在轉(zhuǎn)換中化難為簡

陳濤

摘 要：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)在發(fā)展的過程中所積累下來的精髓，和數(shù)學(xué)知識一起構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)的整個系統(tǒng)，而數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)思想方法的重要組成，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中占據(jù)著十分重要的地位。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，由于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高、教學(xué)內(nèi)容過于抽象等原因，存在著教學(xué)質(zhì)量不佳的情況，因此，為了改善高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，教師要加強教學(xué)中對數(shù)形結(jié)合思想方法的挖掘，引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系和幾何圖形之間的有效轉(zhuǎn)化，幫助學(xué)生深入探尋數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);化難為簡;數(shù)形結(jié)合;函數(shù)教學(xué)

中圖分類號：G633.6?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2022）02-0056-04

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要部分，對學(xué)生數(shù)學(xué)知識框架的確立具有十分重大的影響，而盡管從初中數(shù)學(xué)教學(xué)起就一直在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的知識和方法，但是函數(shù)知識的抽象性和晦澀難懂的特點，導(dǎo)致學(xué)生無法真正了解函數(shù)的表達意義，從而導(dǎo)致了高中數(shù)學(xué)函數(shù)課堂效率不理想的現(xiàn)狀。對此，通過在函數(shù)教學(xué)中加強對數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，可以將抽象的函數(shù)知識轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生容易接受的直觀形象，使學(xué)生可以使用形象思維來認識問題，達到化難為簡的作用，有助于提升教學(xué)的質(zhì)量。

一、 高中數(shù)形結(jié)合教學(xué)現(xiàn)狀

（一）在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的運用不夠全面

在高中數(shù)學(xué)的課堂教育中，教師對于數(shù)形結(jié)合的運用以及理解認知都不夠全面，這也就會影響課堂的教學(xué)成果，據(jù)了解目前很多教師對于高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合知識了解得還不夠透徹。如果再遇到課堂數(shù)學(xué)解題的過程中，教師沒有理解數(shù)形結(jié)合這一方法的本質(zhì)，那么可能會導(dǎo)致學(xué)生在了解數(shù)形結(jié)合的初步階段就遇到阻礙，不能夠完全對幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)換角度進行合理的分析，繼而學(xué)生的思維也會受到限制。

（二）高中學(xué)生無法完全掌握數(shù)形結(jié)合的方法

每一個學(xué)生受到的教育以及成長環(huán)境不同，對于知識的理解程度也不同，這使得學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的理解會產(chǎn)生差異，許多學(xué)生沒有完全掌握數(shù)形結(jié)合的解題方法，無法從思想上認識到數(shù)形結(jié)合的重要性，這也使得學(xué)生沒有辦法靈活地運用數(shù)形結(jié)合來思考數(shù)學(xué)問題以及解決問題。那么，數(shù)學(xué)難題中的一些隱藏信息就無法被挖掘出來，這會嚴重地影響到學(xué)生的自主學(xué)習(xí)的能力。

二、 數(shù)形結(jié)合思想的原則分析

（一）等價性原則

和枯燥的數(shù)學(xué)理論知識相比較，數(shù)形結(jié)合法也在一定程度上降低了理解知識的難度，并且圖像和圖形的變換過程還可以吸引學(xué)生的注意力，讓他們更有興趣去探索數(shù)學(xué)知識。在整個過程中，學(xué)生的思維被有效地調(diào)動了起來，而且教師可以用其他的方法，比如說運用一些生活中常見的物體來展現(xiàn)這些圖形，幫助學(xué)生分析直線位置變化的情況以及直線與圓之間的位置關(guān)系。這種方式不僅可以吸引學(xué)生的注意力，而且將理論和實踐相結(jié)合，學(xué)生也會更快地掌握知識內(nèi)容，整個課堂也會變得非?；钴S，可以進一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣。

數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與幾何圖像之間的轉(zhuǎn)化，從而換一種思路來思考或者解決問題。因此，要想實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的目的，就必須要遵循等價性的原則，也就是確保轉(zhuǎn)化出的圖像或者數(shù)量必須具有一致性，不影響問題的解決。

比如，針對“x15=4sinx有幾個實根”這個問題，學(xué)生在解決的過程中可以首先對問題進行轉(zhuǎn)化，得到y(tǒng)=x15和y=4sinx這兩個函數(shù)，并且，通過直接觀察就可以得到，這兩個函數(shù)都是奇函數(shù)，所以在畫圖的過程中只需要考慮右半軸的圖像繪制即可。而要想得到正確的結(jié)論，就需要學(xué)生繪制出標準的圖像，完整地找到兩個函數(shù)圖像之間的交點，不然就會導(dǎo)致錯誤的發(fā)生。

（二）雙向性原則

高中的數(shù)學(xué)知識在一定程度上存在著內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性。在教學(xué)過程中知識點之間的聯(lián)系不會被刻意放大，所以在高中學(xué)生的腦海里，這些知識點都是被打亂的，學(xué)生很難通過自己的能力去探索數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系。這就需要通過數(shù)形結(jié)合法將數(shù)學(xué)知識進行有效的銜接，讓學(xué)生的腦海里可以形成一個完整的知識體系。高中數(shù)學(xué)知識具有復(fù)雜性和抽象性，學(xué)習(xí)起來比較困難，很多學(xué)生都會因為無法理解高中數(shù)學(xué)知識，產(chǎn)生心理落差。在這個時候教師更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合法去理解這些數(shù)學(xué)難題，讓他們對數(shù)學(xué)知識的理解從簡單到難形成一個合理的過渡。

數(shù)形結(jié)合思想的使用給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了很多的便利，成為學(xué)生十分喜愛的一種問題解決方式。但是在實際的教學(xué)中，我們可以發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的理解還不夠透徹，認為數(shù)形結(jié)合就是用畫圖像的方式來解決問題，這種思想將“形”的價值體現(xiàn)了出來，卻忽視了數(shù)形結(jié)合中“數(shù)”的價值和“結(jié)合”的內(nèi)涵，從而導(dǎo)致了學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用不夠理想的情況。數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，因此，在運用數(shù)形結(jié)合來解決問題的過程中，學(xué)生必須認識到數(shù)量關(guān)系和圖像之間的轉(zhuǎn)換是雙向的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之美。

以如下問題為例：假設(shè)目標函數(shù)當(dāng)中的兩個變量x和y滿足數(shù)量關(guān)系{x|2y-5x≤0;x-y-2≤0;x≥0}，那么目標函數(shù)z=4x+6y+1的最大值是多少？要想使用數(shù)形結(jié)合的思想來解決這個問題，首先就需要學(xué)生對題目當(dāng)中的目標函數(shù)進行處理，轉(zhuǎn)變成為我們熟悉的“y=”的形式，之后再根據(jù)轉(zhuǎn)化得到的結(jié)論來進行畫圖，根據(jù)函數(shù)最值的理論知識來快速地解決問題。這樣，在這道問題中，學(xué)生一方面可以感受幾何圖像直觀的優(yōu)勢，另一方面也可以體會到精確運算的簡潔之美，這正是數(shù)形結(jié)合的魅力所在。

（三）簡單性原則

數(shù)形結(jié)合可以更加直觀地反映數(shù)學(xué)思想，高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中靈活地運用數(shù)形結(jié)合法具有重要意義。它可以讓學(xué)生更加快速地掌握數(shù)學(xué)知識，進而提高學(xué)生的綜合能力和素養(yǎng)，在解題的過程中，學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合法可以拓展數(shù)學(xué)思維，尤其是在學(xué)習(xí)幾何知識點時。通過運用數(shù)形結(jié)合可以快速有效地分析出數(shù)學(xué)題目，找出其中的關(guān)鍵點，并且進一步解出答案，在一定程度上降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的難度。數(shù)形結(jié)合解題方法是高中時期大大小小考試的高頻考點。現(xiàn)如今，全國數(shù)學(xué)高考大綱紛紛指向?qū)W生數(shù)學(xué)思維邏輯的培養(yǎng)。從新課程標準對思維能力的要求來看，數(shù)形結(jié)合思想能幫助學(xué)生樹立現(xiàn)代思維意識。為充分轉(zhuǎn)化高中生僵化的思維邏輯及解題思路，我們教師必須要教會學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合。

其實最能夠體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合方法的就是函數(shù)方程。很多學(xué)生在解決函數(shù)問題的過程中會產(chǎn)生厭煩的情緒，這是因為學(xué)生首先想到的是自己將要進行大量的數(shù)學(xué)運算，而數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的直接應(yīng)用目的就是幫助學(xué)生更加便捷地解決問題，使學(xué)生可以擺脫過多的運算步驟，用簡單直接的方法去解決問題，提高學(xué)生思考問題的效率，展示數(shù)學(xué)的簡潔之美。

比如，針對函數(shù)問題：y=ax-x-a（a>0并且a≠1），y有兩個零點，那么a的取值范圍是？如果學(xué)生首先想要使用運算的方式去解決問題，那么很容易走進“死胡同”，找不到解題的思路，但是如果想到了數(shù)形結(jié)合思想，則可以對題目當(dāng)中的函數(shù)進行處理，轉(zhuǎn)化出g（x）=ax（a>0并且a≠1）和 h（x）=x+a這兩個新的函數(shù)，接下來只需要通過分類的方式畫出兩個函數(shù)在同一坐標系當(dāng)中的圖像，就可以很快地得出結(jié)論。

三、 數(shù)形結(jié)合思想在高中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用途徑

（一）在函數(shù)新知初探中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中一步步地體現(xiàn)出它的優(yōu)勢，但是在實際的運用過程中，仍然存在一些問題。比如說，教師對于數(shù)形結(jié)合法的理解不夠透徹，這導(dǎo)致了學(xué)生無法正確地理解它的使用方法。因此教師需要全面理解數(shù)形結(jié)合法，并且找出其中問題的存在，對教學(xué)的內(nèi)容進行相應(yīng)的調(diào)整，使得數(shù)形結(jié)合法發(fā)揮出真正的作用?；A(chǔ)決定上層建筑，學(xué)生在剛開始學(xué)習(xí)函數(shù)知識時如果形成了良好的數(shù)形結(jié)合意識，則可以為后續(xù)解決更多的問題奠定扎實的基礎(chǔ)，極大地提升學(xué)生在整個高中時期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。

比如，在教學(xué)“集合的含義與表示”這一節(jié)內(nèi)容時，學(xué)生對知識的掌握將會直接影響到學(xué)生對函數(shù)定義的理解，對后續(xù)的教學(xué)至關(guān)重要。因此，教師絕不能滿足于學(xué)生對集合概念的機械式記憶，而是要讓學(xué)生從多個角度進行探索，充分地消化吸收集合的概念。首先，在學(xué)生簡單了解了集合的定義之后，筆者向?qū)W生提出了一個問題：現(xiàn)在有兩個集合，集合A={1，2，3}，集合B={1，2，3，4，5}，那么你們猜一猜下面的哪張圖可以用來表示這兩個集合之間的關(guān)系？然后在黑板上給學(xué)生畫出了兩張圖像，一張圖像是集合B包裹著集合A，另一張是集合A包裹著集合B。學(xué)生很快說出第一張圖像是正確的。這樣，就引申出了韋恩圖的概念。之后，筆者接著讓學(xué)生思考：為什么會發(fā)明出韋恩圖這種表達方式呢？從而引導(dǎo)學(xué)生去思考數(shù)形結(jié)合的意義，使學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合在解決問題上的優(yōu)越性，在層層遞進的探索中獲得一次成功的數(shù)形結(jié)合體驗，為學(xué)生后續(xù)在函數(shù)學(xué)習(xí)中深入使用數(shù)形結(jié)合思想奠定好基礎(chǔ)。

（二）在尋求解題方法中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

解決問題是在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的主要路徑，對于鞏固學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識大有幫助。數(shù)量關(guān)系和幾何圖形是數(shù)學(xué)研究的兩個主要對象，幾乎所有的函數(shù)問題都和數(shù)形結(jié)合有著一定的聯(lián)系。因此，在引導(dǎo)學(xué)生探索函數(shù)問題解決方法的過程中，教師一定要將數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思路，對學(xué)生進行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，加深學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的印象，取得更好的問題解決策略。

比如，在復(fù)習(xí)“三角函數(shù)”知識的過程中，筆者在練習(xí)課上給學(xué)生展示了一道問題：求出函數(shù)y=sinx+2cosx-2的值域。這個問題看起來很簡單，但是其中蘊含著的數(shù)學(xué)知識點卻十分豐富，可以作為鍛煉學(xué)生解題能力的經(jīng)典題型。在學(xué)生了解題目的內(nèi)容和要求之后，我首先讓學(xué)生使用自己喜歡的方法去解決問題，最后發(fā)現(xiàn)班級里一共出現(xiàn)了兩種解題思路，一種是代數(shù)的方法，學(xué)生通過對函數(shù)y進行變形，利用三角函數(shù)的有界性性質(zhì)來解決問題;另一種就是數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生通過繪制相關(guān)的圖像，利用斜率的知識來解決了問題。在展示出了學(xué)生的想法之后，筆者和學(xué)生一起對兩種思路的特點和適用性進行分析，讓學(xué)生對如何使用幾何圖形來促進數(shù)量關(guān)系的解決產(chǎn)生更加深刻的認識。

（三）在知識歸納總結(jié)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

知識是數(shù)學(xué)思想方法的載體，因此，在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，更多的是體現(xiàn)在知識性的教學(xué)中。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的函數(shù)知識是按照一定的順序被編排在教材上的，但是數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)知識中的體現(xiàn)卻比較的分散，因此，教師還需要從知識歸納的角度來引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生形成廣泛應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的意識，從而發(fā)揮出數(shù)形結(jié)合思想的核心作用。

比如，在高三階段針對函數(shù)知識進行復(fù)習(xí)的過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生進行了一次類似頭腦風(fēng)暴的活動，讓學(xué)生說一說自己印象當(dāng)中在函數(shù)知識學(xué)習(xí)或者解題過程中會用到數(shù)形結(jié)合思想的地方。這樣的活動引起了學(xué)生的好奇心，學(xué)生開始說出自己的經(jīng)驗，包括解決三角函數(shù)時應(yīng)用到的數(shù)形結(jié)合思想、韋恩圖、不等式函數(shù)中數(shù)軸的應(yīng)用等。將學(xué)生的觀點都記錄下來之后，筆者和學(xué)生一起對相關(guān)知識進行了整理，制作出簡單的思維導(dǎo)圖，讓學(xué)生將數(shù)形結(jié)合思想融入自己的知識系統(tǒng)中去。

（四）在函數(shù)知識回顧中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

反思是提升學(xué)生能力的主要途徑。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)過程中，教師要及時地引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)的知識進行回顧，加深學(xué)生的印象，并且使學(xué)生對其中應(yīng)用到的數(shù)形結(jié)合思想進行系統(tǒng)的整理，促使學(xué)生獲得從感性到理性上的跨越，真正地將數(shù)形結(jié)合思想的使用轉(zhuǎn)變?yōu)樽约旱慕忸}能力和學(xué)習(xí)能力，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

比如，在讓學(xué)生求解“求出函數(shù)y=sinx+2cosx-2的值域”這一問題時，筆者在學(xué)生解決了題目之后，讓學(xué)生進行思考，想一想為什么這道問題可以使用數(shù)形結(jié)合的方法去解決，從而讓學(xué)生站在出題者的角度去考慮問題，明白是因為這種問題的子結(jié)構(gòu)具有特殊性，從而讓學(xué)生在遇到類似問題時可以快速地發(fā)現(xiàn)使用數(shù)形結(jié)合解題的思路。這樣，通過讓學(xué)生對函數(shù)當(dāng)中的數(shù)形結(jié)合思想進行回顧，有助于使學(xué)生將數(shù)形結(jié)合思想進行內(nèi)化，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提升。

（五）在函數(shù)知識教學(xué)中建立學(xué)生數(shù)形結(jié)合思路

教師在對學(xué)生進行數(shù)形結(jié)合課堂教學(xué)的時候，要有效地結(jié)合本中教材的例題，以此來促進學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的了解，掌握數(shù)形結(jié)合的思考方法以及思路延伸。在高中教學(xué)中，如“反三角函數(shù)”“指數(shù)函數(shù)”等內(nèi)容，利用數(shù)形結(jié)合的方式來引導(dǎo)學(xué)生解答問題，明白概念是一個非常有效的方法。但是，教師在施教的過程中，要注重通過教材的引導(dǎo)，讓學(xué)生自己建立起一個對數(shù)形結(jié)合概念的認知，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和邏輯能力。

比如，在學(xué)習(xí)“平面解析幾何初步”的時候，教師就可以讓學(xué)生通過“數(shù)形結(jié)合”的方式對題目進行分析和解答，增強學(xué)生對結(jié)合圖形的判斷力和分析能力。教師可以告訴學(xué)生，在學(xué)習(xí)平面解析幾何初步的時候，可以通過“以形幫數(shù)”的方式來分析題目。在面對題目的時候，可以把原有的圖形進行拆分或者合并，然后計算出幾何的部分數(shù)據(jù)，在得出可以延伸的數(shù)據(jù)之后，再將之拆分開，逐個計算，逐個分析。并且要在曲線與方程式之間建立起良好的對應(yīng)和呼應(yīng)關(guān)系，讓整個題目的前后能夠緊密銜接起來，滿足數(shù)形結(jié)合的要求，實現(xiàn)“以形幫數(shù)”?；蛘呓處熆梢砸龑?dǎo)學(xué)生，通過畫圖或者畫坐標的形式來進行數(shù)學(xué)題目的空間結(jié)構(gòu)概念推理，讓學(xué)生的大腦中形成一種立體概念，能自行地構(gòu)建一個解題的思路。以此為法，結(jié)合課本教材對學(xué)生進行數(shù)形結(jié)合解題思路的培養(yǎng)，能有效建立學(xué)生的學(xué)習(xí)和解題思路，幫助學(xué)生在將來的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中攻堅克難。特別是在面對一些異面直線成直角、平面與平面之間成角等問題時，以數(shù)形結(jié)合的方式進行解答和分析，能大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和解題速度，幫助學(xué)生構(gòu)建起一個完整的數(shù)學(xué)思維框架。

綜上所述，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，在教學(xué)過程中，教師絕不能使用灌輸式的教學(xué)手段，讓學(xué)生死記硬背題型，而是要充分挖掘數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用價值，引導(dǎo)學(xué)生從更多的角度來看待函數(shù)問題，深化學(xué)生對函數(shù)問題的解決能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到發(fā)展，從而提升高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的效果。教師在進行高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的時候，想要有效地提高課堂教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，就要利用有效的教學(xué)手段對學(xué)生進行引導(dǎo)和培養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會通過技巧性的方法來學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)能力。而且在教學(xué)過程中，教師要嚴格按照教材規(guī)定開展教學(xué)，并且要緊密地結(jié)合課堂實際問題，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為導(dǎo)向教育學(xué)生。

參考文獻：

[1]吳德帥.高中數(shù)學(xué)恒成立問題探究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2021（2）：24-25.

[2]陸燕妮.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版下旬），2021（1）：40.

[3]楊金諾.化歸思想在高中函數(shù)中的簡單應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2021（1）：71-73.

[4]呂永勝.以形助數(shù)，以數(shù)解形——數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究[J].數(shù)學(xué)大世界（中旬），2021（1）：26-27.