絕大部分教師是借助物理中“功”的定義：W=Fs，因為力F與位移s都是矢量（向量），而功W是數(shù)量，因此，存在一種運算對象都是向量，而運算結(jié)果是數(shù)量的運算，即數(shù)量積?！叭詢烧Z”，數(shù)量積的定義就出來了。但是，很多教師根本沒有了解過什么是“功”以及學(xué)生對“功”的認(rèn)知程度。事實上，初中物理（科學(xué)）中就有“功”的概念，但僅僅局限于力F與位移s共線的情景;高中物理中雖然有了“功”的一般定義，但對其運算的原理并沒有詳細(xì)解釋;而且，物理的教學(xué)進(jìn)度與數(shù)學(xué)不同步，數(shù)學(xué)課教“平面向量的數(shù)量積”時，物理課常常還沒開始教“功”這塊內(nèi)容。以學(xué)生原本就不是非常熟悉的概念來引出另一個陌生的概念，邏輯上講不通。

對這樣的引入方式，可以圍繞學(xué)科大概念的生活價值來優(yōu)化。一種優(yōu)化方法是，組織學(xué)生對“功”進(jìn)行一次真正的學(xué)習(xí)，圍繞“功是能量改變的量度”這個大概念把“功”的來龍去脈搞清楚，那么，平面向量的數(shù)量積自然也就清楚了。另一種優(yōu)化方法是，先讓學(xué)生學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示，圍繞“向量坐標(biāo)運算”這個大概念對數(shù)量積運算進(jìn)行重構(gòu)。例如，顧客甲買了數(shù)學(xué)書x1本，語文書y1本，則顧客甲買書的情況是（x1，y1），顧客乙買了數(shù)學(xué)書x2本，語文書y2本，則顧客乙買書的情況是（x2，y2），那么，甲乙兩人買書的情況可以用數(shù)對（x1+x2，y1+y2）來表示，這就是向量加法的坐標(biāo)形式。同理，數(shù)量積運算就可以這樣定義：若數(shù)學(xué)書x2元/本，語文書y2元/本，則書的單價可以表示為（x2，y2），這樣，顧客甲買數(shù)學(xué)書和語文書一共花的錢為x1x2+y1y2，即（x1，y1）·（x2，y2）=x1x2+y1y2。

當(dāng)然，圍繞學(xué)科大概念的備課是一個多階段、多層次、多維度的過程性與結(jié)果性議題。備課的基本原則就是以學(xué)科大概念作為凸顯學(xué)科本質(zhì)、思想和價值的聚集點，為教師的教學(xué)提供事實與理論依據(jù)，同時賦予學(xué)生的學(xué)習(xí)以新的意義，使得學(xué)科大概念在學(xué)生未來的發(fā)展中發(fā)生持續(xù)的作用。